《推荐》备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题31高考中的常青树——一元二次不等式Word版含解析

1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第31讲高考中的常青树一元二次不等式考纲要求:1 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2 .通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3 .会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.基础知识回顾：1. 一元二次不等式的解法判别式A = b 一元二次不等式的解法设一元二次不等式为ax2+bx+c>0(a w 0),其中 A= b24ac, x1，X2是方程 ax2+ bx+ c=0(a 丰 0)的两个根且X1<X2.(1)当a>0时，若A> 0,则不等式的解集为x|

2、x VX1,或x>X2;若4=0,则不等式的解集为x xCR,且XW 堤 ；若AV 0,则不等式的解集为2aR.(2)当a<0时，若A> 0,则不等式的解集为x|x 1VXVX2;若A = 0,则不等式的解集为？；若AV0,则不等式的解集为？. 一元二次不等式恒成立的条件 4acA > 0A = 0AV 0二次函数y = ax2+ bx + c(a > 0)的图象一兀一次方程 ax+bx+c=0 (a>0)的根后两相异实根X1,X2(x 1V X2)有两相等实根bX1= X2=2a没有实数根ax2+bx + c>0 (a >0)的解集x|x<

3、;x 1 或 X>X2,b x XW 一 丁 2aRax2+bx + c<0 (a >0)的解集x|x 1VXVX2(1)不等式ax2+ bx+ c>0对任意实数x恒成立？a= b= 0,c>0,t a>0,或A<0.(2)不等式ax2+ bx+ c<0对任意实数x恒成立？a= b= 0,c<0,A<0.应用举例:类型一、一元二次不等式的解法2x2+ 1, x< 0,【例1】【2017山东烟台市高三摸底考试】 已知函数f(x)=则不等式f(x) xW2-2x, x>0,的解集是【解析】当对0时，熄不等式等价于2疝+1 -，

4、一$当时，熄不等式等价于一富一它2j凶>-1的解集为x 5JQO,标上所述？原不等式的解集为卜|合一g (【例2】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】不等式4 ,、【答案】x x与或x>5 .【解析】将原不等式移项通分得3x二；4>a等价于x 53x 4 x-5>0,心所以原不等式的x 5 WQ.,4 ,、解集为x xq或x>5【例3】【2017浙江省宁波市高三入学考试】不等式0vx2x 2W4的解集为【答案】x| 2Wx< 1 或2vxw.x2-x-2>0,【解析】原不等式等价于x2-x-2<4x2-x-2>0,x- 2x+ 1 >

5、;0,x+ 2 <0x>2 或 xv 1,一 2 w x w 3.借助于数轴，如图所示, 所以原不等式的解集为 x| 2Wx< 1或2vxw£点评：解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题;(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.类型二、含参数的一元二次不等式的解法角度一：两根大小引起的分类讨论【例4】【2017河北正定一中高三月考】求不等式12x2- ax>a2 (aCR)

6、的解集.【答案】见解析【解析】原不等式可化为12x2-ax-a2Mh艮4x十40工一3)>0令(4x+a)(3xa)=5解得芜1=一彳丈2=孑当心0时，不等式的解集为-g-0U(j, +«);当且二G时,不等式的解集为0)U(0, +电；当*0时，不等式的解集为巴 加(一第十。角度二：两根大小引起的分类讨论【例5】【2017山东省枣庄八中高三月考】解关于x的不等式：ax2-(a+ 1)x+1<0.【答案】见解析【解析】原不等式可化为(x 1)(ax-1)<0,当a= 0时，可解得x>1 ,当a>0时，不等式可化为(x 1) x1 <0, .当a=1

7、时，不等式可化为(x-1)2<0,解 a集为；当0<a<1时，1>1,不等式的解集为 x 1<x<-; aa当a>1时，1<1 ,不等式的解集为 x 1Vx<1；aa当a<0时，不等可化为(x-1) x-1 >0, ,.不等式的解集为 x x>1或x<1 . aa综上可知，1当a<0时，不等式的解集为 x x>1或x<二；当a=0时，不等式的解集为x|x>1; a当0<a<1时，不等式的解集为 x 1<x<1 ;当a=1时，不等式的解集为； a当a>1时，不等式的

8、解集为 x 1Vx<1.a角度三：判别式引起的分类讨论【例6】【2017河北省定州中学高三月考】解关于 x的不等式2x2+kx-kW0.【答案】见解析【解析】由已知得A =k2+8k=k(k+8).当A> 0,即kv -8或k>0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.所以不等式2x2+kx-k < 0的解集是：(2)当A =0,即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x2+kx-k W0的解集是即0或2.(3)当Av 0,即-8vkv0时，方程2x2+kx-k=0无实根，即不等式的解集为.综上所述，关于 x的不等式2x2+k

9、x-k w 0的解集为：(1)当 kv-8 或 k>0 时，(2)当 k=-8 时，2或 k=0 时，0; (3)当-8vkv0 时，.点评：解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式A与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确 定解集形式.提醒当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.类型三、一元二次不等式包成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在

10、着密切的联系.在解决具体的数学问题 时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.角度一：形如f(x)>0(f(x)W0)(xC R)确定参数的范围【例7】【2017浙江省温州市高三月考试题】已知不等式 mx2 2xm+1<0,是否存在实数 m对所有白实数x,不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】不存在【解析】要使不等式 mx2 2x m + 1 v 0恒成立，即函数f(x) = mx2 2x m + 1的图象全部在 x轴下方.一，一

11、1当m = 0时，1 2xv0,则x>2,不满足题息；当mO时，函数f(x) = mx2 2x m + 1为二次函数,m< 0,需满足开口向下且方程 mx2 2xm+1 = 0无解，即A= 4 4m 1 m <0,不等式组的解集为空集，即 m无解.综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立.角度二：形如f(x)>0(xCa, b)确定参数范围例8【2017浙江省金华、丽水等十二校高三联考】设函数f(x)= mx2 mx1(mw 0),若对于x1,3, f(x)v m+5恒成立，则 m的取值范围为 .6【答案】(已0)u 0, 7 .【解析】要使f(x)vm+5在1,3上恒

12、成立，则 mx2 mx + m 6< 0,ur13即 m x-2 2+4m-6<0 在 xC 1,3上恒成立.有以下两种方法：法一：令 g(x) = m x 1 2 + 3m6, xC 1,3. 246 一当m>0时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)max = g(3) = 7m- 6< 0,所以m<7,则0V6m<7;当mv 0时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)max=g(1) = m-6< 0,所以m<6,即mv0.综上所述，m的取值范围是(00, 0) u 0, 6 .1 . 36法一：因为 x2 x+ 1= x 2

13、2+4>0,又因为 m(x2-x+ 1) 6v0,所以 m<x2x.因为函数y= 2 6=-6；在1,3上的最小值为6,所以只需mv6即可.因为mw0, x 一 x 十 11 o 377X-2 +4所以m的取值范围是(一00, 0) u 0, 6 .角度三：形如f(x)>0(参数mCa, b)确定x的范围【例9】【2017河南洛阳统考】对任意 mC 1,1,函数f(x) = x2+(m 4)x+42m的值恒大于零，则x的取值范围为.【答案】xC(8, 1) U (3, +8)【解析】由 耳乂)=x2+(m4)克+4 2m=(x-2)m+x2 4x + 45令如1)=(工-2闻

14、+式我+4一由题意知在-1止，g(m)的值恒大于零,解得*1或x>3g 1 x-2 x 1 +x2一权+4 乂£ 1 二 x-2 -kx2-4x+4>C故当工6(8, 1”+8)时，对任意的时01.圉数危)的值恒大于零.点评：一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2+ bx+ c> 0对任意实数x恒成立的条件是a>0,AW 0；(2)ax2 + bx+ cw 0对任意实数x恒成立的条件是a<0,A< 0一次不等式在R上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其 系数与0能比较大小，便可将参数分离出来

15、， 利用卜面的结论求解.a > f(x)恒成立等价于a> f(x)max； aWf(x)恒成立等价于 aW f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求主参换位法把变兀与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数 f(x)= ax+b(aw 0)在m, n，一、"4，一f m >0,恒成立问题，若f(x)>0恒成立？f n >0,f m <0,右f(x)<0恒成立？f n <0若在分离参数时会遇到讨论参 数与变量，使求函数的最值比较 麻烦，或者即使能容易分离出却 难以求出时方法、

16、规律归纳1、解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式A与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.实战演练：11.12017株洲高三摸底考试】 设集合A=x|x2+x 6W0,集合B为函数y=-j 的定义域，x- 1则AAB等于()A. (1,2)B. 1,2C. 1,2)D. (1,2【答案】D【解折】A二支>2+又一运叫二X|一32力由又一 M得*1,即E=冲川,

17、所以ACR二佣12.2.12017大连市一中高三摸底考试】若集合A=x|ax 9 2(经检验知满足题意),f(-x) = -x2+x+2,其图象开口向下，顶点为 2,-.ax+1<0=,则实数a的取值范围是()A. (0,4)B. 0,4)C. (0,4D, 0,4【答案】Da>0【解析】由题息知 a=0时，满足条件.awo时，由得0<aW4,所以头数a的A= a2 4a<Q取值范围是0,43.12017山东烟台市高三摸底考试】不等式f(x) = ax2-x- c>0的解集为x|2<x<1,则函数y=f( x)的图象为()【答案】B【解析】由根与系数的

18、关系得 =一2+1, - -= 2,得a=1, c= - 2,f(x) = x2 x+4.12017安徽省合肥市高三模拟考试】不等式组x2-4x+3<0,2x2 7x+ 6>0的解集是(aa33A. (2,3) B. 1, 2 U (2,3) C.巴 2 U (3,) D.(一巴 1)U(2,+ 0° )【答案】B【解析】钻十又2x2一笈十。乂，.：俱一2X瓶-3派。:工卷 42一.原不等式组的解 箧为(L，23).5.12017河南省洛阳市一中高三入学考试】若不等式x2-(a+1)x+a< 0的解集是一4,3的子集，则a的取值范围是()C. 1,3D. 1,3A

19、. 4,1 B. 4,3【答案】B【解析】原不等式为(x-a)(x-1)<Q当a<1时，不等式的解集为 a,1,此时只要a*4即可， 即一4Wa<l当a= 1时，不等式的解为 x=1,此时符合要求；当 a>1时，不等式的解集为 1, a,此时只要aW3即可，即1<aW3.综上可得一4< a< 3.6.12017浙江省温州市高三月考试题】若不等式2kx2+kx3<0对一切实数x都成立，则k8的取值范围为()A. (3,0) B. 3,0)C. - 3,0D. (3,0【答案】D【解析】当k=0时，显然成立；当 kwo时，即一元二次不等式2kx2+k

20、x 3<0对一切实数x8k<0,3都成立，则 23 解得3<k<0.综上，满足不等式2kx2+kx-8<0对一切实k 4 2k - 8 <0,数x都成立的k的取值范围是(一3, 0.7.已知关于x的不等式ax2+2x+ c>0的解集为一',1 ,则不等式cx2+2xa>0的解集为3 2【答案】(-2,3).【解析】依题意知,3 2 a'_c3 2a'，解得 a=- 12, c=2,不等式cx2 + 2xa>0,即为2x2 + 2x+12>0,即x2-x-6<0,解得2<x<3.所以不等式的解集为( 2,3).8.12017广东省惠州市高三第一次调研考试】在 R上定义运算：a b =ad bc.若不等式c dx 1 a 2,一、，, ,、_,、， ，>1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为a+1 x【答案】-2& aj【解析】原不等式等价于必工- 1)一0-2)(且+1)之即H-工一 Lga+DR-耳对任意工恒成立x1=(工我一色一养所以一去23一九解得一聂舄9.120