xD51定积分的概念与性质ppt课件

1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分一元函数积分学 第一节一、定积分问题引例一、定积分问题引例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五章 一、定积分问题引例一、定积分问题引例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由延续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A ( )yf x矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah处理步骤处理步骤 : :1) 分割分割.在区间 a , b 中恣意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边

2、梯形;2) 取近似取近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似替代相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,ni1xix1ixxabyoi3) 求和求和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix那么曲边梯形面积niiAA10lim01lim( )niiifxxabyo1xix1ixi2. 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.处理步骤处理步骤:1) 分割分割., ,1iiitt

3、任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 取近似取近似.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni知速度n 个小段过的路程为3) 求和求和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性: 处理问题的方法步骤一样 :“分割 ,取近似 , 求和 , 取极限 所求量极限构造式一样: 特定乘积和式的极限abxo二、定积分定义二、定积分定义 ,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取点1,i

4、iixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 那么称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba注：1、定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(2022-2-154、定积分的几何意义、定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积b

5、axxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A2022-2-15o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只需有限个延续点 5、可积的充分条件、可积的充分条件(证明略)例例3. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 1

6、2)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注 利用利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例4. 用定积分表示以下极限用定积分表示以下极限:ninnin111lim) 1 (121li

7、m)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)4. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx 证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab( )dbaf xx 01lim( )niiifx（关于被积函数具有可加性）5( )d( )d( )d.b

8、cbaacf xxf xxf xx（关于积分区间 具 有可加性）证证: 当当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc当 a , b , c 的相对位置恣意时, 例如,cba那么有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(6. 假设在假设在 上上0)(1iinixf那么( )d0.baf xx （保号性）证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(l

9、im10iinixf推论推论1. 假设在假设在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)( )dbag xx （关于被积函数具有保序性）, a b推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设设, )(min, )(max,xfmxfMbaba那么)(d)()(abMxxfabmba)(ba （积分估计）例例5. 222311dd.xxxx比较与的大小解解: 12x当时，23,xx222311ddxxxx与例例6. 试证试证:.2dsin120 xxx

10、证证: 设设)(xf,sinxx那么在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即20sin1d2xxx8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若那么至少存在一点, ,a b使( )d( )()baf xxfba证证: :,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设那么由性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上延续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.oxbay)(xfy 阐明阐明:.都成立或

11、baba 可将)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推行. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn2022-2-15例例8. 设设( )0,1f x 在上连续可微，120(1)2( ),fxf x dx且( )( )0.ff使试证：至少存在一点0,1 ，(1)( ),FF( ),1,1F x且在上连续，在（）内可导.,( ,1)(0,1),Roll 由定理( )0,F( )( )0.ff即，证证: 设设( )( ).F xxf x( )0,1(1)(1).F xFf则在上连续，且1,0,2 又由积分中值定理使1122002( )2( )xf x dxF x dx12 ( ) (0)( )2FF内容小结内容