大学数学：第4章 2定积分应用：面积、体积

1、定积分的应用 第 二 节学习要求学习要求理解定积分的元素法理解定积分的元素法 掌握利用定积分计算平面图形的面积掌握利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积的计算方法和旋转体的体积的计算方法 定积分的元素法定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（定积分的元素法分析（演示演示） 定积分的元素法（定积分的元素法（演示演示） 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间和积分区间a ,b。 一般地：若所量一般地：若所量U与变量的变化取间与变量的变化取间a ,

2、b有关，且关于有关，且关于a , b具有可加性，在具有可加性，在a , b中的任意一个小区间中的任意一个小区间x , x+dx上上找出部分量的近似值找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式得所求量的定积分表达式 这种方法叫做这种方法叫做定积分的元素法定积分的元素法。 dU=f(x)dx称称为所求量为所求量U的元素。的元素。(,)baUf x dx直角坐标系下的平面图形的面积（演示）直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为 )( baAf x dxab2、由、由x=a

3、 ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( ()()baAf xg xabdx3、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x= (y) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( dcAycdyd 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例1 计算由计算由 及及 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 2yx2yx1 1 2yx2xy解解 解方程组解方程组 22yxxy得得 01,01xxyy任取任取 0,1x 得面积元素得面积元素 2dAxxdx所以，所求面积为所以，所求面积为 120Axxd/p>

4、xxx 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例3 计算由计算由 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 22yx4yx解解 解方程组解方程组 24242yAydy224yxyx得得 28,24xxyy 任取任取 2,4y -2 4 y 得面积元素得面积元素 242ydAydy所以，所求面积为所以，所求面积为 18 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例3 计算由计算由 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 22yx4yx或解或解 122802222(4)18AAAxdxxxdx0,2x时，12(2 )dAxxdx 2,8x时，22(4)dAxxdx所以，所

5、求面积为所以，所求面积为 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例4 求椭圆求椭圆 的面积。的面积。22221xyab解解 由图形的对称性可得所求面积为由图形的对称性可得所求面积为 14AA22041axbdxa2204abax dxa244baaba（定积分的几何意义）（定积分的几何意义） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dAx1610 xeeAdx11233 2x xAdx323练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式

6、。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102Axx dx32123Axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 8376练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。2222022Axxdx122221xdx一般地：如右图中的阴影部分的面积为一般地：如右图中的阴影部分的面积为 dcAfyg ydy222,1yxyxy（6） 102()2yAydy或或 42(1)3222yx2yx1222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作积分变量作积分变量 3223122 412 4 2Axdx

7、x dx法二：以法二：以 x 作积分变量作积分变量 221,244yxxy 2222(2)(1)44yyAdy22,4421xxyy（7） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。4 234 23旋转体的概念旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 演示演示xyxy旋转体的体积旋转体的体积 示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示演示）。）。aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋转轴

8、为 x 轴（轴（演示演示） 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )bbxaaVf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )ddyccVg ydydxy2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴（演示）轴（演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式例例 1 连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点 P(

9、 h , r) 的直线，直线的直线，直线 x=h及及 x轴围轴围成一个直角三角形，将它绕成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为 r，高为，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。的圆锥体，计算圆锥体的体积。x x+dx解解 如图所示如图所示 (0, )xh任取任取 (0, )xh，形成区间，形成区间 , x xdx体积元素为体积元素为 2dVy dx2rxdxh直线直线OP的方程为的方程为 ryxh所求体积为所求体积为 22013hrVxdxr hh例例3 计算由曲线计算由曲线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 y 轴旋转轴旋转一周而

10、成的立体的体积。一周而成的立体的体积。解解 如图所示如图所示 V2V112yVVV11221200 x dyx dy11400ydyy dy310练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 31,1,0yxxy160 xVx dx11600 xVdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1767 223,21xyxyy240 x dx练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1222021221Vxdx32 23 2151y=

11、x31y 35,1,yxxx213025yVydy 34,1,yxyy213035yVydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 1y=x3y21 226,21xyxyy2222011yVydyydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 32例例4 求由曲线求由曲线 及及 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。旋转一周而构成的旋转体的体积。24yx0y 3x yo-223 x414xy 24xy分析分析 将将Y轴移至轴移至X=3处，则可将原问题处，则可将原问题 转化为平面图形绕转化为平面图形绕Y轴旋转一周。轴旋转一周。 解解 平移直角坐标系平移直角坐标系 3XxYy则则 44221200YVX dYX dY22404343YYdY40124Y dY401244Y dY3 24084Y 64作作 业业P176 15(2) 17 18(4) 19(2，4) 21预习预习 第五章第五章 第一、第二节第一、第二节问题的提出问题的提出返回返回定积分元素法分析定积分元素法分析返回返回定积分元素法定积分元素法返回返回平面图形的面积（直角坐标）平面图形的面积（直角坐标）返回返回求面积例题求面积例题 1返回