定积分的分部积分法

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第五节第五节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 一、分部积分法一、分部积分法 二、小结二、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv一、分部积分公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1 计算计算.arcsin2

2、10 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 *上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回10dxex计算且则令先用换元法tdtdxt

3、xtx2,.2. 1,1; 0,0txtx时当时当于是10102dttedxetx式右端的积分。再用分部积分法计算上ttevdtduedvtu,则设于是 101010dtetedttettt11 ee2 10dxex因此例例3解解 10tee上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4 4 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 *上页上页下页下页返回返回上页上页下页

4、下页返回返回例例5 5 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx*上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 10

5、2cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin

6、)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvu

7、dv二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为

8、正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m为自然数）为自然数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；练习题答案练习题答案 3