换元法解一元二次方程(共13页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上【考点训练】换元法解一元二次方程-1一、选择题（共5小题）1（2016罗平县校级模拟）方程x2+8x+9=0配方后，下列正确的是（）A（x+4）2=7B（x+4）2=25C（x+4）2=9D（x+8）2=72（2014始兴县校级模拟）已知a，b为实数，（a2+b2）2（a2+b2）6=0，则代数式a2+b2的值为（）A2B3C2D3或23（2015秋卢龙县期中）已知实数a、b满足（a2+b2）22（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（）A2B4C4或2D4或24（2014秋沈丘县校级期末）若（x+y）（1xy）+6=0，则x+y的值是（）A2B3C2或3D2或35（

2、2014秋邓州市校级期末）如果（x+2y）2+3（x+2y）4=0，那么x+2y的值为（）A1B4C1或4D1或3二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6（2016春萧山区期中）若（x2+y2）（x2+y21）=12，则x2+y2=7（2016磴口县校级二模）若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，则x2+y2=8（2013秋苏州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为9（2014春鹤岗校级期末）若（x2+y2）24（x2+y2）5=0，则x2+y2=10（2015呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，则a+b=三、解答题（

3、共16小题）（选答题，不自动判卷）11（2011秋西吉县校级期中）阅读材料：为了解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21=y，（x21）2=y2，则原方程可化为y25y+4=0解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=±当y=4时，x21=4，x2=5，x=±原方程的解为：x1=解答问题：仿造上题解方程：x46x2+8=012（2013秋诏安县期中）解下列方程x28x+9=0（5x1）23（5x1）=013（2012秋新都区期末）阅读材料：x46x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x

4、2=y，那么x4=y2，于是方程变为y26y+5=0，解这个方程，得y1=1，y2=5，当y1=1时，x2=1，x=±1，当y=5时，x2=5，x=±，所以原方程有四个根x1=1，x2=1，x3=，x4=（1）在由原方程得到方程的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的教学思想（2）解方程（x2x）24（x2x）12=014（2011秋安宁市校级期中）解方程：（x+2）23（x+2）+2=015（2015秋咸阳校级月考）已知（a2+b2）2（a2+b2）6=0，求a2+b2的值16（2015秋微山县校级期中）为解方程x45x2+4=0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2=

5、y，则x4=y2，原方程化为y25y+4=0解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1x=±1当y=4时，x2=4，x=±2原方程的解为x1=1，x2=1，x3=2，x4=2解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想（2）解方程：（x22x）2+x22x6=017（2008秋郑州校级期末）阅读下面的解题过程：解方程：（4x1）210（4x1）+24=0解：把4x1视为一个整体，设4x1=y则原方程可化为：y210y+24=0解之得：y1=6，y2=4，4x1=6或4x1=4x1=，x2=这种解方程的方法叫换元法请仿照上例，用换

6、元法解方程：（x2）23（x2）10=018（2012春颍上县校级期中）（y3）2+3（y3）+2=019（2011秋荣昌县期中）（换元法）解方程：（x23x）22（x23x）8=0解：设x23x=y则原方程可化为y22y8=0解得：y1=2，y2=4当y=2时，x23x=2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x23x=4，解得x1=4，x2=1原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=1，根据以上材料，请解方程：（2x23x）2+5（2x23x）+4=020（2013长汀县一模）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设x2

7、1=y，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=±；当y=4时，x21=4，x2=5，x=±，故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12=021（2009中山）小明用下面的方法求出方程23=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解23=0令=t，则2t3=0t=t=0=，所以x=x2+1=0x+2+=022（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题计算

8、：（1）×（+）（1）×（+）令+=t，则原式=（1t）（t+）（1t）t=t+t2tt+t2=问题：（1）计算（1）×（+）（1）×（+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=723（2012秋太原期中）请同学们认真阅读下面材料，然后解答问题解方程（x21）25（x21）+4=0解：设y=x21则原方程化为：y25y+4=0 y1=1 y2=4当y=1时，有x21=1，即x2=2x=±当y=4时，有x21=4，即x2=5x=±原方程的解为：x1=x2=x3=x4=解答问题：（1）填空：在由原方程得到的过程中，利用法达到

9、了降次的目的，体现了的数学思想（2）解方程（x23）23（x23）=024（2012秋南雄市期中）阅读下面的例题，解方程（x1）25|x1|6=0，解方程x2|x|2=0；解：原方程化为|x|2|x|2=0令y=|x|，原方程化成y2y2=0解得：y1=2y2=1当|x|=2，x=±2；当|x|=1时（不合题意，舍去）原方程的解是x1=2，x2=225（2013秋源城区校级期末）用适当的方法解：（1）（x+4）2=5（x+4）（2）2x210x=326（2015秋太仓市期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设

10、x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=±1；当y=4时，x2=4，x=±2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0【考点训练】换元法解一元二次方程-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1（2016罗平县校级模拟）方程x2+8x+9=0配方后，下列正确的是（）A（x+4）2=7B（x+4）2=25C（x+4）2=9D（x+8）2=7【解答】解：x2+8x+9=0，x

11、2+8x=9，x2+8x+42=9+42，（x+4）2=7，故选：A2（2014始兴县校级模拟）已知a，b为实数，（a2+b2）2（a2+b2）6=0，则代数式a2+b2的值为（）A2B3C2D3或2【解答】解：设a2+b2=x，原方程变形为，x2x6=0，解得x=3或2，a2+b20，a2+b2=3，故选B3（2015秋卢龙县期中）已知实数a、b满足（a2+b2）22（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（）A2B4C4或2D4或2【解答】解：设a2+b2=x，原方程变为：x22x=8，x22x8=0，（x4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=2，因为平方和是非负数，所以a2+b2的值为

12、4；故选B4（2014秋沈丘县校级期末）若（x+y）（1xy）+6=0，则x+y的值是（）A2B3C2或3D2或3【解答】解：设t=x+y，则原方程可化为：t（1t）+6=0即t2+t+6=0t2t6=0t=2或3，即x+y=2或3故选C5（2014秋邓州市校级期末）如果（x+2y）2+3（x+2y）4=0，那么x+2y的值为（）A1B4C1或4D1或3【解答】解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a4=0，解得a=4或a=1故选C二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6（2016春萧山区期中）若（x2+y2）（x2+y21）=12，则x2+y2=4【解答】解：设t=x2+y2

13、（t0），则原方程可化为：t（t1）12=0，即t2t12=0，（t4）（t+3）=0，t=4，或t=3（不合题意，舍去），x2+y2=4故答案是：47（2016磴口县校级二模）若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，则x2+y2=6【解答】解：设x2+y2=t（t0）则t25t6=0，即（t6）（t+1）=0，解得，t=6或t=1（不合题意，舍去）；故x2+y2=6故答案是：68（2013秋苏州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为1【解答】解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=4，t0，t

14、=1，x2+y2=1，故答案为19（2014春鹤岗校级期末）若（x2+y2）24（x2+y2）5=0，则x2+y2=5【解答】解：设x2+y2=t，则原式变形为：t24t5=0，（t2）29=0，（t2）2=9，t=5或1x2+y20，x2+y2=510（2015呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，则a+b=或1【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x2）8=0，整理，得16x28x8=0，即2x2x1=0，分解得：（2x+1）（x1）=0，解得：x1=，x2=1则a+b的值是或1故答案是：或1三、解答题（共16小题）（选答题，不自动判卷）11（2011秋

15、西吉县校级期中）阅读材料：为了解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21=y，（x21）2=y2，则原方程可化为y25y+4=0解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=±当y=4时，x21=4，x2=5，x=±原方程的解为：x1=解答问题：仿造上题解方程：x46x2+8=0【解答】解：设x2=y，x4=y2，则原方程可化为y26y+8=0，解得y1=2，y2=4当y=2时，当y=4时，x2=4，x=±2原方程的解为：12（2013秋诏安县期中）解下列方程x28x+9=0（5x1）23（5x1）=0【解答】

16、解：（1）移项为：x28x=9，配方为：x28x+16=7（x4）2=7，开平方为：x4=±，x1=+4，x2=+4；（2）设5x1=a，则原方程变形为：a23a=0，a（a3）=0，a1=0，a2=3当5x1=0，时，x1=，当5x1=3时，x2=，x1=，x2=13（2012秋新都区期末）阅读材料：x46x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2=y，那么x4=y2，于是方程变为y26y+5=0，解这个方程，得y1=1，y2=5，当y1=1时，x2=1，x=±1，当y=5时，x2=5，x=±，所以原方程有四个根x1=1，x2=1，

17、x3=，x4=（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的教学思想（2）解方程（x2x）24（x2x）12=0【解答】解：（1）换元，转化（2）解：设x2x=a，原方程可化为a24a12=0，解得a=2或6，当a=2时，x2x+2=0=（1）28=70，此方程无实数根，当a=6时，即x2x6=0，（x3）（x+2）=0，x1=3，x2=2原方程有两个根x1=3，x2=214（2011秋安宁市校级期中）解方程：（x+2）23（x+2）+2=0【解答】解：令x+2=t，原方程可化为t23t+2=0，（t1）（t2）=0，解得t1=1，t2=2，x+2=1或x+2=2，x

18、1=1，x2=015（2015秋咸阳校级月考）已知（a2+b2）2（a2+b2）6=0，求a2+b2的值【解答】解：设a2+b2=y据题意得y2y6=0解得y1=3，y2=2a2+b20a2+b2=316（2015秋微山县校级期中）为解方程x45x2+4=0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2=y，则x4=y2，原方程化为y25y+4=0解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1x=±1当y=4时，x2=4，x=±2原方程的解为x1=1，x2=1，x3=2，x4=2解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想（2）解

19、方程：（x22x）2+x22x6=0【解答】解：（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想故答案为换元，转化；（2）设x22x=t，原方程化为t2+t6=0，解得t1=3，t2=2，当t=3时，x22x=3，即x22x+3=0，此方程无实数解；当t=2时，x22x=2，解得x1=1+，x2=1，所以原方程的解为x1=1+，x2=117（2008秋郑州校级期末）阅读下面的解题过程：解方程：（4x1）210（4x1）+24=0解：把4x1视为一个整体，设4x1=y则原方程可化为：y210y+24=0解之得：y1=6，y2=4，4x1=6或4x1=4x1=，x

20、2=这种解方程的方法叫换元法请仿照上例，用换元法解方程：（x2）23（x2）10=0【解答】解：设x2=y，则原方程可化为：y23y10=0，解之得：y1=5，y2=2，x2=5或x2=2x1=7，x2=018（2012春颍上县校级期中）（y3）2+3（y3）+2=0【解答】解：设y3=t，则原方程即t2+3t+2=0解得t=1或2所以y2=0或y1=0，解得，y=2或y=119（2011秋荣昌县期中）（换元法）解方程：（x23x）22（x23x）8=0解：设x23x=y则原方程可化为y22y8=0解得：y1=2，y2=4当y=2时，x23x=2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x23x=4

21、，解得x1=4，x2=1原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=1，根据以上材料，请解方程：（2x23x）2+5（2x23x）+4=0【解答】解：设2x23x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=4，y2=1（3分）当y1=4时，2x23x+4=0，无实数根（4分）当y2=1时，2x23x+1=0，解得x1=，x2=1故原方程根为x1=，x2=1（6分）20（2013长汀县一模）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设x21=y，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2

22、1=1，x2=2，x=±；当y=4时，x21=4，x2=5，x=±，故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12=0【解答】解：设x2x=y，那么原方程可化为y24y12=0解得y1=6，y2=2当y=6时，x2x=6即x2x6=0x1=3，x2=2当y=2时，x2x=2即x2x+2=0=（1）24×1×20方程无实数解原方程的解为：x1=3，x2=221（2009中山）小明用下面的方法求出方程23=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中方

23、程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解23=0令=t，则2t3=0t=t=0=，所以x=x2+1=0令=t，则t22t+1=0t1=t2=1t1=t2=10=1，所以x=1x+2+=0令=t，则t2+t=0t1=0，t2=1t1=00，t2=10=0，所以x=2，【解答】解：填表如下：方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解x2+1=0令=t，则t22t+1=0t1=t2=1t1=t2=10=1，所以x=1x+2+=0令=t，则t2+t=0t1=0，t2=1t1=00，t2=10=0，所以x=222（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题计算：（1）×（+）（1）

24、×（+）令+=t，则原式=（1t）（t+）（1t）t=t+t2tt+t2=问题：（1）计算（1）×（+）（1）×（+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7【解答】解：（1）设+=t，则原式=（1t）×（t+）（1t）×t=t+t2tt+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t7=0，解得：t=7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=5；当t=7时，x2+5x+1=7，x2+5x+8=0，b24ac=524×

25、1×80，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=523（2012秋太原期中）请同学们认真阅读下面材料，然后解答问题解方程（x21）25（x21）+4=0解：设y=x21则原方程化为：y25y+4=0 y1=1 y2=4当y=1时，有x21=1，即x2=2x=±当y=4时，有x21=4，即x2=5x=±原方程的解为：x1=x2=x3=x4=解答问题：（1）填空：在由原方程得到的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想（2）解方程（x23）23（x23）=0【解答】解：（1）答案分别是：换元，转化（2）设y=x23，则原方程化为：y23y=0y（y3）=0y1=0，y2=3当y1=0时，x23=0，x1=，x2=当y2=3时，x23=3，x2=6，x3=，x4=因此原方程的根为：x1=，x2=，x3=，x4=24（20