压轴大题突破练——函数与导数(二)

1、压轴大题突破练函数与导数(二)1已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2，b时，求函数f(x)在，e上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a0，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)由题意知，f(x)2ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)>0得x<；令f(x)<0，得<xe，f(x)在，)上单调递增，在(，e上单调递减，f(x)maxf()ln 21.(2)当b0时，f(x)aln x，若不等式f(x)mx对所有的a0，x(1，e2都成立，则aln xmx对所有的a0，x(1，e2都成立，即maln xx，对所有的a0，x(1，

2、e2都成立，令h(a)aln xx，则h(a)为一次函数，mh(a)min.x(1，e2，ln x>0，h(a)在0，上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1<xe2，e2x<1，m(x)mine2.2函数f(x)xln xax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围；(3)求证：2 0132 012<2 0122 013.(1)解f(x)ln x2ax.因为f(1)0，所以a0.(2)解由题意，得xln xax2x<x，所以xln xax2<0.

3、因为x(0，)，所以a>.设h(x)，则h(x).令h(x)>0，得0<x<e，所以h(x)在(0，e)上单调递增；令h(x)<0，得x>e，所以h(x)在(e，)上单调递减所以h(x)maxh(e)，所以a>.(3)证明由(2)知h(x)在(e，)上单调递减，所以当x>e时，h(x)>h(x1)，即>，所以(x1)ln x>xln(x1)，所以ln xx1>ln(x1)x，所以xx1>(x1)x，令x2 012，得2 0122 013>2 0132 012.3已知函数f(x)ln xax1.(1)若函数f(x

4、)在点A(1，f(1)处的切线l与直线4x3y30垂直，求a的值；(2)若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：ln(n1)>(nN*)(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.所以f(1)1a.所以切线l的斜率为1a.因为切线l与直线4x3y30垂直，所以1a，解得a.(2)解若a0，则f(x)a>0，f(x)在(0，)上是单调递增函数而f(1)1a>0，f(x)0不恒成立，故a>0.考虑a>0，则当x(0，时，f(x)a>0；当x，)时，f(x)a<0.所以f(x)在(0，上是单调递增函数，在，)上是单调递减函数所以f(x)的

5、最大值为f()ln a.要使f(x)0恒成立，只须ln a0即可由ln a0，解得a1，即a的取值范围为1，)(3)证明由(2)，知当a1时，f(x)0在(0，)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)0，所以ln x<x1在x(0,1)上恒成立令x(kN*)，则ln<1，令k1,2，n，则有ln<，ln<，ln<，ln<，以上各式两边分别相加，得lnlnln<()，即ln<()，故ln(n1)>(nN*)4已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a1时，过坐标原点O作曲线yf(

6、x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数yg(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：yh(x)，当xx0时，若>0在D内恒成立，则称点Q为函数yg(x)的“好点”当a8时，试问函数yf(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)ln xx23x，f(x)2x3(x>0)，当0<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增；当<x<1时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f(x)>0，f(x)单调递增所以当x1时，f(x)取到极小值2.(2

7、)当a1时，f(x)ln xx2x，f(x)2x1(x>0)，所以切线的斜率k2m1，整理得m2ln m10，显然m1是这个方程的解，又yx2ln x1在(0，)上是增函数，所以方程x2ln x10有唯一实数解，故m1.(3)当a8时，f(x)8ln xx210x，f(x)2x10，函数yf(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0)处的切线方程h(x)(2x010)(xx0)x10x08ln x0.设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0，F(x)f(x)h(x)(2x10)(2x010)，若0<x0<2，F(x)在(x0，)上单调递减，所以当x(x0，)时，F(x)<F(x0)0，此时<0，不合题意，所以yf(x)在(0，)上不存在“好点”；若x0>2，F(x)在(，x0)上单调递减，所以当x(，x0)时，F(x)>F(x0)0，此时<0，不合题意，所以yf(x)在(0，)上不存在“好点”；若x02，F(x)0，即F(x)在(0，)