圆的证明与计算（华科）

1、圆的证明与计算(双图题)专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，对部分学生是难点，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、圆中的有关知识点： 1、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等

2、及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形式由原来的单图题演变成双图题，第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中简单性质进行计算和证明，第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线段比、三角函数的有关问题的能力。三、解题思想与方法计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，结合问题设问的角度，选择合适

3、的定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想有：（1）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，运用勾股定理、比例线段或三角函数建立方程，解决问题。（2）数学方法：如面积法，勾股定理，相似，三角函数等（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。（4）构造策略：如：构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型（已知线段长度）构

4、造三角函数(已知有角度的情况）；构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；;构造切割线，找相似；构造平行线，找线段比 典型基本图型与例题：【圆的有关性质的运用：】图形1：如图：CD是的外角平分线，CD交的外接圆O于点D，基本结论有： 图（1） 图（2） 图（3）（1）弧BD=弧AD BD=AD (在、中知一推二) （2）若图（2）中则 （3）若C为弧BD的中点，则，CA平分(在、中知一推二) 为定值典型例题：1、（2013年中考）如图，在平面直角坐标系中，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA，PB，PC （1）如图，若BPC60

5、°，求证：；（2）如图，若，求的值 图1 图2（1）证明：弧BC弧BC，BACBPC60°又ABAC，ABC为等边三角形ACB60°，点P是弧AB的中点，ACP30°，又APCABC60°，ACAP（2）思路一：转换BPC至RtFOC中的FOC中，表示线段；在建构设问PAB所在的直角三角形，应用垂径定理连PO； 思路二：转换BPC至RtFOC中的FOC中，表示线段；转换设问PAB至RtEFC中的EOC ，应用角平分线的性质求EF.思路三：转换BPC至等腰ABC中的BAC中，作垂线构造直角三角形ABH,应用三角函数值表示线段；把设问PAB转至直角

6、三角形MHC中，应用面积法证明CH:BC=MH:BM,即可表示MH与CH；2、O为的外接圆，弧DB=弧DC，延长BA至F。 (1)如图1，求证:DA平分; (2)如图2，于M，若OM=，AB=1,求的值。 图1 图2思路：1、45度角一般与等腰直角三角形结合，在圆中连半径OA,OD即可2、由第一问AD为角平分线，联想到角平分线的性质，作垂线DF,DE3、具体线段OM,以及OM CD,组成直角边 已知的直角三角形；结合1、2，可找到 DOMADE,求解AE.4、结合设问在RTDEA中，表示AE、AD此题也可建构直角三角形运用勾股定理，表示AD，联立方程求解3、内接于O，AB为O的直径，的平分线交

7、O于D。 (1)如图1，求证:; (2)如图2，过D作O的切线交CA的延长线于P，若求的值。 图1 图24、已知在中AB=AC，CD为外接圆的直径，DM/AC交AB于M。 (1)如图1，若求证：;(2)如图2，延长DM交BC于E，CE=4，CD=10，求AM的长。图1 图2原创例题(来源：课本九年级上册88页12题)1、已知CD是的外角平分线，CD交A、B、C三点的O于点D。(1)如图1，若弧BD=弧AB，求证：AB=AO(2)如图2，若的值。【切线性质与切线长定理运用】图形2：如图：RtABC中，ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1）在“

8、BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH典型例题：5、（2011武汉中考22题）如图，PA为O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交O于点B,延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为O的切线；（2）若tanABE=,求sinE.（1）证明：连

9、接OA,PA为O的切线，PAO=90° OA=OB,OPAB于C,BC=CA,PB=PA PAOPBOPBO=PAO=90°PB为O的切线 (2)思路一：直接在RtABD表示线段AD和AB的关系；应用切割线定理有AED BEA,得AE,DE,BE关系；利用切线长定理，在RtBPE中，利用勾股定理，表示BP,EP关系思路二：由切线长定理，转设问为求解AP:EP的值把ABE看作是RtABD中的OBF，利用母子型和中位线特点寻找平行线AD与OP的关系6、中，AB=AC,以AB为直径的O交BC于D，交AC于点F，过D作O的切线交AC于E，OE交O于M.（1）如图1，若EM=1，DE

10、=3，求的值（2）如图2，若，求的值。思路一：根据中位线和切线的性质， EDM就在直角三角形中，利用平行线EN=EM,则出现基本图形利用勾股定理即可求解思路二：作垂线建构EDM在直角三角形DMH中，出现基本图形，利用勾股定理，平行线HM/ED，找EO与OD的关系即可求解思路三：看的切线和过圆心的割线，想到切割线定理，补全图像。转换EDM成直角三角形中的EID，利用三角形相似即可。7、在中O分别于AC、BC相切于点D、E。（1）如图1，若O 于AB相切于点F，AC=4，BC=2，求OC的长；（2）如图2，若点O在AB上，,求的值。8、在中O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的O切AC于点M，交

11、BC于点D，CD=2，OD=3.（1）如图1，求AM的长（2）如图2，点E为AB的中点，CE、MB交于点,N，求的值。原创例题：(来源：课本九年级上册88页12题)2、已知AB为O的直径，C为O上一点，CP为O的切线交AB延长线于P。（1） 若AC=CP，求证：AC=AB（2） 若M为弧AB的中点，连接CM交AB于N，且AB=,求CN的长。(来源：课本九年级上册102页第5题)3、,O分别交AC、AB、BC的延长线于D、E、F。（1） 若BC=3，AC=4，求O的半径（2） 若Q为BF的中点连接EQ交BO于P，且，求的值。【切线性质与矩形结合】图形3：如图1：AB是O的直径，点E、C是O上的两

12、点，基本结论有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CKAB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2AK=2AD;ADCACBAC2=ADAB 典型例题：9、如图，AB是O的直径，CE切O于点C，于点E，连BE。若AE=6，O的半径为5，求的值。10、在中O在AB上，O经过点A，与CB切于点D，分别叫AB、AC于E、F. (1)求证：; (2)CE、AD相交于点P，若求的值。原创例题：(来源：课本九年级上册103页第14题)2、在中以AB为直径作O，点E在O上，CB为的角平分线，交AE于点M。（1）若，求的值。(2) 过点C作O的切线交BE的延长线于点D，若AE=8，BC=10,求的值。武汉市中考、调考题集锦1.( 2012武汉中考)如图，点A在双曲线y=k/x的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC,点D为OB的中点,若ADE的面积为3，则k的值为_.解: 2.（2011武汉中考）如图，的顶点A，B的坐标分别是，顶点C，D在双曲线上，边AD交轴于点E，且四边形的面积是面积的5倍，则 。解：3(2011武汉4月考)反比例