高中数学典型例题分析与解答：复合函数的导数

1、.复合函数的导数求分段函数的导数x2 sin1, x 0例 求函数f ( x)x的导数0, x0分析 ：当 x0 时因为 f(0)存在，所以应当用导数定义求f (0) ，当 x0 时， f ( x) 的关系式是初等函数 x 2 sin 1 ，可以按各种求导法同求它的导数xf ( x)f (0)x2 sin 1lim x sin 1解： 当 x0时， f(0)limlimxx0x0xx 0x 0x当x0时f ( x) (x2 s1) ( x2 ) s1x2 (1i) 2xs1i x2 (12cs 1 )n 2xs i 1cn 1oixxxxxxxx说明： 如果一个函数g( x) 在点 x0 连续

2、，则有 g (x0 )lim g( x) ，但如果我们不能断定f ( x)xx0，i no的导数f ( x) 是否在点 x00 连续，不能认为f (0)lim f ( x) x0指出函数的复合关系例 指出下列函数的复合关系1 y(a bx n ) m ； 2 y ln 3 ex2 ；3 y3 log 2 (x22x 3) ； 4 ysin( x1) 。x分析： 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程解： 函数的复合关系分别是1 y u

3、 m, u a bxn ；2 y ln u, u 3 v, v ex2 ；3 y3u , ulog 2 v,vx 22x 3 ；4 yu3 , usin v, vx1 .x说明： 分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量 x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果;.求函数的导数例 求下列函数的导数1 y(2x3x1 ) 4 ；2 y11；x2x23 ysin 2 ( 2x) ； 4 yx 1x2。3分析： 选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本

4、函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数解： 1解法一：设 u2x3x1 , yu4 ，则1x11yxyu ux4u3(6x213x3(6x21).x2 ) 4(2xx)x214131解法二： y2x3x4 2x3x2x3xxxx4 2 x3x16x2 112 .xx12x2 ，则2解法一：设 y u2 , u13yxyu ux1 u 24x2123212x4x2322x 12x22x.(12x2 ) 1

5、2x21解法二： y112x2212x2;.13(12x 2 ) 212x2213(12x 2 ) 2(4x)232x(12x2 ) 22 x.(12x 2 )1 2x23解法一：设 yu2 ,usin v, v2x，则3yxyuuvvx2ucos v 22 sin2x3cos2x322 sin4x2.3解法二： ysin 2 2x32 sin2x3sin2x32 sin2x3cos 2x32x32 sin2x3cos 2x322 sin4x2.3x2x2x4 .设 y1x2x 4 ，则4解法一： yx1u 2 , u114x3 )yxyuuxu 2(2x21 (x21x4 ) 2(2x4x3

6、 )22x32x 2 )2x2xx(11.x2x4x 1 x21 x2解法二：y(x1x2)x1x2( 1x2)x1x2x2x212x2.11x2说明： 对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导;.求复合函数的导数例求下列函数的导数（其中f ( x) 是可导函数）1 y f1； 2 y f ( x21).x分析： 对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导

7、数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。解： 1解法一：设 yf (u), u1 ，则x111yxyu uxf (u)x2x2 fx.解法二： y1f111fxxx2 fx2解法一：设yf (u), uv, vx21，则1yxyu uuvxf (u)1 v 22x2f ( xx21)1112 x2x2xf (x21).x21解法二： yf (x21)f(x21)(x21 (x21f ( x21)1) 2 ( x21)21f ( x21) (x21) 2 2x.xf(x21).x211 .x1)说明： 理解概念应准