高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

1、.第三章导数及其应用一、变化率与导数1、定义：设 y fx 在 xx0处取得一个增量x x 0 .函数值也得到一个增量y, 称y 为从 x0到 x0xx的平均变化率 . 若当时 x0时，有极限存在，则称此极限值为函数y在 xx0处的瞬时变化率，记为 limylimfx0xfx0，也称为函x0xx 0x数 y在 xx0处的导数，记作f x0或 y x x0 ,即 f x0limfx0xfx0 .x0x说明：导数即为函数yfx 在 xx0处的瞬时变化率.2、几何意义 :x0时， Q沿 fx 图像无限趋近于点P时，切线 PT的斜率 .即 f x0kPT .3、导函数（简称为导数）y fx 称为导函数

2、，记作ylimf x x f xy ，即 fx =y = limx.x 0x 0x二、常见函数的导数公式1 若 f (x)c (c 为常数 )，则 f (x)0 ；2若 f (x)x ,则 f ( x)x 1 ;3若 f (x)sin x ,则 f ( x)cos x4若 f (x)cos x ,则 f ( x)sin x ;5若 f (x)ax ,则 f ( x) a x ln a6若 f(x)ex则 f ( x) ex,;.7若 f (x)logax ,则 f (x)1x ln a8若 f (x)ln x ,则 f (x)1x三、导数的运算法则1. f ( x)g (x)f(x)g (x)

3、2. f ( x)g( x)f( x)g(x) f (x) g ( x)3. f ( x) f ( x) g (x)f (x) g ( x)g( x) g( x) 2四、复合函数求导yf (u) 和 ug (x) ,称则 y 可以表示成为x 的函数 ,即 yf ( g( x) 为一个复合函数，则yf (g ( x)g ( x)五、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数 :（ 1）在某个区间 ( a, b) 内，如果f ( x) 0，那么函数yf ( x) 在这个区间单调递增；如果 f ( x)0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间单调递减 .说明：若 f x 在定义域区间上不是单调的

4、，则常常用fx 的单调区间 .x =0的点划分 f若 f x 在某个区间恒有 f x0，则 fx 是常函数；若 f x 在某个区间内只有有限个点使 f x0，其余恒有 f x0,则 fx 仍为增函数 .例如： f xx3在 R上有 f 00，其余恒有 f x0,， f xx3仍为 R上的增函数，其函数图像为：;.（2）求单调区间的步骤：求 fx 的定义域；求导 f x ；令fx，解集在定义域内的部分为增区间.0令fx，解集在定义域内的部分为减区间.0说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“ ”“、或 ”相连，应该用 “”，隔开或用 “和 ”.（3）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数

5、的取值范围，利用“若 f x 单调递增，则0；若 fx 单调递减，f x则 f x0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2. 函数的极值与导数（ 1）极大、极小值得定义：若对 x0附近的所有的点，都有f xf x0若对 x0附近的所有的点，都有f xf x0且 f x0 =0，则称 f x0 是函数 fx 的一个极且f x0 =0，则称 f x0是函数 fx 的一个极大值 .称 x0是极大值点 .小值 .称 x0是极小值点 .说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（ 2）求函数的极值的步骤：确定定义区间，求导 f x ；求方程 f x =0的

6、解 x0；检查 x0左右两边 f x 的符号：I、如果在 x0附近的左侧 f x0,右侧 f x0, 那么 fx0是极大值 ;II 、如果在 x0附近的左侧 f x0, 右侧 f x0, 那么 fx0是极小值 ;III 、如果在 x0左右两侧导函数不改变符号，那么f x 在 x0处无极值 .;.说明：在解答过程中通常用列表：3、函数的最值与导数求函数 yf ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤 求函数 yf (x) 在 (a,b) 内的极值； 将函数 yf (x) 的各极值与端点处的函数值f (a) ， f (b) 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念， “极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：;.扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为 “加 ”型1 f /2 xf /3 xf /xf x0 构造 ex f x/f/ xf xexxf x0 构造 xf x/xf xxfxnf x0 构造 xn f x/ xnxn 1 f xxn 1 xf / x nf xxn f注意对 x 的符号进行讨论2、关系式为 “减 ”型1 f /2 xf /3 xf /xfx0构造f