椭圆及其标准方程教学设计

1、课题：2.2.1椭圆及其标准方程教学目标：1 .掌握椭圆的定义、标准方程.2 .会用坐标法求椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想3 .体会数形结合的思想.重点：掌握椭圆的定义、标准方程，理解坐标法的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用教学过程：师：大家来看动画，请说明，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形？生：观看动画，然后得到圆锥曲线的感性认识。师：今天我们就先讲 2.2.1椭圆及其标准方程（引出课题并板书）一、椭圆定义师：生活中，存在着许许多多的椭圆，请你举几个生活中的椭圆例子生：举例回答

2、.师：我们如何画出椭圆？现在大家动手来做一个数学实验（3人1组），做完实验后回答问题.步骤（1）取一条定长的细绳；步骤（2）把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处；一二二步骤（3）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出轨迹.师出示问题1:画出的轨迹是什么曲线？轨迹上的点满足什么几何条件？师展示几个小组的成果，大部分小组画出来的是椭圆师出示问题2:如何给椭圆下定义？ 生：回答.平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于IF1F2I）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距.（此处，若学生回答不完整， 则其它学生补充，师演示及时补充完整.此处

3、强调三个方面（1） 平面内；（2）到两个定点F1，F2的距离的和等于常数；（3）常数大于IF1F2I，若常数等于IF1F2I 或小于I F1F2 I的情况，师可演示，让学生说出结论 .）师出示练习：已知F1，F2是定点，F1F2 = 8,点M满足MF1 + MF2 = 8 ,则点M的轨迹是A椭圆 B 直线 C 圆 D 线段二、椭圆标准方程师：我们已经认识了椭圆，若要研究它的性质，你有什么好的办法？ 生：思考回答.（生若回答不好，师补充说明，建立椭圆的方程，通过方程研究椭圆的性质，这就是坐标法的思想，体现了数形结合思想)师出示问题3:观察椭圆的几何特征，如何选择坐标系才能使椭圆的方程简单？生：思

4、考回答.使尽可能多的点或线落在坐标轴上，原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上 .师生一起选定平面直角坐标系 .(1) (2)生：以第(2)种情况为例，即以经过椭圆两焦点Fi, F 2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线x轴，建立平面直角坐标系 xOy ,求椭圆的方程.师：巡视，查看学生出现的问题，随时指导.(学生可能出现的问题：1 .不知设F1F2 = 2c,尤其不知设 MFi + MF2 = 2a,此时，师可适当引导；2 .不知如何化简弋X +(y-cf+%；x2+(y+c)2= 2a ，师及时点拨.)师：如何化简 Mx2 + (y - c)2 + x2 + (y

5、 + c? = 2a ?生：回答.师：(1)方程中只有一个根式时，把根式单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边；(2)方程中有两个根式时， 需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式2222 2222、生：化简得出(a - c )y + a x = a (a - c )师：上式是椭圆的方程吗？生：思考回答(由于在方程的化简过程中每一步都是等价变形，因此方程是椭圆的方程.)师：上述方程就是椭圆的方程，现在我们可以把方程两边同除以a2(a2 - c2),22得 22 + -22 = 1 .a a - c师：因为a2 - c2 0 ,所以令b = J a2 - c2 ,则式变为224 =

6、1(ab0)a2 b2问题4：你能从图中找出表示a、c、va2 - c2的线段么?师：变形为上述方程的优点：1 .椭圆方程类似于直线的截距式方程，形式上对称；2 .方程中的a、b、c有明确的意义，便于研究椭圆的简单几何性质22、一 Vx师：方程一2 + 2 = 1 (ab0)叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，Fi(0,- c), abF 2(0, c),这里，c2= a2- b2师出示 问题5:如果以经过椭圆两焦点 Fi, F 2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线y轴，建立平面直角坐标系 xOy , a、b、c的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 22生：)方=1 (a b 0)

7、a b2 x222师：我们把匕+万=1, x7+A=1(ab 0)都叫做椭圆的标准方程 a ba b师：现在我们对这两个方程做一下比较 填表.(学生讨论回答，教师多媒体出示)不标准方程2士+=l(ab0a bIT -b 二 a if同图形点焦点坐标共定义同a、b、c的关系点焦点位置的判定22(师强调焦点位置的确定，x , y中哪个的分母大，焦点就在其对应的坐标轴上.) 练习：你说出一个椭圆的标准方程，请同位说出它的焦点坐标，、，一 ，3 5、例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2), (0,2),并且经过点(-2,求它的标准方程.学生板演.22解1：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方

8、程为 4 + 3 = 1(a b 0)a b由椭圆的定义知22222a -pTXZT +心 12+但_2)=2”而 卜 2)12) 2J 12)所以a = ,10 .又因为 c = 2,所以 b2 = a2 - c2 = 10 - 4 = 6.22y x 因此，所求椭圆的标准方程为 10 + -6 = 1.解2:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为又因为焦点的坐标为(0,-2), (0,2)，所以c = 2.2+ 2 = 1(a b 0) b所以 a2 - b2 = 4( 1)(-又一3)222a5 2(2)2+ 上丁 = 1 (2) b2联立(1) (2)解得 a2 = 10, b26.22y x因此，所求椭圆的标准万程为布+至=1.规律总结：求椭圆方程(1)定义法(多与焦点有关)；(2)待定系数法三、巩固练习、深化提高练习：1 .如果点M(x, y)在运动过程中，总满足关系式x2+(y+3f +；x2+(y3f =10.点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程 .2 22 .已知Fi、F2是椭圆 a+乙=1的两个焦点，过 Fi的直线交椭圆于 M、N两点，若259MFi = 3,则MF2 =,三角形MNF2的周长为.3 .已知椭圆的两个焦点分别是Fi(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点，求椭圆的标准方程四、反思小