关于高等数学复习归纳大全

1、高等数学复习教程第一讲函数、连续与极限、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)2 .极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3 .连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)二、题型与解法限的求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor级数法(8)其他(微积分性质，数列与级数的性质)

2、,arctanx-x,arctanx-x1/金八，1日匕应、1 .lim3=hm3=(等价小量与洛必达)x-0ln(12x)x-02x6sin6xxf(x)6f(x)2 .已知lim3=0,求lim2xT°xxT0xlim解：xt0sin 6x xf (x)=limx . 06cos6x f (x) xy'3x2lim 6 + f2(x) = lim =lim -y- = 72 =36(洛必达)x-0x x_02x x_0 222x 餐31吗(一用)x(重要极限)x4.已知a、b为正常数， 求lim（土bx2ax bx解：令 t =(a2lim ln t = li x _ 0

3、x33)x,lnt=-ln(axbx)-ln2x3xx3m-(alnablnb)=一ln(ab)、日土Vax+bx2(变量替换)3/2.t=(ab)15 lim(cosx)ln")x£01解：令t=(cosx)ln(1x2),lnt=1一升ln(cosx)ln(1x)limlnt=limtanx=-at=ea/2(变量替换)x-0x_02x22x0出6 .设f'(x)连续，f(0)=0,f'(0)#0,求limx=1“0x2.0f(t)dt(洛必达与微积分性质)r.z、，八1 一、ln(cosx)x,x=0,_7.已知f(x)=在x=0连续，求ae,x=0解

4、：令a=limln(cosx)/x2=T/2(连续性的概念)x-0三、补充习题(作业)ex-1-xa,1.lim二1尸=-3(洛必达)x01-x-cosx1 1.2. limctgx(-)(洛必达或Taylor)x-70sinxxx_t2xedt3. lim-=1(洛必达与微积分性质)x-01.e第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分2.微分中值定理3应用导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、

5、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. y = y(x)由 *x=arctantdyc,2,t_<7E,求一2y-ty+e=5dx2 .y=y(x)由ln(x2+y)=x3y十sinx决定,求dy|x=e=1dx解：两边微分得x=0时y'=ycosx=y,将x=0代入等式得y=1B.曲线切法线问题3 .y=y(x)由2xy=x+y决定,则dy|XzQ=(ln2-1)dx4 .求对数螺线P=e%(P,9)=(狙：h/2)处切线的直角坐标方程。x=ecosQ解9,(x,y)L2=(0,eM),

6、y'2=-1、y=esin65 .f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6)处的切线方程。C.导数应用问题解：需求f(6),伽(6)或£(1),f'(1),等式取x->0的极限有：f(1)=06 .已知y=f(x)对一切x满足xf''(x)+2xf'(x)2=1e：若f'(x0)=0(x0=0),求(x0,y0)点的性质。ex01r>0,x0>0解：令x=x0代入，f''(x0)=一=，故为极小

7、值点。ex0x0l>0,x0<03x7 .y=2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(x-1)2D.哥级数展开问题E.不等式的证明F.中值定理问题解：定义域x.（-二,1）（1,I：;）8.求函数y=（x-1）e"2arctanx的单调性与极值、渐进线。2y'=-xe2*rctanx驻点x=0与x=11x2渐：y=e"(x一2)与y=x一29.dx.,、2.sin(xt)dt=sinxdx0或：x-t=u=d02dxsinu(du)=sindxxdx022udu=sinx10.求f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)解:2

8、322/xxxln(1x)=x(x23n.2廿(-1尸o(xn/)n-245n3xxnJxn=x-一一(一1)o(x)23n-2,f(n)(0)=(一1产!-n-211.设xw(0,1),221111求证(1x)ln(1x)：x1ln2ln(1x)x2证：1)令g(x)=(1+x)ln2(1+x)x2,g(0)=0112)令h(x)=一一,x=(0,1),h(x)<0,单倜下降，得证。ln(1x)x12.设函数f(x)在1,1具有三阶连续导数，且f(1)=0,f(1)=1,f'(0)=0,求证：在(-1,1)上存在一点与使f'"S)=311证：f(x)=f(0)

9、f'(0)xf''(0)x2f'''()x32!3!其中(0,x),x-1,1110=f(-1)=f(0)-f''(0)-f'''(1)将x=1,x=-1代入有26111=f(1)=f(0)f''(0)-f'''(2)26两式相减：f'''(1)f'''(2)=62224、13.e<a<b<e，求证：lnb-lna>(b-a)f(b)-f(a)证：Lagrange:-=f()b-a令 f (x)

10、=ln2ln2 b- ln2 a x,bra2ln:二令uS,'(t)unt：二0.()(e2).小-22tte.2.24、lnb-lna>（b-a）（关键：构造函数）e三、补充习题（作业）1.f(x)=ln1-x1x2，求y''(0)=-2 .曲线Jxetsin2t在(0,1)处切线为y+2x1=0y=ecos2t113 .y=xln(e)(x-0)的渐进线方程为y=xxe,224 .证明x>0时(x-1)lnx>(x-1)证：令g(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2,g'(x),g''(x),g''

11、9;(x)=2(x3-1)x第三讲不定积分与定积分一、理论要求1 .不定积分2 .定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）二、题型与解法A.积分计算会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值,dxdx.x-2八1. arcsinC,x（4-x）,4-（x-2）222. e2x(tanx1)2dx=e2xsecxdx2e2xtanxdx=e2xtanxC3. 设f(lnx)=ln(1-x),求ff(x)dx

12、B.积分性质解： f(x)dx =4. arctanx1 x25.ln(1 ex)dx1一 b 1 x 二 1 一dx = - arctanx |1lim(- 2)dx = - - ln 2xb-二1 x 1 x24 21f(x)连续，中(x) = f(xt)dt,且!i在x = 0的连续性。f(x) = A，求9(x)并讨论中'(x) x解：f (0)=：9(0) =0,y=xt = -'(x);x0 f(y)dydx.226 .dx0tf(x-t)dt=C.积分的应用2 .222、x -t )d(t - x )7 .设f(x)在0,1连续，在(0,1)上f(x)I。，且xf

13、'(x)3f(x)+老x22又f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x),且a=?时S绕x轴旋转体积最小。如df(x)3a3a21斛：一()S-=f(x)S-x+cx|Hf(x)dxS2,9cB4Iadxx2208 .曲线y£jxfli,过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。曲线y 31；xEi绕x轴旋转的表面积为|HydsE-(5/581)三、补充习题(作业)1.2.总表面积为. (11 J5 -1)61n sin xdx = -cotxlnsin2x-cotx-x C sin2xx 5-dxx -6x 133.arcsin . x、x

14、dx第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1 .向量代数理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2 .多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分解：切线y=x/2绕x轴旋转的表面积为R22nyds=J5i3 .多元微分应用4 .空间解析几何熟练掌握复合函数与隐函数求导法理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法二、题型与解法A.求偏导、全微分£ /、右一人、左g2巳1. f (x)有一阶连续

15、偏导,f(x)_ x一一 "" 2x .一z = f (e sin y)满足 zxx + zyy = e z ,求会求平面、直线方程与点线距离、点面距离解：f''-f=0=f(u)=c1euC2e1 2z2 .z二一f(xy)y(xy),求x；x:yB.空间几何问题3 .y=y(x),z=z(x)由z=xf(x+y),F(x,y,z)=0决定,求dz/dx4 .求Vx+Jy+<z=Ja上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：x/.x0y/,yz/z0=Ja=d=a5 .曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,2,2)处的法线方程。C.极值问题222

16、6 .设z=z(x,y)是由x-6xy+10y-2yz-z+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点与极值。三、补充习题(作业).2x、，y、下二z1. z=f(xy,)+g(1),求丁丁yx：xy2. z=f(xy,%+g('),求生yxx3. z=u?u=lnx2+y2,邛=arctany,求dzx第五讲多元函数的积分一、理论要求1 .重积分熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球)会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)2 .曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

17、3 .曲面积分理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算1.1=HJq(x2+y2)dv,c为平面曲线，22八y=2z绕z轴旋转一周与z=8x=0的围域。82282二石解：1=。也"ytz（xy）dxdy=.。攵。dL2,1024二rrdr=3x2.1=D4a222y22,22dxdy,D为y=a+Ja-x(a>0)与-x-yy=_X围域。（I=a2(163.f(x,y)=,1三x<2,0<y<x0,其他22求f(x,y)dxdy,D:xy_2x(49/20)DB.曲线、曲面积分4

18、.I=J(exsinyb(x+y)dx+(excosyax)dyL解：令L1从。沿y=0至A5.1 =耳%二绊，L为以(1,0)为中心，R(a1)为半径的圆周正向。L4xy一一，2x=rcosQ解：取包含(0,0)的正向L1:1，j=rsin6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S,2x乳xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ezdxdy=0,且f(x)在x>0有连续一阶导数，limf(x)=1，求f(x)。xT°解：0=，fjsFdS=H£FdV=1%(f(x)+xf'(x)xf(x)e2x)dV一、理论要求1 .一阶方程2 .高阶方程第六讲常微分方

19、程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求y(n)=f(x，y"=f(x,y')(y'=p(xD,y''=f(y,y')(y'二p(y)3.二阶线性常系数y'' py' , q =0= '2 p ' q = 0九丰九2 t y =c1eAx +c2ez2x: K2 t y1 = (c1 +c2x)e超一:：±i y =ex(G cos x C2 sin ：x)（齐次）0(f(x) =Pn(x)e：x =y y q Qn(x)e x二九10r九2 t y2 = Qn (x)x

20、/(非齐次)E =%and2 t y2 = Qn (x)x2ecxf (x) =e x(pi(x)cos x pj (x) sin l-x)a ±iPa ±iP:1.y2 = e二x(qn(x)cos x rn(x)sin x(非齐二'y2 =xex(qn(x)cos x rn(x) sin x(n = max(, j)二、题型与解法A.微分方程求解1. 求一 2 一2、 . 2 一 、. 一 、一 .(3x +2xy y )dx+(x 2xy)dy=0 通 解/ 2(xy23-x y - x = c)2.利用代换yux、，一一化简ycosx-2y'sinx

21、+3ycosx=e并求通解。cosxxxcos2xe、(u+4u=e,y=g+2c2sinx+)cosx5cosx.13.设y=y(x)是上凸连续曲线，(x,y)处曲率为f,且过(0,1)处1'y2切线方程为y=x+1,求y=y(x)及其极值。一2二11,-斛：y''y'1=0=y=ln|cos(-x)|1ln2,ymax=1ln2422三、补充习题(作业)1 .已知函数y=y(x)在任意点处的增量Ay=-y丝2+o(Ax),y(0)=n,求y。e4)1x2 .求y''Yy=32、的通解。(y=c1eJ2x+c2e2x+,xe2x)43 .求(y

22、+，x2+y2)dx-xdy=0(xa0),y(1)=0的通解。(y=°(x2-1)24 .求y''-2y'通2x=0,y(0)=y'(0)=1的特解。(y=1+(3+2x)e2x44第七讲无穷级数一、理论要求1 .收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2 .哥级数哥级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法哥级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分)Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求，1的Fo

23、urier级数与0,1正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1 .行列式2 .矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的哥、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式

24、、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型

25、随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函3.二维随机变量奴理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维止态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.人数7E理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6 .数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解72分布、t分

26、布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7 .参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8 .假设检验掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲总结1.极限求解、白珏荔变量替换(1一作对数替换)，洛必达法则，其他(重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换)1a2a(n-1)aa1. lim(x+)+(x+)+.+(x+-)=x+一(几何级n'：nnnn2数)22. lim(arccosx)=e(对数替换)tan4. lim (3x) x -: 6 xx3. 1im(2-x)2(xn-an)-nanJ(x-a)5. lim2xTa(x_a)1 -cos2x-2,x<0x6. f(x)=14,x=0，求limf(x)x_50xcostdt(x>0)2.导数与微分L*复合函数、隐函数、参数方程求导1 .陵)心)>bxay2 .+arctanx-sin(x-y)=0,求dy/dxxtt.x=ecost.、一，3 .t决te函数y=y(x),求dyj=etsint._2.2_24 .已知2xyTny=1,验证4xy+(2xy-1)y'