平面向量重难点解析

1、平面向量重难点解析课文目录2. 1平面向量的实际背景及基本概念2. 2平面向量的线性运算2. 3平面向量的基本定理及坐标表示2. 4平面向量的数量积2. 5平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ，有二个要素：大小、方向2. 向量的表示方法： 用有向线段表示aB(几何表示法)； 用字母a、

2、b等表示(字母表示法)； 平面向量的坐标表示(坐标表示法)：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,、1作为基底。任作一个向 量a ,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a Xi : , (x, y) 叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y),其中X叫做a在x轴上的坐标，y叫 做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，P (1,0)，1 (0,1)，0 (0,0)。11 Jx2 y2 ；若 A(x1，y1)，B(X2”2)，贝U ABx? xy2 % ， ab .yTT23. 零向量、单位向量： 长度为0的向量叫零向量，记为 0 ; 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 .(注

3、： 就是单位向量)|a|4. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；iIi 我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a b c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量性质:0)-aa/b (bo y1 X1JlaJIa%5相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 垂直向量一两向量的夹角为JlaoaJrbdra卷X12 y y1(Xi,yJ,(X2, y2)6. 向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形 法则。平行四边形法则：aC a b （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）AB1即n个向量a

4、首尾相连成一个封闭图形，则有aia2向量的减法向量加上的b相反向量，叫做 扎b 的差。即:差向量的意义：oa= a, ob =b,则BA=a b 平面向量的坐标运算：若a （X|,y1），b （x2,y2），则a(Xi X2, yiy2)，(xii2, yiy2)，(x, y)。(a + b) +c = a + (b +c) 向量加法的交换律：a + b =b +a ;向量加法的结合律: 常用结论：(1) 若aD 1(AB aC)，贝U D是AB的中点2(2) 或G是厶ABC的重心，则gA gB gC7. 向量的模：1、定义：向量的大小，记为2、模的求法：|i若 a (x,y)，则 | a |

5、y2若 A(xi,yi), B(x2,y2)，则 | 区 xj2 (y? yj23、性质：2Jra2Jra4a4a(实数与向量的转化关系)4b彳a2)I2 |b|2，反之不然(3)三角不等式:ir aJla4a(当且仅当a,b共线时取“=”)同向时同反向时Jra(3)运算定律i交换律：a*分配律:Jwfa JIC彳adie7lb不满足结合律：即(JBFC(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和, 即2|a|2 2|b|2 I? b|2 |a j|28 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a(1) I 入 a|=| 入 | a| ;l!(2) 入0时入a与a方向相同

6、；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 0 ;入(卩a )=(入卩)a ,(入+卩)a = X a +卩a ,入(a + b)=入a +入b向量没有除法运算。如:都是错误的(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为，则舟 b = i a 11b i cos坐标运算:(%,%), b (X2, y2)，则 a|b(5)向量tb a 在轴i上的投影为:(为a与n的夹角，n为I的方向向量)其投影的长为AB|n|ji i(6) a与b的夹角 和的关系:(肃为n的单位向量)(1)当0时，a与b同向；当(2)为锐角时，则有9.向量共线定理：o >不-T-q D a a时,a与b反向为钝角时，则有

7、o >不4.2r6JlaJ a向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实 数入，使b =入a。10. 平面向量基本定理：如果e, e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向 量a,有且只有一对实数入1,入2使a = X ie； +入2色。(1) 不共线向量e,、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a，e1，e2唯一确定的数量向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即

8、若A(x , y)，则OA = (x,y );当向量起点不在原点时，向量 AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A(xi,yi), B(X2,y2),则 ab =(x2-xi,y 2-y 1)11. 向量a和b的数量积： a b=| a| | b |cos ，其中 0 ,n 为a和b的夹角。 | b|cos称为b在a的方向上的投影。a b的几何意义是：b的长度| b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量 若 a =(人,力),b= (X2, y2),则 a?b 运算律：a b=b a,( a和b的夹角公式：cos(a b),YlY2(a+b) c=a c+b

9、 c。2Y2 a?a a2 | a|2=x2+y2,或 | a |= x2y2 a |a b | < | a | | b |12. 两个向量平行的充要条件：符号语言：若a / b , a工0 ,贝U a = X b坐标语言为：设 a = (x*y 1) , b =(X2,y 2)，贝U a / b (x 1,y 1)= X (x2,y 2), 即 x1%2，或 X1y2-X2y1=0y1 y2在这里，实数X是唯一存在的，当a与b同向时，X >0;当a与b异向时，X <0。| X |=回，入的大小由a及b的大小确定。因此，当a , b确定时，X的符号与|b|大小就确定了。这就是

10、实数乘向量中X的几何意义。13. 两个向量垂直的充要条件：符号语言：a丄ba b =0坐标语言：设 a =(X1,y 1), b =(X2,y 2)，贝U a 丄 bX1X2+y<y2=0【典型例题】例1、如图，OA , OB为单位向量，OA与OB夹角为1200, OC与OA的夹角为 45°, | OC |=5，用 OA , OB 表示 0C。解题思路分析：以OA， 0B为邻边，0C为对角线构造平行四边形把向量 0C在OA， 0B方向上进行分解，如图，设 0E= OA， OD =卩OB，入0，卩0贝U OC = X OA + OB | OA |=| OB 1=1二入=| OE

11、|，卩=| OD | OEC中, Z E=60，Z OCE=7°5 由 0 -l°CL _LC得： sin 75sin 60sin 45.5(3j2 后)5 屈6，3“ 5(3血5/6“ OCOA OB63说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例 2、已知 ABC中，A(2,-1 )，B(3, 2)，C (-3，-1 )，BC边上的高为 AD求点D和向量AD坐标。 解题思路分析： 用解方程组思想设 D (x, y)，则 AD = (x-2 , y+1)BC = (-6 , -3 ) , AD BC =0 -6(x

12、-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0T BD =(x-3 , y-2) , BC / BD -6(y-2)=-3(x-3) ，即 x-2y+1=0由得：1二 D (1,1), AD = (-1 , 2)例3、求与向量a =(、3 , -1 )和b = (1,)夹角相等，且模为.2的向量c的坐标。解题思路分析：用解方程组思想法一：设 c =( x，y)，贝U a c = 3 x-y， b c=x+.、3y< a， c >=<b， c >a c b c|a|c|b|c|.3x y x . 3y即 x (2,3)y2 2 小+y =2x由得y.312312.312.

13、3 12(舍)二 c=(*法二：从分析形的特征着手a b =0 AOB为等腰直角三角形，如图 | OC|=2，/ AOCM BOC C为AB中点 C (说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化 计算。例4、在厶OAB的边OA 0B上分别取点 M N,使| 0M | ： | 0A |=1 : 3, | ON | | 0B 1=1 : 4,设线段AN与BM交于点P,记OA = a , OB = b，用a , b表示向量OP。解题思路分析： B、P、M共线二记 BP =sPMOP OB1 sOM OB1 s 1 ss3(1"S)OA同理，记APt PN0卩=丄玄1

14、 t 4(1a , b不共线由得11 t11 ss3(1 s)解之得:t4(1 t)9283b11 OP a11进而引入参数(如s, t )是常用技巧之一。说明：从点共线转化为向量共线，平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s, t的方程。例5、已知长方形ABCD AB=3 BC=2 E为BC中点，P为AB上一点(1) 利用向量知识判定点P在什么位置时，/ PED=45;(2) 若/ PED=45,求证：P、D C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则 C (2, 0), D (2, 3), E (1, 0) 设 P (0,

15、 y)ED= (1, 3), EP= (-1 , y)|ED |.10, | EP | . y21ED EP=3y-1代入 COS45°= ED EPI ED II EP |解之得y 1 （舍），或y=22点P为靠近点A的AB三等分处（3）当/ PED=45时，由（1）知 P （0, 2）PD=（ 2，1），EP=（-1，2） EP PD =0 / DPE=90又/ DCE=90 D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点 的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。【考点剖析】考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】

16、了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向 量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定 理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量 相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果e和e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对该平面内的任一向量a 有且只有一对实数 入1、入2,使a=X y+入2»注意：若e,和e2是同一平面内的两个不共线 向量，【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空 题为主，考查的难度属中档类型。例1、 （2007上海）直角坐标系xOy中，？，j分别是与X，y轴正方向

17、同向的单位向量在直角三角形 ABC中，若AB 2i j, AC 3i则k的可能值个数是（）A. 1B. 2C. 3解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1) , C点坐标为(3,k)，所 以C点在直线x=3 上,由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角.所以k的 可能值个数是2,选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。、OB、OC ,其中与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30° ,且|OA| =|OB|=1，例2、(2007陕西)如图，平面内有三个向量I OC I = 2,3，若 OC =入 OA +

18、卩 OB （入，卩 R）, 贝U入+卩的值为.解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角AOC=30 , OC =2 3得平行四边形的边长为2和4,2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB乍为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、 三角形法则进行向量的加减运算； 掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线 的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量 的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握

19、数量积的坐标表达式，会 进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用向量积判断两 个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为 模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。例 3、(2008 湖北文、理)设 a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2),则(a+2b) c=()A.( 15,12)B.0 C. 3 D. 11解：(a+2b)(1, 2) 2( 3,4)( 5,6)，(a+2b) - c ( 5,6) (3,2)3，选 C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的

20、加法 运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。例4、(2008广东文)已知平面向量a (1,2),b( 2,m)，且a / b，则2a 3b =()A .(-2，-4) B. (-3，-6 ) C. (-4，-8 ) D. (-5，-10)解：由a / b，得mi=-4,所以, 2a 3b =( 2, 4) + ( 6, 12) = ( 4, 8),故选(C)点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量,注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。ii例5、（2008海南、宁夏文）已知平面向量a = （ 1, 3） , 3 = （4, 2）,!与a垂

21、直，则是（）A. 1 B. 1 解：由于 a bC. 24, 32 ,D. 21, 3 ,43320,即 1010 01，选A点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。例6、（2008广东理）在平行四边形 ABCD中, AC与BD交于点O, E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若ACa , BDb,则 AFA 141 j241 bC1 a1 31彳A . - abB. abD. -a4233243解：AO1 -a , ADAOOD1 - a1 - b ,222一 1-11 1 1 11 -AE(AOAD)-a -baa-

22、b,222 2224由 A、E、F三【点共线,知AFAE,123而满足此条件的选择支只有B,故选B.点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的个难点，体现数形结合的数学思想。Ii1,|b| 3，贝U例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为1200,Ta52Jib522Jr a5223OX2X5249235a b 7点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要 细心，运算不要出现错误即可。考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式， 并能熟练应用，求点分 有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主

23、要以选择题或填空题型出现，难度一 般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目例& (2008湖南理)设D E、F分别是 ABC勺三边BC CA AB上的点，且DC 2bD, cE 2eA, AF 2FB,则 aD bE CF 与 bC (A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得：AD AC 2AB 1 aC -Ab,同理，有:1233語 1 詛 -BA,1 CA - CB,以上三式相加得3333忒討戸 1討,所以选A.3点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算

24、，是解决本题的要点考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角 形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。例 9、 (2008深圳福田等)已知向量 a (、3sinx,cosx), b (cosx,cosx),函数f(x)46Jla2(1)求f(x)的最小正周期;值.(2)当 x 6, 2时,若 f(x) 1,求 x 的 3sin2x cos2x 2sin(2x ).解:(1) f (x)2、

25、3sin xcosx 2cos2 x 1所以，T=由 f (x)1,得 sin 2x75-x ,，2x ,- - 2x6 2 6 2 6 6 6点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,x 3但通常难度不大,并结合简单的向量一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，例-0、（2007山东文）在厶ABC中，角A B，C的对边分别为运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换， 以及解三角形等知识点.(1) 求 cosC ;(2) 若 cB?cAa， b， c,tanC 3,7 .5，且 a b 9，求 c .2解：(1) " tanC 3、7,竺£ 3 .71c

26、osC又 f sin2C cos2C 1 解得 cosC* tanC 0,(2)由cB?cA1C是锐角.cosC -.8abcosCab 20 .b22 2a 2ab b2ab cosC 36 .81 .2 2a b 41 .点评：本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积，余弦定理等内容。例 11、（2007 湖北）将 y 2cos扌的图象按向量-,2平移，则平4移后所得图象的解析式为A. y2cos 彳n 2B. y2cos -3C. y2cos - 2312D. yx2cos -3解:由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点P x,y , P x,y ,n，2x, y

27、 y x x , y y 2,4代入到已知解析式中可得选A点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识， 以平移公式切 入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反， 或死记硬背以为是先向右 平移个单位，再向下平移2个单位，误选C4考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问 题为主，要注意自变量的取值范围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例12、(2008广东六校联考)已知向量 a = (cos x， sin x)， b =2 2(cosX , sin 仝)，且 x 0，.2 2 2(1)求 a b解:(I )由已知条

28、件：0 x刁曰得：2c .3xx3x.x(2)f(x)2sinx cos -cossinsin22222sin x cos2xsin x 1(2)设函数f(x) a b +a b，求函数f (x)的最值及相应的x的值因为：0 x ，所以：021fmax(x)所以，只有当：x -时，2x 0，或 x 1 时，fmin(X)1点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口 向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示. 在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将

29、“形”和“数”紧密地结合 在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题， 都可以转化为大家熟悉的赋予几何图形有代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中, 关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题 转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解 决.【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的 试题。例13、如图在Rt ABC中，已知BC=a若长为2a的线段PQ以A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时,BP CQ的值最大并求出这个最大值。解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的 平面直角坐标系。设 |AB|=c，|AC|=b，则 A（0，0），B

30、（c，0），C（0，b） 且|PQ|=2a，|BC|=a.设点 P 的坐标为（x，y），则 Q（-x，-y），BP(xc，y),CQ( x, yb),BC( c，b),PQ ( 2x，2y).BP CQ (x c)( x) y( y b)2 2(x y ) cx by. cosBC PQ cx by 2| BC | | PQ | a二 cx-by=a 2cosBP CQ =- a 2+ a2cos.故当cos =1，即=0 ( PQ 与 BC 方向相同）时，BP CQ的值最大，其最大值为0.点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与 几何问题的融合。考查学生运用向量知识

31、解决综合问题的能力。平面向量全章检测说明：本试卷分第I卷和第U卷两部分.第I卷60分，第U卷90分,共150 分，答题时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1. 在 ABC中，一定成立的是A. as in A=bsi n B B.acosA=bcosBC.as in B=bsi nAD.acos B=bcosA2. ABC中, sin 2A=sin 2&in 2C 则厶 ABC为()A .直角三角形B.等腰直角三角形C .等边三角形D.等腰三角形3. 在 ABC中，较短的两边为 a 2 2,b2 3 ,且A=45°

32、 ,则角C的大小是()A. 15°B.75C.120°D.60°4. 在 ABC中，已知 |AB| 4,| AC | 1, S ABC 、3,则 AB AC 等于()A. 2B.2C.土 2D.土 45 .设A是厶ABC中的最小角，且cosA ，贝y实数a的取值范围是a 1( )A. a> 3B . a> 1C . 1v a< 3D. a> 06.在厶 ABC中,三边长 AB=7, BO5, AO6,贝U AB BC 等于D. 19（ ）D.既不充分也不必要A. 19B . 14C. 187.在厶ABC中, A> B是sin A>

33、; sin B成立的什么条件A.充分不必要B .必要不充分C.充要&若 ABC的3条边的长分别为3, 4, 6,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是B. 1 : 2C. 1 : 4D. 3 : 4(A. 1 : 19.已知向量a (1 , 1),b (2,3)，若ka 2b与a垂直，则实数k =()A. 1B. 1C. 0D. 210已知向量a=(cos ,sin )，向量b=G，3, 1)，则|2 a- b|的最大值是( )A. 4B. 4C. 2D. - 211. 已知a、b是非零向量，则|a|=| b|是(a+b)与(a- b)垂直的()A.充分但不必要条件

34、B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则 坡底要伸长( )A. 1 公里B. sin10。公里 C. cos10。公里 D. cos20。公里第U卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题4分，共16分，答案填在横线上)13在 ABC中, BG3，AB=2,且-C 6 1)，A=.sin B 514. 在厶ABC中,已知AB= , / C=50° ,当/ B=时，BC的长取得最大值.15. 向量 a、b 满足(a- b)( 2a+b) =-4,且 | a|=2 , | b|=4，则 a 与 b 夹角的余弦值等于.16已知 a丄b、c 与 a、b 的夹角均为 60°,且 |a|=1,| b|=2,| c|=3,则(a+2b-c) 2 = _.三、解答题(本大题共74分，17 21题每题12分，22题14分)17. 设