第12章 静电场中导体和电介质

1、1一、金属导体的静电平衡 (electrostatic equilibrium) 当把导体放入静电场E0中，导体中的自由电子在外电场E0的作用下定向运动，并在导体一侧集结出现负电荷，而另一侧出现正电荷，称静电感应现象。集结的电荷称为感应电荷。 9-5 静电场中的金属导体23456当导体内部和表面都无电荷定向移动的状态称为静电平衡状态。EEE0外电场与自由电荷移动后的附加场 之和为总场强E0E0E0EE7 3. 导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都分布在导体表面上。因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体内部必定不存在净电荷。iisqSE01d在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，

2、应有 1. 整个导体是等势体，导体的表面是等势面。在导体内部任取两点P 和Q，它们之间的电势差可以表示为QPQplEVVd 2.由于电场线与等势面垂直，因此导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。8910二、导体表面的电荷和电场 导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关。大致的规律为：在导体表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。1112金属针上的电荷形成的“电风”会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放电现象。 13 在带电导体表面任取一面元S，可认为其电荷面密度 为均匀分布。包围S作一圆柱状闭合面，使其

3、上、下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭合面的电通量等于通过圆柱上底面的电通量。上式表示，带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电荷密度成正比。 S根据高斯定理，有 SESEd= =0SSE0 E静电平衡导体，表面附近场强的大小与该处表面的电荷面密度成正比14三、空腔导体1.内表面上不存在净电荷，所有净电荷都只分布在外表面。2.空腔内部电场强度为零，即它们是等电势。 可能有两种情形，第一种情形是等量异号电荷宏观上相分离，并处于内表面的不同位置上，与静电平衡条件相矛盾。因此只能是第二种情形，即内表面上处处电量为零。 腔内若存在电场，则电场线只能在腔内空间闭合，而静电场的环路定理已经表明其电场线

4、不可能是闭合线，所以整个腔内不可能存在电场，电势梯度为零。即电势处处相等并等于导体的电势。15若金属空腔导体内部有带电体,由高斯定理可得:qqS说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电量相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强不为零，不是等电势区间。0d0isqSE在导体内：0disqSE在空腔内：Q16 利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。 四、导体静电平衡性质的应用qq-qq

5、-q1.静电屏蔽 (electrostatic shielding)17 4. 库仑平方反比律的精确证明 由于库仑定律是电磁理论的基本规律之一，另外，库仑定律是否为严格的平方反比律，即在下式中是否严格等于零，是与一系列重大物理问题相联系的 在证明高斯定理时我们已经看到，高斯定理的成立是由于库仑定律满足平方反比律，即 = 0；而处于静电平衡的金属导体内部不存在净电荷的结论，是高斯定理的直接结果。试设想，库仑平方反比律不严格成立，高斯定理就不存在，处于静电平衡的金属导体内部就可能存在净电荷。所以，用实验方法测量导体内部不存在净电荷，可以精确地验证库仑平方反比律。 Fr1218例1： 两块导体平板平

6、行并相对放置，所带电量分别为Q和Q ，如果两块导体板的面积都是S，且视为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。解：设四个面的面电荷密度分别为1、2、3和4，空间任一点的场强都是由四个面的电荷共同提供的。由高斯定理，各面上的电荷所提供的场强都是i / 20。另外，由于导体内部的合成场强为零。若取向右为正方向，则处于导体内部的点A和点B的场强可以表示为 1432QQAEBEEA12001234()EB12001234()19根据已知条件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q .可解得 上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面

7、电荷密度大小相等、符号相同。如果 Q = Q ，可以求出：S1432EQQ142()QQS232()QQS14230 ,QS例3. 金属球A带电 q1=1109C, 外有一同心金属 球壳B带电q2 =3 109C, 并且 R1=2cm, R2=5cm, R3=10cm求（1）若B 接地，VA、VB 各等于多少？ 2）若A 接地(地在无限远), A、B球上电荷 分布及电势？AB1R2R3R解：2q 1q 静电感应（1）B接地VB = 09211 10 Cqq d0VAAVEld211204RRqrr101211()4qRR =270V1902 外外q0 外外E1204ABqEr 则BABVV 1

8、120120311()44qqqRRR dd123RABBRRErEr910.75 10Cq 20（2）若A 接地, A、B球上电荷分布及电势？ 解：dd123RRRrr球壳B内表面带电球壳B外表面带电9210.75 10Cqq 2q1q 92.25 10C 202.5V BV 0AV d3REr12034qqR d312204Rqqrr q1q20V 0ABE ?q1是否全跑掉？（2）则有q1=1109Cq2 =3 109C1?q 1204qr 12204qqr AB1R2R3R22半径为R的不带电导体球附近有一点电荷+q，它与球心O相距d，求(1)导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此

9、时球心处的电势；(2)若将导体球接地，球上的净电荷为多少？解:(1)建立如图所 示的坐标系设导体球表面感应出电荷q. 球心O处场强为零，是q的 电场和q的电场叠加的结果23即因为所有感应电荷在O处的电势为而q在O处的电势为2425262728293031电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关三.导体的电容 电容器1. 孤立导体的电容单位:法拉( F )Qu 孤立导体的电势uQ孤立导体的电容C + +QuE 求半径为R 的孤立导体球的电容.电势为RQu04RC04电容为R反映了孤立导体储存电荷和电能的能力。33二、电容器： 在周围没有其它带电导体影响时，由两个导体组成的导体体系，称

10、为电容器。ABBAAUqVVQCQ-QRARB 如图所示，用导体空腔B把导体A包围起来，B以外的导体和电场都不会影响导体A以及 A、B之间的电场。可以证明，导体A、B之间的电势差VAVB与导体A所带电量成正比，而与外界因素无关。电容器的电容定义为34ESQ1. 平行板电容器平行板电容器面积为S ，板间距为d ,且SQE0002dS SQdEdlEU0BAABd三、电容的计算dSUQC0AB平行板电容器的电容与极板的面积S成正比，与两极板之间的距离d成反比。平行板间无电介质时,（1）平行板电容器设极板面积为S，间距为d，带电荷q极板间任意点的电场r q q d38结论平行板间有电介质时,0 rq

11、dVS 0 rSCd 0rC 0 rE （2）球形电容器的电容 球壳间电场是球对称的24QEr 极板间电势差dd221112214RRRRQVE rrr 2112()4Q RRR R 设两个同心金属球壳,半径为R1,R2,中间充满电介质, 带电+Q，-Q； R1R2+QQ1212214R RQCVRR 40当2R 14CR 导体球的电容+LR1R2 （3） 圆柱形电容器由电荷分布可知电场具有轴对称性两圆柱面间的场强 两极间电势差d2112RRVE r 201ln2rRR 02Er 两个半径分别为R1、R2, 长为L的同轴导体圆柱面单位长度带等量异号电荷 ( L R2 R1 )。 若两圆柱面间充

12、满电介质r, 则Ed2102RRrrr 3902rEr 2102lnrRRL 201122lnrRRQLCV 只与结构及r 有关与 无关求电容的方法：1 假定两极板带等量异号电荷+q、q2 求出板间场强 （利用高斯定理）3 求出板间电势差V （用定义法）4 根据 C = Q/V 求出电容dBAVEl 41归纳dSSDSq i i内39例 : 两根距离为d 的平行无限长直导线带等量异号电荷, 构成电容器，设导线半径ad，求单位长度的电容。xdoxa 解:如图建立坐标系，坐标轴上 x处的场强可由高斯定理求出Exdx120方向沿x轴正方向。式中是正电导线单位长度所带电量。两导线间的电势差为adaad

13、axxdxxEUd )11(2d0ABadaadlnln00)/ln(0ABadUC由此可算得单位长度的电容为 在电路中一个电容器的电容量或耐压能力不够时,可采用多个电容连接。如增大电容，可将多个电容并联：1C2CkCCkCCCC 21若增强耐压，可将多个电容串联：1U2UkUU耐压强度KUUUU 21但是电容减小：121111kCCCC 电容器的串、并联45411. 并联电容器的电容iiCCUqqqCn211C2CAVBVnCUCq11等效UCq22UCqnnBAVVU令nCCCC21CBVAV422.串联电容器的电容iiCC11等效nUUUU21nUUUqUqC21CAVBVBAVVU令1

14、C2C3CnCAVBV11UqC 22UqCnnUqC nCCCC111121iiCC11 例三个电容器按图连接，其电容分别为C1 、C2和C3。求当电键K打开时， C1将充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。解 已知在K闭合前， C1极板上所带电荷量为q0 =C1 U0 ， C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后， C1放电并对C2 、 C3充电，整个电路可看作为C2、 C3串联再与C1并联。设稳定时， C1极板上的电荷量为q1， C2和C3极板上的电荷量为q2，因而有KU0+q0q0C1C2C3021qqq322211CqCqCq 0313221321102UCCC

15、CCCCCCqqq 0313221322031322132111UCCCCCCCCCqCCCCCCCCCq解两式得因此，得C1 、C2和C3上的电势差分别为 0313221321111UCCCCCCCCCCqU 031322131222UCCCCCCCCCqU 031322121323UCCCCCCCCCqU 45将充电后的电容器去掉电源，再插入某种介质（如：玻璃，硬橡胶等），结果如下：0r1UU0rEEr0CC其中U0、E0、C0和U、E、C依次表示插入介质前、后电容器的极间电压、场强和电容。12.3 静电场中的电介质一.电介质对电场的影响电介质: 绝缘体46这种在电场作用下发生变化，同时又

16、对电场产生影响的物质称为电介质。电介质在外电场 作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的电极化，简称极化。极化时电介质表面处出现的净电荷称为极化电荷或束缚电荷。0Er实验发现，系数主要依赖于电介质种类，此外还与介质所处的环境有关，今后我们称其为相对介电常数。r 电介质的相对介电常数二.电介质的极化 束缚电荷无极分子有极分子+ -lqp无外场时（热运动）整体对外不显电性(无极分子电介质)(有极分子电介质)0p-+有外场时(分子) 位移极化(分子) 取向极化束缚电荷束缚电荷0EEE0EEE 无极分子电介质 有极分子电介质1电介质中的电子受原子核很强的束缚，即使 在外电场作用下,也只能沿电场方向相

17、对于原 子核作微观位移,无自由电荷的宏观运动。2 对均匀电介质体内无净电荷, 极化电荷只出 现在表面上。3 极化电荷与自由电荷在激发电场方面, 具有 同等的地位。一般地，E外不同，则介质的极化程度不同。23 说明24束缚电荷产生场 影响原来的场E E0E 0EEE外外E 内内E内部：削弱场外部：改变场0EE 内内金属导体和电介质比较有大量的自由电子基本无自由电子，正负电荷只能在分子范围内相对运动金属导体特征电介质（绝缘体）模型与电场的相互作用宏观效果“电子气”电偶极子静电感应有极分子电介质:无极分子电介质:转向极化位移极化静电平衡导体内导体表面感应电荷0, 0EE0表面E内部：分子偶极矩矢量和

18、不为零表面：出现束缚电荷 （极化电荷）0iip52平行板电容器为例求极化电荷面密度介质内电场0EEE00000r 0001(1)rr即00(1)0r 介质的介电常数12.4 电介质中的电场，电位移和高斯定理对于介质极化的程度和方向，可以用极化强度矢量P来描述，它是某点处单位体积内因极化而产生的分子电矩之和，即ViipP式中是在电介质体元 分子电矩的矢量和。在国际单位制中，极化强度的单位是Cm-2(库仑/米2)。如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就称为均匀极化。V54极化强度与极化电荷的关系极化强度与极化电荷的关系在极化了的电介质内切出一个长度为l、底面积为DS的斜柱体，使极化强度P的

19、方向与斜柱体的轴线相平行，而与底面的外法线n的方向成q角，如图9-31所示。出现在两个端面上的极化电荷面密度分别用 和 表示。可以把整个斜柱体看为一个“大电偶极子”，它的电矩的大小为 ，显然这个电矩是由斜柱体内所有分子电矩提供。对于均匀极化的情形，极化电荷只出现在电介质的表面上。ls)( (55斜柱体内分子电矩的矢量和的大小可表示为斜柱体内分子电矩的矢量和的大小可表示为 斜柱体的体积为斜柱体的体积为根据定义，极化强度的大小为根据定义，极化强度的大小为束缚电荷面密度束缚电荷面密度Sqdd cosPnP= Pn 56ssqSP内d极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化强度通过某封闭曲面的通量等

20、于曲面内极化电荷代数和的负值极化电荷代数和的负值, nP极化面电荷密度等于极化强度的外法线分量极化面电荷密度等于极化强度的外法线分量对于任一闭合曲面就有对于任一闭合曲面就有 qdSP这表明，穿出任意闭合曲面的电极化强度的通量，这表明，穿出任意闭合曲面的电极化强度的通量，等于这个闭合曲面所包围的极化等于这个闭合曲面所包围的极化( (束缚束缚) )电荷电荷。 57介质中的高斯定理介质中的高斯定理0EEE总场总场= 外场外场+ 极化电荷附加电场极化电荷附加电场：静电场高斯定理静电场高斯定理 内内内ssssSPqqqqSE)d(1)(11d00000自由电荷自由电荷极化电荷极化电荷净自由电荷净自由电荷

21、ssqSPE内00d)(定义：电位移矢量定义：电位移矢量PED058ssqSD内0d 电介质中的高斯定理：电介质中的高斯定理：电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量等于曲面内自由电荷的代数和与一切与一切 均有关均有关:0PED 0 , qq电位移矢量电位移矢量sSD:d穿过闭合曲面的穿过闭合曲面的 通量仅与通量仅与 D内sq0有关有关.特例：特例：真空真空特别介质特别介质. 0 . 0PqEPED00)(001d内SsqSE回到：回到：59各向同性电介质：EEEPED)1 (0000令r1介质的相对电容率EP0为常数rDDE0EEDr 0得真空电容率介质电容率:00r式中，总场Sr+-+-

22、- - - - - - - - - - - - - - - - - - -00S两平行金属板之间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质,金属板上的自由电荷面密度为0 。两金属板之间的电场强度和介质表面的束缚电荷面密度.解SSD0iiSqSD内,0d0DrDE00SSES) (1d00) (100E0)11 (r求 解解: :（1 1 ）设场强分别为）设场强分别为E E1 1 和和E E2 2 ，电位移分别为，电位移分别为D D1 1 和和D D2 2 ，E E1 1和和E E2 2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面电介质交界面

23、处作一高斯闭合面S S1 1，在此高斯面内的，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得 例题例题4 4 平行板电容器两板极平行板电容器两板极的面积为的面积为S S，如图所示，两板极，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分之间充有两层电介质，电容率分别为别为1 1 和和2 2 ，厚度分别为，厚度分别为d d1 1 和和d d2 2 ，电容器两板极上自由电，电容器两板极上自由电荷面密度为荷面密度为。求（。求（1 1）在各）在各层电介质的电位移和场强，（层电介质的电位移和场强，（2 2）电容器的电容电容器的电容. .+ E1E2D1D2S2S1d1

24、d2AB 1E2 2所以所以21DD 1D2D即在两电介质内，电位移即在两电介质内，电位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于0d211SDSDS SD222111,EDED所以所以121221rrEE 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。 为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面个高斯闭合面S S2 2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的

25、高斯定理，得由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得 SSDSDS11 再利用再利用222111,EDED可求得可求得0111rE 0222rE 方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。 221122112211ddSqdddEdEVVBA2211 ddSVVqCBA q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电

26、容器两极板的表面相平行）。但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为例例 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。AB1d2d求求(1) 各电介质层中的场强各电介质层中的场强(2) 极板间电势差极板间电势差1S解解 做一个圆柱形高斯面做一个圆柱形高斯面1S内）1(d1SqSDiS111SSD1D2S同理，做一个圆柱形高斯面同理，做一个圆柱形高斯面2S内）2(d2SqSDiS2D21DD 21EE 1266 例例 图中是由半径为图中是由半径为R1的长直圆柱导体和的长直圆柱导体和同轴的半

27、径为同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成，其的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为间充以相对电容率为r的电介质的电介质. 设直导设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为体和圆筒单位长度上的电荷分别为+和和- . 求求(1)电介质中的电场强度、电位移和电介质中的电场强度、电位移和极化强度；极化强度； (2)电介质内外表面的极化电电介质内外表面的极化电荷面密度荷面密度.（3）此圆柱形电容器的电容）此圆柱形电容器的电容1R2R 解解 (1)lrlD2rD2rDEr0r02rEPrr0r21) 1(672r022RE)(2Rr 1r012RE)(1Rr (2)rEr021R2R r2rr20r22) 1()

28、1(RE1rr10r12) 1() 1(RE真空圆柱形真空圆柱形电容器电容电容器电容由（）可知由（）可知0r2Er 12()RrR210rdd2 RRrUErr 201ln2rRR 20r12lnRlR QCUr0 C20r12lnCRRl 单位长度电容单位长度电容3）此圆柱形电容器的电容）此圆柱形电容器的电容12-5 12-5 电场的能量电场的能量Kab开关倒向开关倒向a a, ,电容器充电。电容器充电。开关倒向开关倒向b b, ,电容器放电。电容器放电。灯泡发光灯泡发光电容器释放能量电容器释放能量电源提供电源提供 计算电容器带有电量计算电容器带有电量Q Q，相应电势差为，相应电势差为U U时时所具有的能量。所具有的能量。一、带电系统的能量一、带电系统的能量12-5 静电场的能量 能量密度以平行板电容器为例一、电容器的电能 设一个电容为C的电容器正在充电 充电过程：通过电源内部非静电力做功，使得正电荷 的电势能增大，也是把其他形式的能量转化为了电能。dq非静电Fdqdq任任一一时时刻刻qqAuBu终终了了时时刻刻QQAUBUABquuuCBdqA外力做功外力做功qdWdAudqdqC202QqQAdqCC电容器的电能电容器的电能2221212CUQUCQW 非静电力克服静电力做功，把非静电能转化为电容器的电能，即： 放电过程