2011年高考试题解析数学函数部分

1、2011年高考试题解析数学（文科）分项版03 函数与导数一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15【答案】C【解析】因为,切点为P（1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意，即也在

2、函数 图像上.3.(2011年高考安徽卷文科10)函数在区间0,1上的图像如图所示，则n的值可能是（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当时，则，由可知，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.【解题指导】：排除法解决存在性问题和不确定性问题很有效。4. （2011年高考山东卷文科10)函数的图象大致是【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.7 (2011年高考广

3、东卷文科4)函数的定义域是 （ ）A B C D【答案】C【解析】由题得所以选C.8(2011年高考广东卷文科10)设是R上的任意实值函数如下定义两个函数和；对任意,；则下列等式恒成立的是（ ）ABCD 10. （2011年高考江西卷文科4)曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）A.1 B.2 C. D.【答案】A 【解析】.11. （2011年高考福建卷文科8)已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】由题意知因为,所以.当时,无解;当时,所以,解得.12. （2011年高考海南卷文科12)已知函数的周期为2,

4、当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有( )A.10个 B.9个 C.8个 D.1个【答案】A【解析】画出图象,不难得出选项A正确.13.（2011年高考浙江卷文科10)设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是【答案】 D【解析】：，令则，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即15. （2011年高考四川卷文科4)函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( )答案：A解析：由，得，故函数的反函数为，其对应的函数图象为A.16（2011年高考湖南卷文科7)曲线在点处的切线的斜率为（ ）A B C D18. （2011年高考陕西卷文科4)函数的图像是 【答案】B【解析】：过

5、和，由过可知在直线下方，故选B19.（2011年高考全国卷文科2)函数的反函数为（A） （B）（C） （D）22（2011年高考湖北卷文科3)若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则A.B.C.D. 答案：D解析：因为，则，即，故由-可得，所以选D.23.（2011年高考辽宁卷文科11)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+) (c)(-，-l) (D)(-,+) 26（2011年高考重庆卷文科6)设的大小关系是ABCD【答案】B二、填空题:25. （2011年高考山东卷文科16)已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【答案】2【解析】

6、方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.26.（2011年高考浙江卷文科11)设函数 ,若,则实数=_【答案】【解析】：27.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是_【答案】【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.28.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。

7、设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.29.(2011年高考安徽卷文科13)函数的定义域是 . 【答案】（3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由可得，即，所以.30.(2011年高考江苏卷11)已知实数，函数，若，则a的值为_【答案】又,所以,所以,由题意知,所以,整理得,所以或(舍去).33（2011年高考湖南卷文科12)已知为奇函数， 答案：6解析：，又为奇函数，所以。34. （2011年高考四川卷文科16)函数的定义域为A,若A，且时总有，则称为单函数.例如是单

8、函数，下列命题：函数是单函数；函数是单函数，若为单函数，且，则；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案：解析：，但，不正确；与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故正确.35.（2011年高考陕西卷文科11)设 则 =_.【答案】1【解析】：36. （2011年高考湖北卷文科15)里氏震级M的计算公式为：M=lgAlgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.

9、答案：6， 10000 解析：由当为9级地震时，则有当为5级地震时，则有，故, ，则.37.(2011年高考江苏卷12)在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_.7（2011年高考重庆卷文科7)若函数在处取最小值，则A B C3 D4【答案】C39.(2011年高考安徽卷文科11)设是定义在R上的奇函数，当x0时，=，则 .【答案】3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.【解析】.三、解答题:40. （2011年高考江西卷文科20) (本小题满分13分

10、）设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值(注：区间的长度为）.41. （2011年高考福建卷文科22)（本小题满分14分）已知a，b为常数，且a0，函数（e=2.71828是自然对数的底数）.（I） 求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.【解析】(1)由得.(2)由(1)可得从而,因为a0，故有:当时,由得;由得;当时,由得;由得.综上所述, 当时,函数

11、的单调递增区间为,单调递减区间为(0,1);当时, 函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为.(3)当时, .由(2)可得,当在区间内变化时, ,的变化情况如下表:1-0+单调递减极小值1单调递增2又<2,所以函数的值域为1,2.【命题立意】本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.42（2011年高考四川卷文科22)（本小题满分14分）已知函数.（）设函数F(x)=18 f(x)-x2 h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；（）设aR,解关于x的方程lgf(x-1)- =2l

12、gh(a-x)- 2lgh(4-x);（）设n*,证明：f(n)h(n)- h(1)+h(2)+ +h（n） .当时，方程有一个解；当方程无解.（）当时，不等式成立；假设时，不等式成立，当时，所以，当时，不等式成立，综上，对一切，不等式都成立.43. （2011年高考陕西卷文科19)（本小题满分12分）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.（）试求与的关系（ ）求解：（）设，由得点处切线方程为由得。（ ），得，44. （2011年高考陕西卷文科21)（本小题满分14分）设。（）求

13、的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）求的取值范围，使得对任意0成立。45. （2011年高考湖北卷文科19)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.()当时，求函数的表达式；()当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆

14、/小时）本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（1）由题意：当时，；当时，设 再由已知得解得 故函数v(x)的表达式为（2）依题意并由（1）可得， 当时，为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200； 当时， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，在区间20，200上取得最大值. 综上，当时，在区间0，200上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.46. （2011年高考湖北卷文科20)（本小题满分13分）设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.()求的

15、值，并写出切线的方程； ()若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. （2）由（1）得，所以 依题意，方程有三个互不相同的实根0、x1、x2， 故x1、x2是方程的两相异的实根.所以=9-4（2-m）>0，即又对任意的成立.特别地，取时，成立，得m<0.由韦达定理，可得故对任意的，有，x>0.则又所以函数在的最大值为0.于是当m<0时，对任意的，恒成立.综上，m的取值范围是（）.47(2011年高考广东卷文科19)（本小题满分14分） 设,讨论函数 的单调性【解析】48（2011年高考湖南卷文科22)（本小题13分）设函数(I)讨论的

16、单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析：（I）的定义域为 令(1) 当故上单调递增(2) 当的两根都小于0，在上，故上单调递增(3) 当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得49. （2011年高考山东卷文科21)（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立

17、方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).50. （2011年高考全国新课标卷文科21)（本小题满分12分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求的值（2）证明：当时，分析：（1）利用导数的几何意义列式求待定系数的值；（2）构造新函数求其导数，利利用单调性和极值证明。解：（），由题意知：即

18、（）由（）知，所以，设则，当时， ，而故，当得：从而，当时，即点评：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。51（2011年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）设函数（）求单调区间（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数52.（2011年高考全国卷文科21)已知函数()证明：曲线（）若求a的取值范围。【解析】()，故x=0处切线斜率，又即，当故曲线（），令，故53. (2011年高考天津卷文科19)（本小题满分14分）已知函数其中.（）当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求

19、的单调区间;()证明:对任意,在区间(0,1)内均在零点.【解析】（）当时, ,所以曲线在点处的切线方程为.() 令,解得或,因为,以下分两种情况讨论:(1)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:+-+所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.+-+ (2)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.所以在内存在零点.若,所以在内存在零点,所以,对任意,在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意,在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分

20、类讨论的思想方法.54.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.P【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为S=,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧

21、面积S（cm）最大，应15cm.（2）包装盒容积V=,所以=,令得; 令得,所以当时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为,高为,包装盒的高与底面边长的比值为.55.(2011年高考江苏卷19)已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即而