平面直角坐标变换

1、平面直角坐标变换§ 5.7平面直角坐标变换同的坐标系下的坐标之间的关系设在仅面虑给出了由两个变架_ 和I以及丿和所是定组坐标基角坐标它们是平面 上的两个标准正交基系我们依次称这两个坐标系占和坐标基向程之为的关系同我图形在不同的坐标一下的在不、 同的问题系下为我们之究的图系，点这就是坐标变和j；以及 L上的两个标和新坐基系. 量所由于坐标系的位置系 量所决定系所，以新标'系、与旧坐标系、之间JHJ关 ， 系系就由O'在O；, j 中的坐标以及i'和j'在 0；任主一一坐标平移直角的 分量所决可以旋解成两个步骤也叫O ；i, J 和 平面'如果两个

2、标架O; i, j 和O' i, j' 的 原点O与O'不同6在O:i, j 中的坐标为(xo, yo),但两标架的坐标基向量相同系即有 I I/1 = 1系'=j由标架O; i,E l r八、亠卞由1. 移轴那么标架O' i',那将原点平移1移车O'点坐得来的;图507-1).这种 和(设P疋平面内坐标分另点为它对标与O;则 有OP OO O P 但OP xi yj系OP xi yj 系OO xoi y°j于是有xi yj (x xo)i (y yo)j 故x系y = gyo+根据向量相等的定义得移轴公式为(5.7(5.7x

3、x X0 y y yo1)从中解出x'和y'，就得逆变换公式为x x Xoy y yo2)2. 转轴的坐标变换叫，,肌但坐标基向!&是由标。(坐标旋到标架°'；2若两个标架O ；i 点相同，即O. = O', 架O; j丄绕. 备坐2标变换种由标架轴y' y下面推导转轴公 设P是平面内任 意一点，它对O;i, j 和O' i', j'的坐标 分别为(x , y)与(x,y), 即有OP xi yjOP xi yj因为/ (i, i')=，新 旧坐标基本向量之间有关系i i cos j i cos 于是有j

4、sinn .i sin2n .i sin2j COS图 y ( i sin j cos )(x sin y cos ) jOP OP，故可直接得(5.7O P x (i cos j sin )(x cos y sin )i“4因为和O'是同一点， 到转轴公式：x x cosy siny x siny cos3) _ _ 从(5.7-3)中解出x'和y'，就得到用旧坐标表 示新坐标的逆变换公式：(5.7x xcos ysinyxsi n ycosO；' ,'绕4) _ 式中的为坐标轴的旋转角.(5.7 4)式也可看成是 O旋转-角变到O; i, j*根据线

5、性代数的理论，(5.7 3)可写为 ，这里的坐标变换的矩阵q sos c0s是一个正交矩阵，因而其逆矩阵Q1 Qt ,逆变换公式可 以直接由；Qt；写出.在一般情况下，由旧坐标系O' x'y'乂总可以分两步来兀成.即卩先移轴标原点与新坐标系的原点丄O 重合，变成坐- 然后再由辅助坐标系O' x"y"却'(图 ).的旧坐标与新坐标分别系O' x"y"新转3. 一般坐标变换公式标系O' 使坐标原点标而设平面系后再-由辅为(x, y)与(X', y')，而在辅助“图 x x x0 y yx

6、oy sin y cos中的坐标为曰(x" , y")，那么由(5.7 1 )与(5.7 4)分别得与xx cos由上两式得一般坐yx sin标变换公式为x x cos y sin xy x sin y cos y05)由(5.7 5)解出x' , y'便得逆变换公式x xcosysin(x0 cos y0sin )y xsin ycos ( x()sin y0 cos )(5.7(5.76）平面直角坐标变换公式（5.7 5）是由新坐标系 原点的坐标（X。, yo）与坐标轴的旋转角 决定的.4 .由给定的新坐标轴确定的坐标变换 林、确定坐标变换公、式， 外，

7、假定坐有其换公法 标系中的方程，'设在直角坐标系 xOy里给定了两条相互垂除了坐标平移和旋转亠”系的两坐标轴在旧坐廿左宀农T丄并规定上个轴的正方向，就可 以确定又一种坐标变换公式一设在 直的直线|i :Ax Biy Ci 0 ,I2 : A2x B2y C20女o果取、系其中AA B&2 0 .如果取 直线h为新坐标系中 的横轴O'x'，而直线 y为纵理O'y；,并设平 标上与任意坐、标1分的旧是 为x，y 是点MX,因 到O©轴的距离，也 点到I2的距离 （图）,所以有|x| |A2x就是B2y C2.A B；同理可得|y| * 2Biy 2

8、CiAi Bi于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变 换公式A2 xB2 y C2x .AB2AixBi y Ciy(5.7.Ai2Bi7)为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将 (5.7 7)式与公式'、7)中的符号細(5.7 4)比较来决定(5.7B2B；Bicos ,JA；sin ,p A B12sin.A B；_Ai_A2_Bi2因此式的右端的中的第一式榮的的符号选右坐端变得这两项常系数是同号一般中:为新坐标轴，把符次曲线的方程化为标准方程.以上给出的坐标变换的公式 (5.7 5)、(5.7 6)和(5.7 7)实质上都是一样的.*5 .坐标变换下代数曲线及其次数的不变性在直

9、角坐标系下，线的万程能写成F (x, y)=.、.做代数方程X和它所表多项式平面面曲线这种方程就数曲 线.不是代数曲线的曲线叫做 超越曲线代数方 程的次数叫做代数曲线的次数.由于上面给出的几个坐标变换公式都是一 次式(线性的)，而任何代数方程经过一次式的 变换式的变然之后也数然程是超越方程越方程经过T命题 5.7.1 曲坐标变换下保持不变之下也是保持不变！命题5.7换下保持不变.分别为3x-4y:6=0选坐标主直彳的方曰上cosx的系数应与 的系数相等所以(5.7 7) 勺方法常用来在求得一般中“ 方法的下程化用两一主直径作如果我们所讨论其平課, ，那么这种方程就叫命题.571 .曲线的代数性

10、和超越性在线性 另一方面，代数方程的次数在一次式的变换 题15：7.2八代数曲线的次数在线性坐标变例已知新坐标系的x'轴与y轴的方程 丨与4x + 3y -17= 0,求坐标变是旧坐标系下任一4x 3y 17x:公其，并求意，设0M；,，则于新坐标系的坐标. 点，其新坐标为(x', y')，则有53x 4y 6y根据上面的符号选取法则得变换公式为4x 3y 174x 3y 17xx53x 4y 6 y或 5 3x 4y 6 y若选第一个坐标变换公式，则点A (0，1)关 于新坐标系的坐标是(-14/5, - 2/5);若选第二 个，则点A (0,1)关于新坐标系的坐标是(14/5, 2