二次函数的总结及相关典型的题目

1、实用标准文案二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识21 .定乂： 一般地，如果丫=2* +bx+c(a,b,c是常数，a#0),那么y叫做x的二次函数.2 .二次函数y=ax2的性质(1)抛物线y =ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.(2)函数y= ax2的图像与a的符号关系.当a >0时u抛物线开口向上 u 顶点为其最低点；当a<0时u抛物线开口向下 已 顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y = ax2 (a # 0).3 .二次函数 y=ax2 +bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4 .二次函数y=ax2

2、+bx+c用配方法可化成：y = a(x hf+k的形式，其中, b , 4ac -b2 h=,k=.2a4a5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y = ax2 ；y = ax2+k ;y = a(x - h f ； y = a(x -h 2 + k； y = ax2 + bx + c .6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a的符号决定抛物线的开口方向：当 a>0时，开口向上；当 a<0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作 x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，

3、如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法f. 2, 2八4+2 , , , f , b 1 . 4ac-b * 一0 / b 4ac -b、(1)公式法：y = ax +bx+c = ax+,顶点是(,),I 2a) 4a2a 4a对称轴是直线x =-. 2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x-hf+k的形式，得到顶精彩文档点为(h, k),对称轴是直线x = h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的

4、交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y =ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线又称轴的位置 .由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线bbx =，故：b = 0时，对称轴为y轴；一> 0 (即a、b同号)时，对称轴2aa在y轴左侧；b <0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧. a(3) c的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,，抛物线 y = ax2 + bx + c与y轴

5、有且只有一个交点(0, c)：c = 0 ,抛物线经过原点；c > 0,与y轴交于正半轴； c < 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2 y =ax当a a 0时开口向上当a c0时开口向卜x = 0 ( y 轴)(0,0)y = ax2 + kx = 0 ( y 轴)(0, k)y = a (x - h 2x = h(h,0)y = a(x-h 2 +kx = h(h, k)2y =ax +bx +cb x -2a/ b 4ac-b2(，-)

6、2a 4a11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y = ax2 +bx + c .已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式(2)顶点式：y =a(x -h f +k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.精彩文档实用标准文案(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、X2 ,通常选用交点式：y =a(x xi'(x X2 ).12 .直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y =ax2 +bx +c得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2 +bx + c有且只有一个交点(h , ah 2 bh c).(3)抛物线与x轴的交点

7、二次函数y =ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标 、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c =0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 u A0u抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)u A=0u抛物线与x轴相切；没有交点u A <0二 抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax2 +bx + c = k的两个实数根.(5) 一次函数y=kx + n(k00和图像l与二次函数y = ax2

8、+bx +c(a # 0)的图像G的? = kx + n交点，由方程组J 2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时_y = ax + bx + cu l与G有两个交点；方程组只有一组解时 u l与G只有一个交点；方程组无 解时u l与G没有交点.(6)抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax2 + bx + c与x轴两交点为A(x1,0) B(x2,0 ),由于 x1、x2 是方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根，故xi x2=-b,xi x2, aaAB = x1 -x2 = V(x1 -x2 f=4仪1 -x2 2 -4x1x2 =' b2 - 4ac _、|a

9、a第二部分典型习题考点1:函数的三种形式1 .抛物线y=x2+ 2x 2的顶点坐标是 ()A. (2, 2)B. (1, 2) C. (1, 3)D. (1, 3)2 .抛物线y=2(x-3) 2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C. x轴上 D. y轴上3 .抛物线y = (x-2)2 +1的顶点坐标是A. (2, 1)B. (-2 , -1 )C. (-2 , 1) D, (2, -1 )4 .如图，抛物线 y =ax2 +bx+c与x轴交于点(一1,0),对称轴为x =1 ,则下列结论中正确的是A. a >0B .当x >1时，y随x的增大而增大C . C < 0D

10、. x=3是一元二次方程 ax2+bx+c = 0的一个根5 .抛物线y=x2+bx+c,经过A(-1 , 0) , B(3, 0)两点，则这条抛物线的解析式为6 .已知抛物线y=x2+4x5.(1)直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；(2)用配方法将 y=x2+4x5化成y =a(x h)2十k的形式.7.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x-101234y830-103(1)求该二次函数的解析式；(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3) 若A (m y。，B(n+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时，y1A8.抛物线y=ax

11、2+bx+c上部分点的横坐标 x,纵坐标y的对应值如下表:x-21012y04408（1）根据上表填空： 抛物线与 x轴的交点坐标是 和；抛物线经过点（-3,） ; 在对称轴右侧，y随x增大而;（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式.解：（1） 抛物线与 x轴的交点坐标是 和抛物线经过点（-3,） ; 在对称轴右侧，y随x增大而 (2)考点2.a、b、c符号问题1、已知二次函数 y=ax2 +bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. ab>0, c>0 B. ab>0, cv 0 C. ab<0, c>02.二次函数y=ax2+ bx+c的图象如

12、上图所示，则下列结论正确的是（）D. abv0, c<0A.a>0,b<0,c>0B. a<0,b<0, c>0C.a<0,b>0,c<0D, a<0,b>0, c>03已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如上图所示，则下列结论中正确的是()A . a>0B . c<02 C . b -4ac<0d . a+b+c>04 .已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是()A. a+b+c>0B. b> -2aC. a-b+c> 0D. c< 05

13、 .抛物线y=ax2+bx+c中，b=4a,它的图象如右图，有以下结论：c>0;a+b+c> 0a-b+c> 0b2-4ac<0abc< 0;其中正确的为( )A.B.C.D.那么D.1个2a + b)6 .已知二次函数 y=ax2 + bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的 ()7 .二次函数y=ax2+bx + c的图象如图所示,个代数式中，值为正数的有()A.4个 B.3个 C.2个考点3:二次函数的增减性1 .二次函数y=3x26x+5,当x>1时，y随x的增大而 ;当x<1时，y随x的增大 而;当x=

14、1时，函数有最 值是。2 .已知函数y=4x2mx+5当x> 2时,y随x的增大而增大；当 x< 2时，y随x的增大 而减少；则当x=1时,y的值为。3 .已知二次函数 y=x2-(m+1)x+1，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是4 .已知二次函数 y=-2 x 2+3x+2 的图象上有三点 A(xi,yi),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且 3<xsx2<x3, 则yi,y 2,y 3的大小关系为 .考点：4:图象平移对称问题1 .将抛物线y=x2先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是.2 .将抛物线y

15、 = -x2向左平移2个单位，再向上平移 1个单位后，得到的抛物线的解析式为.3 .将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3，则下列平移过程正确的是()A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位4 .抛物线y=2x24x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。5 .抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为 y=2x2 4x+3,则a= b= c=6 .已知抛物线 y =kx2+(k 2)x 2 (其中 k>0).(1)求该抛物线与 x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n),直接写出n的最小值；

16、(3)将该抛物线先向右平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度，随着k的变化,2k平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式(不要 求写自变量的取值范围).考点5:三个二次问题：1.已知二次函数y= kx2+(2k1)x1与x轴交点的横坐标为 x1、x2 ( x1<x2),则对于下列结论：当 x = 2时，y=1；当x>x2时，y>0;方程kx2+ (2k1)x1= 0有"人上生山-.1+4k2两个不相等的头数根 x1、x2;x1< -1 , x2> 1 ;x2x1=,其中所有正k确的结论是(只需填写序号).1 22 .已知一次函

17、数y=-2x2+x, (1)它的最大值为 ； (2)若存在实数 m, n使得当自变 量x的取值范围是 m< xWn时，函数值y的取值范围恰好是 3ms y< 3n,则m=, n=.3 .已知二次函数 y= ax22的图象经过点(1, 1).求这个二次函数的解析式，并判断该精彩文档实用标准文案函数图象与x轴的交点的个数.4 .已知函数 y =x2 +bx +c (x > 0 ),满足当 x =1 时，y = 1 , 且当x = 0与x =4时的函数值相等.(1)求函数y =x2 +bx+c (x > 0)的解析式并画出它的图象(不要求列表)；(2)若f(x)表示自变量x相

18、对应的函数值，且2卜+bx+c (x>0),又已知关于x的方程1 2 (x ：二0),f(x)=x + k有三个不相等的实数根，请利用图象直接 写出实数k的取值范围.考点6:二次函数的应用2 .某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=-2x+80(20wxw40),设销售这种手套每天的利润为y (元)(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：3 .已知二次函数y=dmx2+(3- 4m)x-3 (m>0)的图象与x轴交于点(x1, 0)和(x2, 0), 且精彩文

19、档实用标准文案Xi<X2.(1 )求X2的值； 求代数式 mx，+而22 +(3而)X1 +61 2 +9的值考点7：二次函数与一次函数1 .若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()ABCD2 .当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()3 .已知直线y = -2x+b(b¥0)与x轴交于点 A,与y轴交于点 B； 一抛物线的解析式为2y = x fb 10 x c.(1)若该抛物线过点 B,且它白顶点 P在直线y = -2x+b上，试确定这条抛物线的解析(2)过点B作直

20、线BC±AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线y = 2x +b的解析式.精彩文档考点8:代数几何综合问题1 .如图，已知中，BC=& BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E,交AC于点F （EF不过A B）,设E到BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（）22 .抛物线y=x 2x3与x轴分别交于 A、B两点，则AB的长为.3 . 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a W0）的图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A（m, 0）和点B,且m>4那么AB的长是（）A. 4+mB. m；二卜十三二C. 2m-8D. 8-

21、2m4.某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1 ： 11000的比例图上，跨度 AB=5 cm,拱高OC= 0.9 cm,线段DE表示大桥拱内桥长， DE/ AB,如图（1）.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为 y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域;（2）如果DE与AB的距离。阵0.45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长 （备用数据：J2 % 1.4 , 计算结果精确到1米）.245 .已知抛物线y=ax +(+3a)x+4与x轴交于A B两点，与y轴交于点C.是否存在 3实数a,使得 ABC为直角三角形.若存在，请求出 a的值；若不存在，请说明理由.6 .如图，已知抛物线经过坐标原点 O及4-2,3，0),其顶点为B(m3), C是AB中点，点E 是直线OC±的一个动点(点E与点O不重