《概率论与数理统计》课程教案

1、概率论与数理统计课程教案主讲教师所在单位授课班级 专业 撰写时间教案编号24-0901教案内容概率统计数值实验学时 2教学目标基本要求（1）掌握离散型随机变量和连续型随机变量各种常见分布随机数的生成算法， 能借助Matlab软件产生各种分布的随机数函数：（2）能借助Matlab软件求解一些简单的应用概率问题的数值模拟解：（3）能借助Matlab软件完成有关随机变量的分布拟合和参数估计的求解。本内容可在实验室边讲边练：亦可在课堂上讲方法，课后学生自行练习，以平 时作业处理，但不作考试要求。能力要求1.培养能力要求：a）掌握概率论和数理统计中的基本概念和性质并能够运用到复杂工程问题的 适当表述之中

2、：b）能够针对工程应用系统或过程的特点选择合适的概率分布来描述随机现象 的统计规律性：教学重点常见分布随机数的生成算法；应用Matlab软件作简单概率问题的随机模拟思想与方 法；应用Mat lab软件求解随机变量分布参数及分布拟合检验的过程。教学难点常见分布随机数函数的生成思想。教学方法提问、讲授、启发、讨论、实验工具仪器多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表、Matlab软件教学安排考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结教学过程教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明备注第一部分：古典概型实验（30分钟）内容介绍MATLAB常用的

3、及与随机数产生相关的函数实验1:计算超几何分布实验2：频率稳定性实验实验3：利用频率估计自然对数底e将第一章 知识点串 接起来实验4：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率兀实验5：生日悖论实验利用MATLAB软件的图形可视功能将概率统计的内容用图形表示出来，以加深对概率 的理解MATLAB常用的及与随机数产生相关的函数 factorial (n)：阶乘，n!,可通过阶乘来计算排列组合数 1.rand(m, n)：生成mXn的随机矩阵，每个元素都在(0, 1)间，生成方 式为均匀分布。 2. randn(m, n)：生成mXn的随机矩阵，每个元素都在(0.1)间，生成方 式为正态分布 3. rand

4、perm(m)：生成一个的随机整数排列 4. perms (1 :n)：生成一个广n的全排列,共n!个 5.取整函数系列：(1) fix(x)：截尾法取整；(2) floor (x)：退一法取整(不超过x的最大整数)；向负方向舍入(3) cei I (x)：进一法取整(二 floor (x)+1 )；向正方向舍入(4) round (x)：四舍五入法取整。 6. unique (a)：合并a中相同的项 7. prod (x)：向量x的所有分量元素的积示例： rand(1) %生成一个(0.1)间的随机数0.8147ans = rand (2, 2) %生成一个2 X 2阶(0,1)间的随机数矩

5、阵ans = 0.91340. 09750. 63240. 2785 randperm(5) %生成一个广5的随机整数排列ans = 41523 a=1 2 4 2 3 3 2;un i que (a)ans = 1234实验1:计算超几何分布的结果 设有件产品，其中。件次品，今从中任取件 问其中恰有(右0件次品的概率是多少？ (令 AM0,庐3,方4, A=2)解：编辑组合函数zuhe. m文件 funct i on y=Com(n, r) y=factor i a I(n)/(factor i a I(r)*factor i a I(n-r)计算如下： AMO;庐3; n=4; k=2;

6、fCom 2)*Com(10-3, 4-2)/。的(10, 4)=0. 3实验2频率稳定性实验 随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率 n= 3000;m=0; for i=1:n t=randperm(2) ;%生成一个广2的随机整数排列 x=t-1 ;%生成一个01的随机整数排列 y=x(1);%Wx排列的第一个值 if y=0; 小+1 ; end end p1=m/n p2=1-p1试验次数n300050001万2万3万国徽朝上 频率0.50400.50060.48790.49990.5046国徽朝下 频率0.49600.49940.51210.50010.4954试验次数n5

7、万10万100万100万1亿国徽朝上 频率0.50210.49990.49990.50010.5000国徽朝下 频率0.49790.50010.50010.49990.5000可见当n 7 8时，7no4) =P(A)实验3用频率估计自然对数e某班有n个人，每人各有一支枪，这些枪外形一样。某次夜间紧急集合,若每人随机地取走一支枪，求没有一个人拿到自己枪的概率？解：记事件4为第/个人拿到自已枪，事件凡为第/个人没拿到自己枪，易知: P(A) = -； P(A) = , (i=12，n) nn又记a为没有一个人拿到自己枪的概率。np = p(KF)= i-p(|j4)i=l由乘法公式可知p(44)

8、= P(A) X P4)=而小)p(444)= P(4) x p(aL) = (口；(=2)(1 ，)于是nnC2(4)=L 2而看i=llijnnn(n - l)(n - 2)W P(444)= lijk 0Kt) = 100 t 0设某人一个月内要到此办事10次，若等待时间超过15分钟，他就离去。求：(1)恰好有两次离去的概率；(2)最多有两次离去的概率；(3)至少有两次离去的概率；(4)离去的次数占多数的概率。解首先求任一次离去的概率，依题意设10次中离去的次数为X,则Xb(10,p) p=l-expcdf(15,10) %任一次离去的概率pl=binopdf(2,10,p) %恰有两次

9、离去的概率q=binopdf(0:2,10,p);p2=sum(q) %最多有两次离去的概率q=binopdf(0:l/10,p);p3=l-sum(q) %最少有两次离去的概率q=binopdf(0:5L10,p);p4=l-sum(q)%离去的次数占多数的概率 p = 0.2231 pl = 0.2972 p2 = 0.6073 p3 = 0.6899 p4 = 0.01123.泊松分布实验假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数於3的泊松分布，求 (1)每小时恰有4次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率 (3)画出分布律图像 入4 q4 P(X = 4)=e-A = e-

10、355 .P(X0是一个常数，是任意正整数，设P0=L则对于任意固定的非负整数k, 有物C)p其1-phj=殍例9某种重大疾病的医疗险种，每份每年需交保险费100元，若在这一年中，投保人得了这种疾病，则每份可以得到索赔额10000元，假设该地区这种疾病的患病率为0.0002,现该险种共有10000份保单，问：保险公司亏本的概率是多少？(2)保险公司获利不少于80万元的概率是多少？解设X表示这一年中发生索赔的份数，依题意，X的统计规律可用二项分布XB(10000,0.0002)来描述。由二项分布与泊松分布的近似计算关系有(7119)*Cfp/l - p)n-k x e-nP(0 np 100)

11、= 1-P(X 100) = 1 - Z-2K=0当索赔份数不超过20份时，则保险公司获利就不少于80万元，其概率为 19X1 2k 口2 =(乂20)=2诃。-2K=0 p=poisspdf(0:100,2);%it 101 个泊松分布概率值或p=binopdf(0:100,10000,0.0002); %按二项分布计算 pl=l-sum(p) %求出保险公司亏本的概率pl = 0.0000 p=poisspdf(0:19,2);%计算出20个泊松分布概率值或p=binopdf(0:19,10000,0.0002); %按二项分布计算p2=sum(p) %求出保险公司获利不少于80万元的概率

12、p2 = 1.00005,连续型随机变量分布实验离散均匀分布的概率密度函数和累积分布函数unidpdf(XN) unidcdf(Xz/V)随机变量X在1到/V上的N各自然数之间等可能取值在Matlab中输入以下命令： x=l:l:10; y=unidpdf(x,10)结果：y = 0.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.1000在Matlab中输入以下命令： x=0:l:10; y=unidcdf(x,10)0.7000结果:y =0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.50000.60000.80

13、000.90001.0000连续均匀分布 密度函数：f=unifpdf(xqb) 分布函数：f=unifcdf(x,a,b)例：画出均匀分布U(2,5)的概率密度函数和分布函数的图形.在Matlab中输入以下命令： x=0:0.01:7; y=unifpdf(x,2,5); z=unifcdf(x,2,5); plot(x/y,x,z)指数分布 密度函数：/=exppdf(x,0) 分布函数：F=expcdf(x,0)例：画出指数分布E的概率密度函数和分布函数的图形.求P(0X5) 在Matlab中输入以下命令： x=0:0.1:5; y=exppdf(x,2); z=expcdf(x,2);

14、 plot(xMXz) resultl=expcdf(5,2)-expcdf(0/2)P(0X20). result2=expcdf(20,2)-expcdf(0,2)结果：resultl =0.910result2 =0.24正态分布 密度函数：/=normpdf(x,|Lba) 分布函数：F=normcdf(XN(j)例：画出正态分布Ml,4)的概率密度函数和分布函数的图形.求P(1X6).在Matlab中输入以下命令： x=-5:0.1:6; y=normpdf(x,l,2); z=normcdf(x/l,2); plot(xMXz) result=normcdf(6,lz2)-norm

15、cdf( 1,1,2)结果：Result =0.4938例11:在同一坐标下，画下列正态分布的密度函数图像(1) n=3, o=0.5, 0.7, 1, 1.5, 2(2) 0=0.5, 口=1,2,3,4命令：x=-6:0.1:6;yl=normpdf(x,3,0.5);y2=normpdf(x,3,0.7);y3=normpdf(x,3,l);y4=normpdf(x,3,1.5);y5=normpdf(x,3,2);例 观察正态分布参数对密度曲线的影响。解： clearmul=2.5;mu2=3;sigmal=0.5;sigma2=0.6;x=(mu2-4*sigma2):0.01:(m

16、u2+4*sigma2);yl=normpdf(x,mul,sigmal); %考察均值的影响 y2=normpdf(x,mu2/sigmal);y3=normpdf(x,mul,sigmal); % 考察方差的影响y4=normpdf(x,mul/sigma2);subplot(121)%考察结果的可视化plot(x,yl/,-g/xzy2/-b,)xlabel(,fontsize12|iln2,al=a2I)legendCnl/nZ1)subplot(lz2,2)plot(x,y3z,-g,/x,y4/-b,)xlabel(,fontsize12nl=n2,ala2l)Iegend(olo

17、2)计算正态分布的累积概率值例，设 XN(4,32), P3X3 调用函数 normcdf(xzn,o) 返回函数值FGhJJ/Wa解： pl=normcdf(6,4/3)-normcdf(3,4/3) pl = 0.3781 p2=l-normcdf(3,4,3) p2 = 0.6306例 正态分布参数H和。对变量x取值规律的约束一一3。准则。 解： clearzclf % (标准)正态分布密度曲线下的面积 X=linspace(-5,5,100);Y=normpdf(X,0,l)；yy=normpdf(-3,-2,-l,0,l,2,3,0,l)；plot(X,Y/k-,70,0,0,yy(

18、4)；c-.)hold onplot(-2,-2,0,yy(2),m:,/2,2/0,yy(6)Lm:,-2,-0.5,yy(6),yy(6),m:1/ 0.5,2Uyy(6),yy(6)/m:)plot(-l,-lL0,%3)/g:,l,TL0,yy(5):g：H-l,-0.5,yy(5), yy(5)/g:f0.5,l,yy ,yy(5),g:)plotUa-BLQyylULbOBALQyy ,”(7),七:,0.5,3Uyy(7),yy(7)/b：|)hold offtext(-0.5,yy(6)+0.005,fontsize1495.44%)text(-0.5,yy(5)+0.005f

19、ontsize1468.26%)text(-0.5,yy(7)+0.005fontsize1499.74%)text(-3.2/-0.03/fontsize10ji-3a,)text(-2.2/-0.03/fontsize10n-2a,)text(-1.2,-0.03,fontsize10n-ol)text(-0.05,-0.03/fontsize10n，)text(0.8,-0.03/fontsize10n+o,)text(1.8,-0.03/fontsize10n+2o,)text(2.8/-0.03/fontsize10n+3o,)6.随机变量的数学期望和方差对于任意的分布，可用Matl

20、ab中的函数和运算编程实现对于给定的分布，只需给出分布的参数，即可调用stat族函数，得出数学期望和方差, 调用格式E,D卜分布+stat(参数)例：求二项分布参数n=100, p=0.2的数学期望和方差：解：n=100;p=0.2;EjD=binostat(n,p);结果显示：E= 20D= 16例 绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，并求均值与方差解： clearmu=2.5;sigma=0.6;x=(mu-4*sigma):0.005:(mu+4*sigma);y=normpdf(x/mu,sigma);f=normcdf(x/mu/sigma);plot(x/y/l-g,/x/f/,

21、:b,)M,V=normstat(mu/sigma) legend(,pdf,cdf,-l)从图中可以看出，正态密度曲线是关于x = h对称的钟形曲线(两侧在h土。处各 有一个拐点)，正态累积分布曲线当x = pi时F(x) = 0.5oM=2.5000V=036007.逆累积分布函数逆累积分布函数就是返回给定概率条件下的自变量的临界值，实际上是分布函数的逆 函数。 icdfflnverse Cumulative Distribution Function) 即：在分布函数F(x)=p中已知p求其相对应的x的值 调用：在分布函数名后加inv !(n：X=norminv(p,mu/sgm) 也有

22、2)X=icdf( name4八12/3),其中name为相应的函数名，如 normal ;p为给定的概率值; A1,A2,A3为相应的参数例、计算标准正态分布概率值0.1，0.3, 0.5, 0,7, 0.9,所对应的x的值命令：y=0.1:0.2:0.9；x=norminv(y,0,l)结果：x=-1.2816-0.524400.52441.2816检验：yl=normcdf(x/0,l);yl=0.10000.30000.50000.70000.9000例、计算二项分布b(10,0.5)概率值0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9,所对应的x的值命令：p=0.1:0.2:0.9;

23、x=binoinv(p/10,0.5)结果：x=3 4 5 67检验：yl=binocdf(xz10,0.5);结果：yl=0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.9453在离散分布情形下，无才返回使cdf(x)p的第一个值x上例中，对p=0.1,对应c必x).l的第一个值为3,故返回值为38(10,0.5)的分布函数图像ttj 1 I0.9 -0.9 -0.7-0.6 ,-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0-!1：10246810127 ,逆累积分布函数-上a分位点定义：上a分位点：设随机变量X的分布函数为：F(x),如果实数及满足P(Xx4)= a ,

24、 则称/为上a分位点例14、计算自由度为8的卡方分布的上a分位点,其中a=O.l, 0.05, 0.025命令：x=0.1,0.05,0.025;y=chi2inv(l-x,8)结果：y=13.361615.507317.5345例 标准正态分布a分位数的概念图示。解%a分位数示意图(标准正态分布，a=0.05)clear;clfdata=normrnd(0/l/300,l)；xalphal=norminv(0.05,0,l);xalpha2=norminv(0.95,0,l);xalpha3=norminv(0.025,0/l);xalpha4=norminv(0.975/0,l);subp

25、lot(3/l,l)capaplot(data,-inf,xalphal);axis(-3/3,0,0.45)subplot(3,l,2)capaplot(data,xalpha2/inf);axis(-3/3/0/0.45)subplot 1,3)capaplot(data-infxalpha3);axis(-3/3Q045)hold oncapaplot(data,xalpha4,inf);axis(-3/3,0,0.45)hold offxalphal xalpha2 xalpha3 xalpha4Probability Between Limits = 0.063571Probabil

26、ity Between Limits = 0.058995Probability Between Limits = 0.031504xalphal = -1.6449xalpha2 = 1.6449xalpha3 = -1.9600 xalpha4 = 1.96008 .中心极限定理例1利用随机数样本验证中心极限定理 独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分布，通过产生容量为 n的poiss分布和exp分布的样本，研究其和的渐近分布。 算法如下： 产生容量为n的独立同分布的随机数样本，得其均值和标准差; 将随机数样本和标准化； 重复、； 验证所得标准化的随机数样本和是否服从标准正态分布 c

27、learn=2000;means=0;s=0;y=;lamda=4;a=lamda;for i=l:nr=poissrnd(a,n,l);%可换成 r=exprnd(a/n/l)；means=mean(r);%计算样本均值 s=std (r);%计算样本标准差 y(i)=sqrt(n).*(means-a)./sqrt(s);end normplot(y);%分布的正态性检验 title(*poiss分布，中心极限定理!)+上_AryzzN71=F0.9990.9970.990.980.950.90pass分布，中心极限定理0.100.050.020.010.0030.001-5-4-3-2-

28、101234 Data0.9990.9970.990.980.950.900.750.500.250.100.050.020.010.0030.001exp分布，中心极限定理-6-4202Data468棣莫弗-拉普拉斯定理的应用Galton钉板模型和二项分布 Galton钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家Galton设计的。故而得名。通过模拟Calton钉板试验，观察和体会二项分布概率分布列的意义、形 象地理解De Moivre -Laplace中心极限定理。模拟Galton钉板试验的步骤：(1)确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵X和Y中。(2)在Galton钉板试验中，小球

29、每碰到钉子下落时都具有两种可能性，设向右的 概率为P，向左的概率为q = l-p，这里p=0.5,表示向左向右的机会是相同的。 模拟过程如下：首先产生一均匀随机数u,这只需调用随机数发生器指令rand(m,n)。 rand(m,n)指令：用来产生mxn个。1)区间中的随机数，并将这些随机数存于一个mxn 矩阵中，每次调用rand(m,n)的结果都会不同。如果想保持结果一致，可与rand(seed,s) 配合使用，这里s是一个正整数，例如 rand(seed/l),u=rand(l,6) u= 0.51290.46050.35040.09500.43370.7092 而且再次运行该指令时结果保持

30、不变。除非重设种子seed的值，如 rand(seed,/2)/u=rand(l,6) u= 0.02580.92100.70080.19010.86730.4185 这样结果才会产生变化。将1区间分成两段，区间p)和口1。如果随机数u属于p),让小球向右落下； 若u属于p,l,让小球向左落下。将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时 所经过的点，这样就模拟了小球从顶端随机地落入某一格子的过程。模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m(例如m=50、100、500等等),计算落在 第i个格子的小球数在总球数m中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率 用频率反映小球的堆积形状(4)用如下动画指令

31、制作动画：movien(n)：创建动画矩阵；制作动画矩阵数据；Getframe：拷贝动画矩阵；movie(Mat, m)：播放动画矩阵m次。M文件如下：解： clear,clf,m=100;n=5;y0=2;%设置参数 ballnum=zeros(l,n+l);p=0.5;q=l-p;for i=n+l:-l:l%创建钉子的坐标x, yx(i,l)=0.5*(n-i+l); y(i,l)=(n-i+l)+yO;for j=2:ix(ij)=x(i/l)+(j-l)*l; y(i,j)=y(i,l);endendmm=moviein(m); %动画开始，模拟小球下落路径for i=l:ms=ra

32、nd(lzn); %产生n个随机数xi=x(l,l);yi=y(lzl)；k=l;l=l; %小球遇到第一个钉子for j=l:nplot(x(l:n,:),y(l:n,:)”,x(n+l,:),y(n+l,:)；.，), 画钉子的位置axis(-2 n+2 0 yO+n+l),hold onk=k+l; %小球下落一格if s(j)p1=1+0;%小球左移else1=1+1;%小球右移endxt=x(k,l);yt=y(k,l);%小球下落点的坐标h=plot(xi/xt,yi/yt);axis(-2 n+2 0y0+n+l) %画小球运动轨迹 xi=xt;yi=yt;endballnum(

33、l)=ballnum(l)+l; % 计数ballnuml=3*ballnum./m;bar(0:n,ballnuml),axis(-2 n+2 0 yO+n+1) %画各格子的频率mm(i)=getframe; %存储动画数据hold offendmovie(mm,l) %播放动画一次876543210-2-101234567第三部分：数理统计 数理统计1 . Matlab统计工具箱中常见的统计命令2 .直方图和箱线图实验3 .抽样分布实验4 .参数估计和假设检验实验Matlab统计工具箱中常见的统计命令1、基本统计量对于随机变量x,计算其基本统计量的命令如下:标准差:std(x)方差：va

34、r(x)峰度:kurtosis(x)均值：mean(x)中位数:median(x)偏度：skewness(x)2、频数直方图的描绘A、给出数组data的频数表的命令为：N,X=hist(data,k) 此命令将区间min(data),max(data)分为k个小区间(缺省为10),返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点Xo B、描绘数组data的频数直方图的命令为：hist(data,k)3、参数估计 A、对于正态总体，点估计和区间估计可同时由以下命令获得： muhat/sigmahat/muci,sigmaci=normfit(x,alpha) 此命令在显著性水平alp

35、ha下估计x的参数(alpha缺省值为5%),返回 值muhat是均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值，muci是均 值的区间估计，sigmaci是标准差的区间估计。 B、对其他分布总体，两种处理办法：一是取容量充分大的样本，按中 心极限定理，它近似服从正态分布，仍可用上面估计公式计算；二是使 用特定分布总体的估计命令，常用的命令如： muhat/muci=expfit(x,alpha) lambdahat, lambdaci=poissfit(x,alpha) phat, pci=weibfit(x,alpha)4、正态总体假设检验 A、单总体均值的z检验： h,sig/ci=

36、ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 检验数据X关于总体均值的某一假设是否成立，其中sigma为已知方差, alpha为显著性水平，究竟检验什么假设取决于tail的取值： tail=O,检验假设“x的均值等于m” tail=l,检验假设“x的均值大于m” tail=-l,检验假设的均值小于m” tail的缺省值为0, alpha的缺省值为5%。 返回值h为一个布尔值，h=l表示可拒绝原假设，h=0表示不可拒绝原 假设，sig为假设成立的概率，ci为均值的1-alpha置信区间。 B、单总体均值的t检验： hjSig/Ci=ttest(x,m,alpha,tail) c、双总体

37、均值的t检验： h,sig/ci=ttest2(x/y,alpha,tail)5、非参数检验：总体分布的检验 Matlab统计工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令： A、 h=normplot(x)此命令显示数据矩阵X的正态概率图，如果数据来自于正态分布，则图 形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。 B、h=weibplot(x)此命令显示数据矩阵X的Weibull概率图，如果数据来自于Weibull分布, 则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。例1在同一坐标轴上画box图，并对两个班的成绩进行初步的分析比较。两个教学班各30名同学，在数学课程上，A班用新教

38、学方法组织教学，B班用传统方 法组织教学，现得期末考试成绩如下。A：82,92,77, 62, 70, 36, 80, 100, 74, 64, 63, 56,72, 78,68,65,72.70,58,92, 79,92,65,56,85,73,61,71,42,89B：57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72解 clearx=82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61, 71,42,89,57,67,64,54,77,65,7158,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68, 7