关于幂指函数的极限与导数的求法（Word）

1、目 录目 录0摘 要1Abstract21.幂指函数的概念32.幂指函数的求极限32.1 ，的极限均为有限常数，即型的极限求法32.2 利用重要极限42.3 应用洛必达法则求极限62.4 用等价无穷小72.4.1 中的等价无穷小代换72.4.2 中的等价无穷小代换82.4.3 中的等价无穷小代换.92.5 利用微分中值定理103.幂指函数的求导113.1 复合函数求导法113.2 对数求导法123.3 多元函数求导法13总 结16参考文献170 / 18摘 要 本文主要讨论了幂指函数，型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子

2、。 关键词：幂指函数；导数；极限AbstractThis paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give som

3、e examples. Keywords: exponential function; limit; derivation 1.幂指函数的概念 将形如的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义的幂指函数。 2.幂指函数的求极限 幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。不定式有型，型，型,型，型，在这里只讨论幂指函数型，型，型这三种类型不定式的求极限问题。对这三种类型不定式进行全面探讨，

4、将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。 2.1 ，的极限均为有限常数，即型的极限求法定理1 存在有限的极限，且A>0,则有 证明： 令，由A>0，两边取对数得：从而 由复合函数求极限法则知： 上述命题对， 的情况同样成立，且证明类似。但是，当A或（和）B不是有限常数，或A不大于0时，上述命题不成立。例1 求极限.解： 因为，由上述定理1，得：例2 求极限.解： 因为，由上述定理1，得： 2.2 利用重要极限 对型未定式极限问题，考虑利用重要极限及

5、其变形公式求极限。例3 求极限.解: 例4 求极限.解： 对于一般具有较复杂形式的型未定式极限问题，可以考虑用如下的定理简化计算过程。定理2 设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，则证明： 应用定理2解例（2）的解法如下：因此，应用定理2可以简化型未定式极限的计算。2.3 应用洛必达法则求极限定理31 设（1）当时，函数及都趋于0或； （2）在点的某去心领域内，及都存在且； （3）存在（或为无穷大），那么 对幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。例5 求极限.解: 因为 ， 由定理3，得：例6 求极限.解： 令，则当时，那

6、么 2.4 用等价无穷小2.4.1 中的等价无穷小代换引理14 设> 0，> 0为某变化过程中的无穷小。若 ,则.证明: ，所以，从而有定理4 > 0，> 0和，均为某变化过程中的无穷小。若 , ,且,则有证明: 因为 , 所以不论哪一种情况,都有 此定理4说明,当= A时, 中的和均可代换为等价无穷小和。例7 求.(型)分析：因为，即极限呈型。解: 当时， 由定理4，得： 2.4.2 中的等价无穷小代换 型的极限可写为 ,其中>0和均为某变化过程中的无穷小。由定理4可得定理5。定理5 > 0，> 0和， 均为某变化过程中的无穷小。若 , ,且，则此定

7、理5说明,当时，和均可代换为等价无穷小 和。例8 求(型)分析：因为，即极限呈型。解: 当时， ， 由定理5，得：2.4.3 中的等价无穷小代换. 型的极限可写为,其中，均为某变化过程中的无穷小。引理24 设,为某变化过程中的无穷小。若，则有.证明: 所以定理6 设 均为某变化过程中的无穷小。若，且,则有证明: 因为 ，所以 这说明,当时，中的无穷小量，可代换为等价无穷小，。例9 求极限（型）.分析： 因为，即极限呈型。解： 当， , 时， ，由定理6，得： 2.5 利用微分中值定理定理71 如果函数满足：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；那么在内至少有一点，使等式例10 求极限.解

8、： 对在区间上使用定理7，得：（其中）故 ，因为，而，故，所以，原式=。3.幂指函数的求导 幂指函数是指数底数都会有自变量的表达式的函数，它的形式为，其中，必须为含有的函数，对幂指函数的求导，我们通常有两种方法，即：3.1 复合函数求导法先将幂指函数化为指数函数的形式，通过对数恒等式把它化为复合函数的形式，再用复合函数的方法求出它的导数。 = = =+ =+ =+ （1）3.2 对数求导法 先对等式两边取自然对数，然后对等式两边关于求导，解出，最后把表达式中的换成，求出它的导数。 对幂指函数两边取对数，得： 再将等式两端对x求导，得： = = =+ （2） 例11 计算幂指函数（）的导数。解：

9、 解法1（第一种方法）利用对数恒等式将变形为函数，得： 再利用复合函数的求导法则计算导数，得： 解法2（第二种方法） 将两边取对数，得： 然后再对此隐函数求导，得： 这两种方法的缺点是 ：且，不然无法取对数；对于幂指函数，它不属于初等函数，所以利用传统的四则运算法则和复合函数的求导法则则无法直接求导，所以需要一种新的方法进行求解。3.3 多元函数求导法 我们发现，把幂指函数视为幂函数对其进行求导，即把函数看成一个与无关的常数，对其进行求导，得： = （3） 把幂指函数视为指数函数对其进行求导，即把函数看成一个与x无关的常数，对其进行求导，得： = （4） 观察发现，把(3)(4)这两个式子相加

10、，恰好与（1）式的结果一样，为幂指函数的导数，则幂指函数的导数等于将视为指数函数求导与将视为幂函数求导的和。定理8 幂指函数的导数等于视为指数函数求导与视为幂函数求导之和。即：= + 证明： 设函数，函数z=F(u,v)在点可微，且、对可导，根据二元复合函数求偏导数的法则，有：在这里，则： 证毕 例12 计算幂指函数（）的导数. 解：（第三种方法解）将视为指数函数，对其进行求导，得： =将视为幂函数，对其进行求导，得： 最后将上述两个求导式子相加，得： =例13 求的导数.解： （第三种方法解） 例14 求的导数（其中为常数）.解： （第三种方法解）逐项求导，得： 所以 综上所述，幂指函数的求

11、导方法一共有三种，其本质都是先把它化为一般函数，再利用复合函数的方法求出其导数。前两种方法都是间接的对幂指函数进行求导，后一种是套用方法直接对其进行求导，此方法使用起来非常简洁，与前面所学的幂函数和指数函数求导内容具有很强的连贯性。总 结 通过已有的求极限的知识，如重要极限，洛必达法则，等价无穷小代换定理等，将这些方法推广到幂指函数不定式中的极限求解问题，同时根据复合函数和隐函数的求导法则，总结出幂指函数的求导方法，即复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并以实例演练了理论的应用性。参考文献1 同济大学应用数学系主编.高等数学（上册）第五版M.高等教育出版社2 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M北京：高等教育出版社3 蒋银山.幂指函数求导方法归纳J.广东外语外贸大学考试周刊,2011年第