平面向量复习义

1、平面向量复习讲义一. 向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是_-AB）;I AB |4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记 作：a / b，规定零向量和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相

2、等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有0）;6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。女口 下列命题：（1）若，则二b。 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB二DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则 AB =DC o （ 5）若 a =bb c，则 a =c 0 （ 6）若 a / bb/ c ，则 a / c。其中正确的是 （答：（4） （5）二. 向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示

3、，如AB，注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a可表示为xi y j -I x, y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。三. 平面向量的线性运算：（1）向量加法: 三角形法则：（“首尾相接，首尾连”），如图，已知向量a、b 在平面内任取一点 A，作AB = a，BC = b，则向量AC叫做a与b的和，记作a b定: a + 0-= 0 + a=a

4、,I-r-* I- =I-当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且| a+ b |<| a |+| b当a与b同向时，贝U a + b、a、b同向，且|a + b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a + b的方向与a相同，且|a + b |=|a |-|b若|a |<|b |,则a + b的方向与b相同，且|a +b|=| b |-| a |.结论：a +b兰a 平行四边形法则：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对 应向量就是和向量。 加法的运算律F- ¥-9-1） 向量加法的交换律：a + b = b

5、 + af一IM7+2）向量加法的结合律：（a + b） + c = a + （ b + c）（2）向量减法：向量减法的定义：向量 a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a - b = a + （ -b）求两个向1用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:量差的运算叫做向量的减法贝 y BA = a b作 0A = a, OB = b即a - b可以表示为从向量 b的终点指向向量若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b2.求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 a - b/ (a-b) + b = a + ( -b) + b = a + 0 = a作法：在平

6、面内取一点0,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。注意：1 AB表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b)AB'Ba + (二 b-',b课堂练习：1. 化简： AB +BC +CD =_: AB _AD _DC =; (AB _CD ) _(AC _BD ) =(答：AD ，CB :0 );"""Th2. 若正方形 ABCD 的边长为 1, AB =a, BC =b, AC =c，贝U |a+b+c| =(3) 向量数乘：求实数入与向量a的积

7、的运算1 -.匕 1= 1 Lla I；2 .当?>0时，扫的方向与a的方向 相同_，当 肚0时，泡的方向与a的方向相反 ，当 匸0时，扫=03 向量数乘的运算律X 厲)=_ (入a, (W “ a= 扫+ jja , a+ b) = ?a + ?b。4)共线向量定理a是一个非零向量，若存在唯一一个实数入使得b= X，则向量b与非零向量a共线.(证明三点共线)三点A、B、C共线=AB、AC共线。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的'区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2) 向量a、b共线是指存在不全为零的实数乃，力，使

8、入a + Xb= 0成立，若Xa+ Xb= 0,当且仅当X= X= 0时成立，则向量a、b不共线.例1.设两个非零向量 a与b不共线，(1) 若晶=a + b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求证：A、B、D 三点共线;(2) 试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.四. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1 . 2，使 a= 1 e1+ 匕 e2我们把不共线的向量 e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。向量的夹角：已知两个非零向量 a、b，作OA =a , OB =b，则/ A

9、OB=二，叫向量a、b的夹角，AE当宀, a、b同向，当-_180 , a、b反向，当-_ 90 , a与b垂直，记作a丄b。例1如图，在 ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB = a, AC = b,试用a,Ab表示AG.fi用方程思想解决平面向量的线性运算问题：例2如图所示，在 ABO中，0 = 1 , = 1 , AD与BC相交于点 M ,设OA = a, OB = b.试用a和b表示向量Om解设 OM = ma + nb, 则 AM = 0M 0A = ma+ nb a= (m 1) a+ n b.1 A A1AD = OD OA = 3OB OA =

10、a + ?b.又 A、M、D三点共线， AM与AD共线.存在实数t,使得AM = tAD, 即(m 1)a + nb= t - a+ 2b .1- (m 1)a + nb= ta+ 3".m 1 = t1 t，消去 t 得，m 1 = 2n,n= 2即 m+ 2n= 1.又/ CM = 0M O = ma+ nb 4a = m 1 a+ nb,CB = 0B 0 = b 4 a=- 1a+ 匕又tc、m、b三点共线， Cm与B共线.=t1 CB,nb= t1 1 a+ b ,存在实数t1，使得M m- 1,消去 b 得，4m + n = 1.m- 4=- 4t1n= ti1由得m=

11、1，n = 3, Om = 7a+ 7b.课堂练习： (1)若 a =(1,1),b = (1,-1), c =( 一1,2)，贝U c =(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. ei = (0, 0), e2 = (i,2)B.e, -i,2),e(5,7)C. ei =(3,5), e2 =(6,i0)D.-i3ei = (2，-3), e2 =(,) 24(答:B)；(3)已知AD , BE分别是.ABC的边BC , AC上的中线，且AD= a，BE =b ,贝y BC可用向量(答：丄 a _? b )；2 2(答：-a 4b)；33a, b表示为(4)已知.：ABC 中，

12、点 D 在 BC 边上，且 CD = 2 DB ，CD = r AB s AC，则 r s 的 值是(答：0)五. 平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a= (xi， yi)， b=(X2，y2)(1) 加法：a + b= (xi + X2，% + y?)(2) 减法：a b= (xi x2， yi y2)(3) 数乘：a= ( xi， yi)(4) 向量的坐标：若 A(xi，yi)，B(X2，y2)，则AB =(xxi,yyi)，一个向量的坐标等于表示 此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。xi + x2 y y2(5) 中点坐标：若 A(xi, yi)，B(X2, y2)，则线段

13、AB的中点坐标为(=2)2 2(6) 向量相等：若 a= (xi，yi)， b= (x2，y2)，贝y' _Xi = X2a = b = *M =y2(7) 向量共线或平行：a= (xi，yi)，b= (X2，y2)，若 a / /b，则 xi yx2yi.f30°，求向量OA的坐标.题型一求向量的坐标f【例题1】如图所示，若 OA =2,0A与x轴正方向夹角为【例题2】"BC的三个顶点的坐标分别是T T TAB , AD , BC .题型二 由向量相等求参数的值2 2【例题3】已知向量a =(x y ,xy ), b =(5,-2)，若a = b，求x, y的值.

14、题型三 平面向量的坐标运算1. 向量坐标运算的直接应用1 3"【例题4】已知平面向量a = (1,1), b =(1,-1)，则向量一 a b =()2 2A. (2,1) B. ( -2,1)C. (1,2) D. (1,2)2. 利用向量坐标运算求点的坐标T TT= 3CA,CN =2CB ,求 M ,N 的坐标.T【例题 引 已知 A(-2,4), B(3,-1), C(-3,-4)且 CM题型四 平面向量平行的坐标运算【例题6】(1)若向量a =(x,1), b =(4, x)，当x =时a与b共线且方向相同一 -一(答：2)；(2) 已知 a =(1,1), b =(4,

15、x) , u =a+2b , v =2a+b，且 u / v，贝x =(答：4);(3) 设 PA =(k,12), PB =(4,5), PC =(10, k)，则 k=时，A,B,C 共线(答：一2 或 11)六. 平面向量的数量积(1)两个非零向量夹角的概念:已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b，则ZAOB=于叫a与b的夹角U 0说明：1.当B=0时，a与b同向；2.当v -180时，a与b反向；3 .当v - 90时，a与b垂直，记aXb;4.注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0180(2)平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是

16、0,则数量a b cos日叫a与b的数量积，记作a虫，即有a b = a b cos日,(0 <0 n注意数量积是一个实数，不再是一个向量其中日是a与b的夹角，a cos日(b cos 8)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我 们规定0向量与任何向量的数量积为0.(3) 两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，1. a_b ：= a b = 02. 当a与b同向时，ab =当a与b反向时，ab = -|a|b|.特别的a a = |af或|a|= a a|ab| < |a|b|COST =a b|a|b|3 .当r为锐角时，a * b > 0,且a、b不同

17、向，a b 0是r为锐角的必要非充分条件 ；当v为 钝角时，a b v 0，且a、b不反向，a b ： 0是二为钝角的必要非充分条件 ；当二为直角时，ab =0.(4) 向量的投影：投影”的概念：作图定义：|b|cosT叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 动锐角时投影为正值；当动钝角时投影为负值；当动直角时投影为0；当二=0时投影为|b|；当二=180时投影为 Tb|.向量的数量积的几何意义:数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos：i的乘积.（5）向量的运算律:1交换律：a b = b a，先.La - a , a «b =b «a

18、;2 .结合律：a 亠 b 亠c = a 亠b ；亠 c, a b c = a； b 亠 c , v a b = a «b = a b ;3 .分配律：a = a a, I a 亠 b =，a 亠；.b , a 亠 b c = a c 亠 b c。如F列命题中：-2 | a | | b | | b |2 :a(bc) =abac': albc) = (a【b) C ;(a】b)2=|af 若 a b =0，贝U a=0 或 b=0 ;若 a c b,贝 U a = c ； ® b :（a b）2 =a b :（a _bf =a -2a b +b。其中正确的是 a a

19、（答：）（6）向量的数量积的坐标表示、模、夹角：1 .数量积：a b= xix2 + 丫仔2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。2.向量垂直：a 丄 b：= X1X2 + yi y2= 03. 向量的模长：若 a = (x, y),贝V | a |= X , a =| a f = x? y?4.向量的夹角：若a = (xi, yi),b= (X2, y2)，贝U cos : a, b =a b|a | b |XiX2 +yy2'22 I2Xi %* X2 y2| a | cos : a, b 飞=5.两点间的距离：若 A Xi,yi ,B X2, y2 ，则 | AB 戶迸心

20、-x?/ (% - yfa在b方向上的正射影的数量为 XiX2yi y2I 22>2y2课堂练习：1. 已知| 了| = 3 , |=5，且a.b = i2，则向量a在向量b上的投影为 I2 （答：22 ）5TTT T2. 已知a =（扎2入），b =（3人2），如果a与b的夹角为锐角，贝U九的取值范围是 4 I（答：或；0且.）;331 '.3J J3. 已知 OFQ的面积为S，且OFFQ =i，若 S，则OF , FQ夹角r的取值范围是2 2Ji Ji（答：（一，一）；4 34. ABC中,| AB |= 3 , | AC 1= 4 , 1 BC 1= 5，则 AB BC =(答:- 9);1 1 1 1 -5. 已知 a =（1,_）,b =（0,c =a +kb,d =a _b , c 与 d 的夹角为，贝U k 等于224（答：1）；6. 已知=2, b =5,b=_3，贝y a+b等于（答：g）;7. 已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60 一，那么| a+3b | =（答：币）；8.已知a,b是两个非零向量，且七向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） | a |b| 勺a _b |a | -