压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)

1、压轴大题突破练压轴大题突破练直线与圆锥曲线(一)1(2013·课标全国)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求AB.解(1)设圆P的半径为r，则PM1r，PN3r，PMPN4>MN，P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23.P的轨迹曲线C的方程为1(x2)(2)由(1)知：2r(PMPN)2MN24，圆P的最大半径为r2.此时P的坐标为(2,0)圆P的方程为(

2、x2)2y24.当l的方程为x0时，AB2，设l的方程为ykxb(kR)，解之得：或.l的方程为yx，yx.联立方程化简：7x28x80.x1x2，x1x2，AB.综上，AB2或.2已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，中心在原点若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm (k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当AMAN时，求m的取值范围解(1)依题意可设椭圆方程为y21，则右焦点F(，0)，由题设3，解得a23.故所求椭圆的方程为y21.(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3

3、(m21)0，直线与椭圆相交，(6mk)24(3k21)×3(m21)>0m2<3k21.xP，从而yPkxPm，kAP，又AMAN，APMN，则，即2m3k21.把代入得m2<2m，解得0<m<2；由得k2>0，解得m>.综上求得m的取值范围是<m<2.3(2013·福建) 如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. (1)若点C的纵坐标为2，求MN；(2)若AF2AM·AN，求圆C的半径解(1)抛物线y24x

4、的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2，又CO，所以MN222.(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由AF2AM·AN，得|y1y2|4，所以14，解得y0±，此时>0.所以圆心C的坐标为(，)或(，)，从而CO2，CO，即圆C的半径为.4已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k28，证明：直线AB过定点.(1)解由已知，可得b2，a2(b)28，所求椭圆方程为1.(2)证明设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若直线AB的斜率存在，设方程为ykxm，由得(12k2)x24kmx2m280.则x1x2，x1x2.由k1k28，得8，所以8，即2k(m2)·8.所以k4，整理得mk2.故直线AB的方程为ykxk2，即yk2.所以直线AB过定点.若直