Lagrange插值法1

1、1/46 在生产和实验中，函数在生产和实验中，函数f (x)无表达式无表达式, 只知道只知道f(x)在一些给定点的函数值在一些给定点的函数值(或其导数值或其导数值) ，或者其表达式，或者其表达式复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便于计算的函数于计算的函数 ( (x) )，使其近似的代替使其近似的代替f( (x) ). . 第四章第四章 插值与拟合插值与拟合插值法插值法：插值法是利用函数插值法是利用函数f(x)在一组节点在一组节点x0 , x1, . , xn上的值上的值y0 , y1 , , yn，构造一个插值函数，构造一个插值函数 (x

2、)来逼近已知来逼近已知函数函数f(x) ，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同值相同,即即: (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn求近似求近似函数函数 ( (x) )的方法一般分为两类的方法一般分为两类: : 一类是一类是插值插值, ,另一类是另一类是拟合拟合. .引例及问题综述引例及问题综述2/46插值法插值法：插值法是利用函数在一组节点上的值，构造插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一个插值函数一个插值函数 (x)来逼近已知函数来逼近已知函数f(x) ，并要求插值，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同。函数与已

3、知函数在节点处的函数值相同。曲线拟合方法曲线拟合方法:不要求近似函数不要求近似函数 (x)所表示的函数严格所表示的函数严格通过已知数据点通过已知数据点(xi,yi),而是通过观察这些点的分布规律，而是通过观察这些点的分布规律，选择某种能描述这一近似规律的函数选择某种能描述这一近似规律的函数 (x)来来逼近函数逼近函数f(x)，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，其中最常见的原则就是其中最常见的原则就是最小二乘原理最小二乘原理。但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而是由实验或测量得到的数据，

4、不可避免的带有误差，如是由实验或测量得到的数据，不可避免的带有误差，如果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减少这种测量误差，人们又提出了另外一种构造近似函数少这种测量误差，人们又提出了另外一种构造近似函数的方法的方法曲线拟合方法。曲线拟合方法。3/46原始数据的散点图原始数据的散点图分段线性插值分段线性插值二次分段拟合曲线二次分段拟合曲线已知数据点已知数据点(xi,yi)4/46艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 艾滋病的医学全名为艾滋病的

5、医学全名为“获得性免疫缺损综合症获得性免疫缺损综合症”，英文简称，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒人体免疫缺损病毒”, 英文简称英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的系统的CD4细胞在抵御细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当的入侵中起着重要作用，当CD4被被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导将迅速增加，导致

6、致AIDS发作。发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同的数量，同时产生更多的时产生更多的CD4，至少要有效地降低，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提减少的速度，以提高人体免疫能力。高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。疗法。5/46附件附件1: 同时服用同时服用3种药物种药物（

7、zidovudine(齐多夫定齐多夫定 ), lamivudine(拉米夫定拉米夫定 ),indinavir(茚地那韦茚地那韦 )）的）的300多名多名病人每隔几周病人每隔几周测试的测试的CD4和和HIV的浓度。的浓度。第第1列是病人编号，第列是病人编号，第2列是测试列是测试CD4的时刻（周），第的时刻（周），第3列是列是测得的测得的CD4（乘以（乘以0.2个个/ml），第），第4列是测试列是测试HIV的时刻的时刻（周），第（周），第5列是测得的列是测得的HIV（单位不详）。（单位不详）。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的公布的两组数据。两组数据。(

8、略略) PtID CD4Date CD4Count RNADateVLoad234240 178 0 5.5234244 228 4 3.9234248 126 8 4.72342425 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.3 6/46附件附件2: 1300多名多名病人病人按照按照4种疗法种疗法服药大约服药大约每隔每隔8周周测试的测试的CD4浓度。浓度。第第1列是病人编号，第列是病人编号，第2列是列是4种疗法的代码：种疗法的代码：1 = 600mg zidovudine(齐多夫定齐多夫定) 与与400mg didanosine(去羟肌苷去羟肌苷)按月轮换

9、使用；按月轮换使用；2 = 600mg zidovudine 加加2.25mg zalcitabine(双脱双脱氧胞苷氧胞苷 )；3 = 600mg zidovudine 加加400mg didanosine；4 = 600mg zidovudine 加加400mg didanosine 加加400mg nevirapine(奈韦拉平奈韦拉平 )。第第3列是病人年龄，第列是病人年龄，第4列是测试列是测试CD4的时刻（周），第的时刻（周），第5列是列是测得的测得的CD4，取值，取值log(CD4+1).ID 疗法疗法 年龄年龄 时间时间 Log(CD4 count+1) 1236.42710 3

10、.1355 1236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189 .7/46 请你完成以下问题：请你完成以下问题：（1）利用附件利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。疗）。（2）利用附件利用附件2的数据，评价的数据，评价4种疗法的优劣

11、（仅以种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。或者确定最佳治疗终止时间。（3） 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，美元，400mg didanosine 0.85美元，美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑美元。如果病人需要考虑4种疗法的种疗法的费用，对（费用，对（2）中的评价和预测（

12、或者提前终止）有什）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。么改变。8/469/4610/4635岁-45岁-40-30-20-1001020301234567123411/460102030405060708090100020406080100120140终 止 时 间健康指标CI早 期 拟 合 曲 线 图010203040506070800102030405060708090100终 止 时 间 （ 周 ）健康指标K中 期 拟 合 曲 线 图01020304050607080901000102030405060终 止 时 间 （ 周 ）健康指标K晚 期 拟 合 曲 线 图12/4613/

13、46-1001020304050050010001500200025003000)1/(1124.386109017. 09942. 2xey生长阻滞模型生长阻滞模型 14/29缺少数据缺少数据年份年份平均学费平均学费19891989187.06187.0619901990190.64190.6419911991205.09205.0919921992396.56396.5619931993592.99592.9919941994871.13871.13年份年份平均学费平均学费199519951064.081064.08199619961816.251816.25199719972312.50

14、2312.50199819982755.482755.48199919993548.363548.36200020004620.824620.82200120014620.824620.82200220024547.82354547.8235200320034676.1954 4676.1954 200420044894.69544894.6954200520055092.0835092.083200620065157.1185157.118缺少数据是用样条缺少数据是用样条插值函数求出来的插值函数求出来的高等教育学费问题探讨高等教育学费问题探讨15/46*数据散点图数据散点图O 拟合曲线图拟合

15、曲线图(*其中部分数据是用样条插值函数求出来的其中部分数据是用样条插值函数求出来的)样条插值样条插值1) 106.1875391.4955(5391.4955)(0.3932tetx16/46 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用泛的应用 。 基本思想基本思想:就是利用函数就是利用函数f (x)在一些给定点的在一些给定点的函数值函数值(或其导数值或其导数值) ，建立一个简单而又便于计，建立一个简单而又便于计算的函数算的函数 ( (x) )，使其近似的代替使其近似的代替f( (x) ) . . 插值法插值法有很有很多种多种, ,其中以其中以拉格朗日

16、拉格朗日( (LagrangeLagrange) )插值和插值和牛顿牛顿( (NewtonNewton) )插值为代表的多插值为代表的多项式插值最有特点项式插值最有特点, ,常用的插值还有常用的插值还有HermitHermit插值插值, ,分段分段插值和插值和样条插值样条插值. .插值法插值法17/46插值法插值法 设函数设函数 y=f(x) 在在区间区间a,b上有定义上有定义,且已知且已知f(x)在在a,b上上n+1个个互异点互异点x0 , x1, . , xn 处的值处的值 y0 , y1 , , yn , 若存在若存在一个一个近似近似函数函数 (x) ，满足，满足 ： (x0)=y0 ,

17、 (x1)=y1 , , (xn)=yn , (*)则称则称 (x)为为f(x)的的插值函数插值函数，f(x) 称为称为被插值函数被插值函数，x0 , x1, . , xn 称为称为插值节点插值节点。(*)式称为式称为插值条件插值条件。而误差函数而误差函数R(x)=f(x) - (x)称为称为插值余项插值余项。基本概念基本概念满足同一插值条件的插值函数满足同一插值条件的插值函数 (x)有许多类型，如：有许多类型，如：多项式函多项式函数类型、三角函数类型、指数函数类型数类型、三角函数类型、指数函数类型等，等，常用的插值函数是常用的插值函数是多项式多项式,我们称其为我们称其为代数插值（或多项式插值

18、）。代数插值（或多项式插值）。 (x)作为函数作为函数 y=f(x) 的近似表达式的近似表达式(近似函数近似函数),满足满足: y= f(x) (x)我们把构造满足插值条件的近似函数我们把构造满足插值条件的近似函数 (x)，称为称为插值问题插值问题。 我们这章只讨论代数插值：插值多项式我们这章只讨论代数插值：插值多项式Pn(x)是是否存在否存在?如何求解如何求解?插值误差和余项如何估计插值误差和余项如何估计?18/46 最简单的插值函数是代数多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求一个求一个n次多项式次多项式Pn(

19、x),使其满足插使其满足插值条件值条件: pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系数的系数a0 ,a1, an即可即可, ,为此由插值条为此由插值条件件(2)(2)知知P Pn n( (x) )的系数满足下列的系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的个代数方程构成的线性方程组线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 . (3) a0+a1xn+anxnn=yn pn(x0)=y0pn(x1)=y1pn(xn)=yn19/46 而而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是的系数行列式是Vandermonde行列式

20、行列式xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)( 由于由于xi互异，所以互异，所以(4)右端不为零，从而方程组右端不为零，从而方程组(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾就可构造出来了。但遗憾的是的是方程组方程组(3)是病态方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越越高时，高时，病态越重病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。 21/4

21、61 Lagrange插值多项式插值多项式 设函数设函数y=f(x)在区间在区间a,b上有定义，且已知在上有定义，且已知在点点ax0 x1.xnb上的函数值为上的函数值为y0,y1,y2,.,yn，求，求一个一个次数不超过次数不超过n的多项式的多项式 Ln(x)=a0+a1x+.+anxn (1)*使得使得 Ln(xi)=yi (i=0,1,2,.,n) (2)*成立。称成立。称(1)*式为满足插值条件式为满足插值条件(2)*的的拉格朗日插拉格朗日插值多项式值多项式。 22/46由两点式由两点式,可求可求L1(x)的表达式的表达式)(001010 xxxxyyyy,)(101001011yxx

22、xxyxxxxxL整理得整理得:另一种推导方式另一种推导方式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1一、拉格朗日插值多项式的构造一、拉格朗日插值多项式的构造线性插值线性插值多项式多项式1、线性插值、线性插值先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始开始.即有：即有：a=x0，b=x1, 这时插值问题这时插值问题就就是求一次多项式是求一次多项式L1(x)(=c+dx )，使使其其满足条件满足条件： L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,23/46,)(0101xxxxxl,)(1010 xxxxxl,)(101001011yxxxxyxxxxxL即即l0(x)含有因子

23、含有因子x-x1， l1(x)含有因子含有因子(x-x0)，l0(x), l1(x)称为以称为以x0 , x1 为节点的为节点的线性线性插值基函数插值基函数这样得到一次这样得到一次插值多项式插值多项式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1l0(x0)=1, l1(x0)=0,l0(x1)=0, l1(x1)=1.令令 l0(x)=0 (x-x1) , l1(x)=1 (x-x0)，利用利用 l0(x0)=1 和和 l1(x1)=1确定其中的系数确定其中的系数0， 1得：得： 线线性性插插值值多多项项式式0=1/(x0-x1)故有故有:由由L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1得得

24、1=1/(x1-x0)24/46令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。线性插值仅仅用两个节点上的信息，精确度较差。为了线性插值仅仅用两个节点上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值三点的插值问题：问题：求二次多项式求二次多项式 L2(x) =a0 + a1x + a2x2，使其满足条件：，使其满足条件：L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2)()()(2010210 xxxxxxxxxl类似的可以得出类似的可以得出 l1(x) , l2(x) :)()()(2101201x

25、xxxxxxxxl)()()(1202102xxxxxxxxxl这样这样 l0(x)含有含有 x-x1 , x-x2 两两个因子，令个因子，令 l0(x)=0 (x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0(x0)=1 确定确定其中的系数其中的系数0，得得 2、抛物线插值、抛物线插值l0 (x0 )=1 , l1 (x0 )=0 , l2 (x0 )=0 , l0 (x1 )=0 , l1 (x1 )=1 , l2 (x1 )=0 , l0 (x2 )=0 , l1 (x2)=0 , l2 (x2 )=1 .yxxxxxxyxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx21202101210120020

26、10212)()()()()()()(y25/46于是于是 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) L2(x)=-y0 + -y1 + -y2 .(4) (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)l0(x) , l1(x) , l2(x) 称称 为以为以 x0 , x1 , x2为节点的为节点的抛物抛物 线线插值基函数插值基函数。 3、n次多项式插值次多项式插值：仿照线性插值和二次插值的办法，仿照线性插值和二次插值的办法， 进一步进一步讨论一般形式的讨论一般形式的 n 次多项式次多项式 Ln(x)=a0 +a1

27、x +a2x2 + + anxn ,使其满足使其满足 Ln(x0 )=y0 , Ln(x1 )=y1 , . , Ln(xn )=yn .(5)我们仍从构造我们仍从构造插值插值基函数基函数着手，先对某个固定的下标着手，先对某个固定的下标 j ，作作 n 次多项式次多项式 l j(x) ,使其满足条件使其满足条件可求得可求得 jijixlij, 1, 0)(njiiijixxxx0二次插值多项式二次插值多项式).()().()().()().()()(11101110 xxxxxxxxxxxxxxxlnjjjjjjjnjjjxxxxxx26/46 njnjiijijinjjnjjjjjjjnjj

28、nyxxxyxxxxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx00011101110)().()().()().()().()()( .(*)公式（公式（*）就是）就是Lagrange插值多项式插值多项式，lj(x)称为以称为以x0 , x1,. , xn为节点的为节点的Lagrange插值基函数插值基函数。jnjjnyxlxL)()(0将将lj(x)代入代入:27/46例例1 求过点求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式的拉格朗日型插值多项式解解: 用用5个节点作个节点作4次插值多项式次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0

29、y1=3y2=5y3=4y4=1 10)8)(26)(24)(2(210)8)(6)(4)(0 xxxxxl10)8)(6)(4)(xxxx3841 10)8)(46)(42)(4(410)8)(6)(2)(1xxxxxl10)8)(6)(2)(xxxx961 10)8)(64)(62)(6(610)8)(4)(2)(2xxxxxl10)8)(4)(2)(xxxx641 10)6)(84)(82)(8(810)6)(4)(2)(3xxxxxl10)(4)(2)(xxxx696128/46例例1 求过点求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式的拉格朗日型插

30、值多项式解解: 用用5个节点作个节点作4次插值多项式次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=1 10)8)(26)(24)(2(210)8)(6)(4)(0 xxxxxl10)8)(6)(4)(xxxx3841 10)8)(46)(42)(4(410)8)(6)(2)(1xxxxxl10)8)(6)(2)(xxxx961 10)8)(64)(62)(6(610)8)(4)(2)(2xxxxxl10)8)(4)(2)(xxxx641 10)6)(84)(82)(8(810)6)(4)(2)(3xxxxxl10)(4)(2)(xxxx69

31、61 8)6)(104)(102)(10(108)6)(4)(2)(4xxxxxl8)(4)(2)(xxxx6384129/46L4(x)= y0l0(x)+ y1l1(x)+ y2l2(x)+ y3l3(x)+y4l4(x)10)8)(6)(4)(xxxx3841010)8)(6)(2)(xxxx961310)8)(4)(2)(xxxx641510)(4)(2)(xxxx696148)(4)(2)(xxxx63841110)8)(6)(2)(xxxx32110)8)(4)(2)(xxxx64510)(4)(2)(xxxx62418)(4)(2)(xxxx6384130/46 例例2: 已给已

32、给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值。的值。 y1 - y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367 -x0) x1 - x0 0.01892=0.314567+ (0.0167) =0.330365 . 0.02用线性插值计算，取用线性插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 解解: 由题意取由题意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36y0=0.314567 y1=0.333487y2=0.352274得得

33、:)()(0010101xxxxyyyxL由线性插值公式由线性插值公式31/46用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，因为时，因为yxxxxxxyxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx2120210121012002010212)()()()()()()(y 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。插样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。插值多项式的存在性值多项式的存在性?其截断误差是多少其截断误差是多少?330374. 0352274. 00008. 0105511. 0333487. 00

34、004. 01089. 3314567. 00008. 0107689. 0)3367. 0(3367. 0sin4442L所以所以32/46定理定理1 假设假设x0 ,x1,xn 是是n+1个互异节点个互异节点,函数函数f(x)在这在这组节点的值组节点的值f(xj)(j=0,1,n)是给定的，那么存在唯一是给定的，那么存在唯一的次数不超过的次数不超过n 的多项式的多项式Pn (x)满足满足 Pn (xj)=f(xj), j=0,1,n二二 、 插值插值多项式多项式的的存在性和唯一性存在性和唯一性证明：由插值函数的构造知证明：由插值函数的构造知n次多项式次多项式Pn (x)的存在的存在性，性，

35、由代数基本定理可证明它的唯一性。由代数基本定理可证明它的唯一性。函数函数f(x)的的n次插值多项式次插值多项式Ln(x)只是在节点处有只是在节点处有:Ln (xj)=f (xj), j=0,1,n若若xxj,一般一般Ln (x) f (x), 令令 Rn(x)=f (x)-Ln(x)称称Rn(x)为插值多项式的余项为插值多项式的余项33/46 三三 、 Lagrange插值的插值的插值余项插值余项 (截断误差截断误差)定理定理2：设设Ln(x)是过点是过点x0 ，x1 ，x2 ，xn的的 n 次插值次插值多项式，多项式， f (x)在在a，b上上有有n阶连续导数阶连续导数，在，在(a，b)内内

36、存在存在n+1阶导数阶导数，其中，其中a，b是包含点是包含点x0 , x1 , x2 , xn的任一区间，则对任意给定的的任一区间，则对任意给定的x a，b，总存在一点总存在一点(a，b)（依赖于依赖于x）使使其中其中 。 )(1)!()()()()(11)(xnxLxfxRnnnnf).()()(101nnxxxxxxx证明证明: Rn(x) = f(x) - Ln(x), 当当x=xi时，显然有：时，显然有：Rn(xi) =f(xi) - Ln(xi), =0 ， n+1 (xi)=0 （ i=0,1,n）结论成立结论成立34/46当当xxi时，时，Rn(xi ) =0 ， n+1 (xi

37、)=0 （ i=0,1,n）可设可设Rn(x)=K(x) n+1 (x)0)()K()(L)()(g1)(n1)(nn1)(n1)(n1nxf需证需证:K(x)=f(n+1)( )/(n+1)!现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1 (t), (*)则则g(t)在在a,b上具有上具有n阶连续导数，在阶连续导数，在(a,b)内存在内存在n+1阶导数，当阶导数，当 t= x, x0, x1, xn 时，时，g(t)=0,，即，即g(t)在在(a,b)内有内有n+2个零点个零点,由由Rolle定理知定理知g(t)在在

38、(a,b)内有内有n+1个零点个零点,如此反复，最后可推知如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在在(a,b)内有内有1个个零点零点, 即有即有g(n+1)( )=0, a b。这样，由这样，由(*)式便有式便有35/46现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1 (t), (*)有有g(n+1)( )=0, a x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54)在在MatLab命令窗口

39、输入：命令窗口输入：例例 给出给出f (x)=lnx的数值表，用的数值表，用Lagrange插值计算插值计算 ln(0.54)的近似值。的近似值。x0.40.50.60.70.8Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144输出结果输出结果: -0.616143精确解精确解: -0.616186( -0.6161)51/46x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54,0.65) ans = -0.6161 -0

40、.4308 lagrange(x0,y0,0.54,0.65,0.78)ans = -0.6161 -0.4308 -0.248452/46实验实验4.1（观察龙格（观察龙格(Runge)现象实验）现象实验）实验目的：观察拉格朗日插值的龙格实验目的：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象现象.实验内容：实验内容：1、给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序；、给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序；2、对于函数、对于函数 进行拉格朗日插值，取不同的节点数，进行拉格朗日插值，取不同的节点数，在区间在区间-5,5上取等距间隔的节点为插值点，把上取等距间隔的节点为插值点，把f(x)和插值多项式和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。的曲线画在同一张图上进行比较。(a可以取任意值可以取任意值)具体步骤：具体步骤：1） a=1时，时， i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图； ii）取）取n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图；2）a=0.5时，时，i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图； ii）取）取n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图；