电磁场及波第二章

1、第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场本章架构本章架构1.1.静电场的基本方程静电场的基本方程2.2.电位电位3.3.电位方程电位方程4.4.静电场的边界条件静电场的边界条件5.5.电容电容6.6.电场能量电场能量7.7.恒定电流电场恒定电流电场8.8.导电媒质内恒流电场与静电场的比拟导电媒质内恒流电场与静电场的比拟20t静态电磁场问题静态电磁场问题0DHJtBEtDB 00HJEDB 0t0t静态场：静态场：指的是电磁场中场源和场量均不随时间变化的场。静态场分类：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场。静电场静电场：场源电荷静止不动，不随时间变化所产生的场。恒定

2、电场恒定电场：导电媒质中，恒定电流产生的场。恒定磁场恒定磁场：恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场Jt 0J静电场和静磁静电场和静磁场彼此独立场彼此独立3第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场000HEDB 2.1 2.1 静电场的基本方程静电场的基本方程DEBH麦克斯韦麦克斯韦方程组方程组本构关系本构关系边界条件边界条件12()0nEE12()SnDD1n2nSDD1t2tEE电场的旋度为零，表明为无旋场。而电通密度的散度不为零，表明静电场是一个有源场。dd0SCDSqEl积分形式积分形式4第二章第二章 静电场和恒

3、定电流电场静电场和恒定电流电场2.2 2.2 电位电位静电场的无旋特性0E 可以用一个标量的梯度 来表示 称为标量电位标量电位. .E 引出标量电位的目的：作为求解场的辅助函数，简化场的计算。优势：将求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题。在静电场中的标量电位有明确的物理意义。在单位正电荷在电场中位移 ，则电场力做功为dld=dAEl而沿着路径做的总功为=dAEl5第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场对于具有无旋特性的静电场，上式关于起点P和终点Q之间的积分与路劲无关。证明如下：（教材P34）无旋静电场中任一闭合回路积分都满足：即=dAEl()0CsE dlEds 对于右图闭

4、合回路PMQNP，有0PMQNPPMQQNPE dlE dlE dl=-PMQQNPPNQE dlE dlE dl结论：在静电场中，电场力对电荷所做的功仅和电荷位移的起点和终点位置有关，而和电荷移动经过的路径无关。6第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场电位差：电位差：把单位正电荷从P点移动到Q点电场力所做的功称为从P点到Q点的电位差：如果选择场中某点O为电位零点，则空间P的电位为：()QQQPQPQPPPUE dldldll lal OPPOPE dl P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 电位差也称为电压

5、，可用U表示 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关当场源分布在有限区域时候，一般选择无穷远为零电位点。7第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例题例题2.12.1：电荷按体密度 分布于一个半径为a的球形区域内，其中0为常数。计算球内外电场和电位。（参考书P35）202=1ra例题例题2.22.2：无限长同轴传输线内导体半径为R1,外导体的内半径为R2，在内外导体见加电压U，（设外导体电位为零），球内外导体间的电场及电位分布。（参考书P35）8第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场已知电荷分布求电场电位：已知电荷分布求电场电位：点电荷点电荷：设点电

6、荷q在原点，参考点Q，场点 (电位考察点)P，选择路径PM Q(路径可以任意选择)进行积分，有OQrPMPrQ30200411144QMMQQPPMMrrPQqrE dlE dldrrqqdrrrr积分贡献为零0,4QPPqrr 选定参考点为无穷远点，即点电荷电位的一般表达式：04qr对于位于 的点电荷，电位表达式则为：004|4qqrrRr9第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场电荷系的电场电位电荷系的电场电位：场源n个点电荷，利用叠加原理，选取同一个参考零电位点（电荷在有限空间，选取无限远作为零电位）。此时n个电荷电位为：110011( )4|4nnkkkkkkqqrrrR

7、10第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场连续分布的电场电位连续分布的电场电位：体电荷( )( )( )4 |4VVr dVr dVrrrR 面电荷( )( )( )4 |4sVr dsr dsrrrR 线电荷( )( )( )4 |4lVr dlr dlrrrR 电荷在有限空间，选取无限远作为零电位.11第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场场源电荷分布至无限远时场源电荷分布至无限远时：设电荷均匀分布在一无限长直线上，其电荷线密度为l，求空间各点的电位。02lREaR选取圆柱坐标系，利用高斯定律：对于空间任意两点A及B的电位差dln22BABCBABAACRl

8、lBRAE dlE dlE dlRRRR选取空间中某点0为零电位，则A的电位为0ln2lAARR对于场源电荷分布在无限远处时形成的电场，不能选取无限远为零电位。如果选取R0为无穷大，则，A点电位也为无穷大。只能选取有限空间中非源点为零电位。12第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场电位与电场强度电位与电场强度电场强度用电位梯度表示(微分关系)：E 积分关系：0000()=PPPPPE dldldll 电场中电位的等值线或等值面称为等位线或等位面。电荷在等位面上移动时，电场力不对电荷做功。=0E dl13第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例例2.3 2.3 求

9、电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空间两个等量异号的点荷组成如图。 解：在球坐标系中，+q电偶极子zolq2r1rr( , , )P r 2101201 211( )()44qqrrrrrrr由于l很短，rl所以可以近似认为21 221,(cos)(cos)cos22llr rrrrrrl所以上式可以写成：223000coscos( )=444qlpp rrrrr 其中 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。pql14第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场电场强度求解3011( )()sin(2cossin)4rrE raaarrrpaar 等位线电场线电偶极子的场图由以上公

10、式可以画得点偶极子的电力线和等位线分布如右图15第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2.3 2.3 电位方程电位方程0E 静电场的基本方程：DDE线性媒质中的本构关系：可以得到：EE 电场与电位关系：2= 电位的泊松方程在没有电荷分布的区域（无源区）20电位的拉普拉斯方程求解电场分布的问题，最后就是求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题16第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2.4 2.4 静电场的边界条件静电场的边界条件一般电磁场的边界条件：12()0nEE12()SnDD1n2nSDD1t2tEE标量形式：电场强度矢量在两种媒质分界面上的切向分量是连续的分界面

11、上有自由电荷时，电位移矢量法向分量之差为电荷面密度。如果没有自由电荷，电位移矢量法向分量连续。17第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场分界面上没有自由电荷（理想介质）：分界面上没有自由电荷（理想介质）：1t2tEE1n2n=DD1122sinsinEE1122111222coscoscoscosDDEE上式两式相除介质2介质121212E1Ena1122tantan静电场电力线的折射定律导体表面边界条件：导体表面边界条件：导体介质2, 011, 020E1EEna由于静电平衡，导体内部电场为零。nt,0SDE18第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场电位的边界

12、条件电位的边界条件设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时lP1P212120El 在分界面上的电位是连续的。121t2tEE两者是等效的两者是等效的(证明见p42)。2121Snn由于：1n2nSDDnEn nnDEn 则可以将此边界条件用电位表示：理想介质表面：2121=nn导体表面， 1为常数：22Sn19第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例例2.4 2.4 平板电容极板平面的尺寸远大于它们之间的距离d，两极板间加恒定电压U0，极板间介质的介电常数为，其中一半空间有体电荷均匀分布，体电荷密度为，分界面与极板平行，试求极板间

13、电位分布。（教材p43）例例2.5 2.5 （教材p44例2.4.2）20第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2.5 2.5 电容电容电容电容的定义与计算：的定义与计算：孤立导体组成的电容：孤立导体组成的电容：qC Cq 12Cqq导体所带电荷与导体电位之比电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关如空气中半径为a的孤立带电球，0044qqCaa与q和无关双导体组成的双导体组成的电容电容: :12qqCU电容C只与导体几何性质和介质有关21第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例例2.6 2.6 如图所示的平行双线传输线，导线的半径为a，两导线的轴线相距

14、为D，且Da。试求传输线单位长度的电容。ylxPxDa-l解：由于Da，近似认为电荷均匀分布在导体表面，且可将导线看成线电荷，则利用高斯定理得x轴上的电场分布 0112lxE xaxDx 0011ln2D aD allxaaDaUE x a dxdxxDxa两导线间的电压差为：00lnlnllCDaDUaa两导线间单位长度的电容为：22第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例例2.7 2.7 求同轴线的分布电容（单位长度电容）。同轴线内导体半径为R1，外导体内半径为R2，内外导体间媒质的介电常数为。(教材p45)23第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场单个导体

15、上的电量qC 双导体时，一个导体上的电量 1212qC如果把大地看成0=0的导体，则单个导体存在时，导体上的电量为 00qC两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3个导体的情况，其中一个导体上的电量为 11212101qCC其中C12为导体1，2间的电容，C10为导体与大地间的电容N个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位差（包括大地）有关，即有 11,2,3,Niijijiiijj iqCCi 多导体系统的部分电容：多导体系统的部分电容：24第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例如三个导体的电容：例如三个导体的电容：111112121313222221212323

16、333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC 12311C33C22C12C23C13C物理意义：物理意义： 导体系统中各导体间都存在电容 各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部份电容 Cij为导体i与导体j之间的电容；而Cii为导体i本身的电容，即与大地间的电容，可写成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （ij），对称性（互易性） Cij只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有关，与各导体所带电量无关25第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2.6 2.6 电场的能量电场的能量电场能量的讨论：电场能量的讨论：讨论系统充电并稳定

17、后的电场能量，与充电过程无关从零状态开始充电，充电结束时，电荷为、电位为充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子，即充电过程中某一时刻电荷与电位分别为和充电过程由 = 0到 = 1，由无数个充电单元d 组成对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送电荷d，同时做功()(d)，此功将转换为电场的能量 eVVdWddVddV 所以，在一个充电单元一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源为此所做的功为26第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场充电完成后，系统的总能量为110012eeVVWdWddVdV 对于电荷分布于曲面上的情况，有12essWds 电场能量采用场量来

18、表示的方法电场能量采用场量来表示的方法：11dd22SVDSE D V()DDD ()ddVSDVDSE D e11d() d22VVWVDV1()d2VDDV27第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场1d2eVWE D V由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSRRR故R0S所以电场能量电场能量也可以表示为：对应的能量密度能量密度：e12wD E28第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场例例2.8

19、 2.8 一平板电容其电量为C，加于极板间的电压为U。它所储存的电场能量在电路理论中表示为 。现以能量密度的体积分来验证这一电容器所储存的电场能量表达式。(教材p53)212eWCU29第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2.7 2.7 恒定电流电场恒定电流电场恒定电流相对应的电场称为恒流电场恒流电场电荷q沿闭合回路运动一周电场所做的功为：局外力 在电源内部等效的局外电场sFddssFEq由于电场闭合回路做功为零，即：所以：30第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场由于电场闭合回路做功为零，即：所以：由于局外场 仅存在于电源内，它是非电形式能量的等效场，在电源

20、外部局外场等于零。所以上式可以写成：sEdsCAqEl令dsCAElq称之为电源电动势电源电动势31第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场恒电流的基本方程恒电流的基本方程导电媒质外的电介质中导电媒质外的电介质中：DE00ED 与静电场相似导电媒质内：导电媒质内：Jv电流密度ddSVdqJsVdtt 电荷守恒定律散度定理ddSVJsJ V 0Jt 电流连续性原理00EJJE 由于电场无旋特性，可令：E ()0 20所以32第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场恒流电场的边界条件恒流电场的边界条件00EJ 积分形式d0d0CsElJs12()0nEE1t2tEE边界

21、条件12()0n JJ1n2nJJ电场强度的切向分量连续，电流密度的法向分量连续。121. 1.不同导电媒质分界面上的边界条件：不同导电媒质分界面上的边界条件：1t2tEE1n2nJJ1212nn1122tantan电流线在媒质分界面上的折射规律为：由上述边界条件和电场电位关系可得电位边界条件如下：33第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场2. 2.导电媒质与理想介质分界面上的边界条件：导电媒质与理想介质分界面上的边界条件：理想介质完全不导电， , 所以 。由此可得边界条件为：101110JE12()0nEE1t2tEE12()0n JJ1n2n=0JJ在导电媒质表面：1211n22nnnsDDEE2222,0JE又：2n=0E所以：111nnsDE34第二章第二章 静电场和恒定电流电场静电场和恒定电流电场3. 3.具有漏电电流的两个非理想介质分界面的边界条件具有漏电电流的两个非理想介质分界面的边界条件12()0nEE1t2tEE12()0n JJ1n2nJJ可得：11n22nsEE所以：12121221121212=snnnJJJ在非理想介质分