等差数列的前n项和

1、2.2等差数列的前n项和1理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系(重点)2熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个(重点)基础初探教材整理等差数列的前n项和1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d2.等差数列前n项和公式的函数特点Snna1dn2n.d0时，Sn是关于n的二次函数，且无常数项判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和Sn.()(

2、3)若数列an的前n项和为Snan2bn，则an是等差数列()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式(2)数列n2不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)【答案】(1)(2)(3)小组合作型与Sn有关的基本量的计算(1)已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n和an；(2)已知等差数列an中，S524，求a2a4；(3)数列an是等差数列，a11，an512，Sn1 022，求公差d；(4)已知等差数列an中，a2a519，S540，求a10.【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程

3、组求解，另外解题时要注意整体代换【尝试解答】(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)4.(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，则S55a1d24，即5a110d24，所以a12d，所以a2a42(a12d)2.(3)因为ana1(n1)d，Snna1d，又a11，an512，Sn1 022，所以把(n1)d513代入得nn(513)1 022，解得n4，所以d171.(4)由已知可得解得a12，d3，所以a10a19d29329.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，

4、一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)利用等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用再练一题1等差数列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d5，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.【解】(1)由ana1(n1)d且a1105，d7，得994105(n1)7，解得n128，Sn70 336.(2)an8n2，a110，又d5，S2020a152010101951 150.(3)将d，n37，Sn629代入ana1(n1

5、)d，Sn，得解得等差数列前n项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的关于在中小学实施“校校通”工程的通知的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解【尝试解答】根据题意，从2011年2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上

6、一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列an，其中，a1500，d50.那么，到2020年(n10)，投入的资金总额为S1010500507 250(万元)，即从2011年2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列an有何特征；(2)是求数列an的通项还是求前n项和；(3)列出等式(或方程)求解再练一题2.如图122，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支最上面一层放120支，这个V型架上共放着多

7、少支铅笔？图122【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列an，其中a11，a120120.根据等差数列前n项和公式得S1207 260.即V型架上共放着7 260支铅笔探究共研型等差数列前n项和的性质探究1设an是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d，同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d，所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设Sn、Tn分别为两个等差

8、数列an和bn的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明之【提示】.【证明】.(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值【精彩点拨】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列求解(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解【尝试解答】(1)在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列，27030(S3m100)，S3m210.(2).巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质若an为等差数列，前n项和为S

9、n，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为n2d的等差数列(2)项数(下标)的“等和”性质Sn.(3)项的个数的“奇偶”性质an为等差数列，公差为d.若共有2n项，则S2nn(anan1)；S偶S奇nd；.若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.(4)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，则Smn(mn)(5)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn0.再练一题3已知两个等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值【解】.等差数列前n项和的最值探究1将等差数列前n项和Snna1d变形为Sn关于n的函数后，该函数

10、是怎样的函数？为什么？【提示】由于Snna1dn2n，所以当d0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d0时，Sn有最小值；当d0时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可

11、以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解【尝试解答】(1)由题意得得a19，d3，an3n12.(2)Sn(3n221n)2，当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：(1)利用an：当a10，d0时，前n项和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；当a10，d0，前n项和有最小值，可由an0且an10，求得n的值(2)利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值(3)利用二次函数的图象的对称性再练一题4在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值. 【解】利用前n项和公式和二次函数性质，由S17S9得2517(1

12、71)d259(91)d，解得d2，Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函数性质，当n13时，Sn有最大值169.1设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2【解析】S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.【答案】A2记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D7【解析】由题意得解得【答案】B3在等差数列an中，a12，前三项和为15，则前6项和为()A57 B40 C57 D40【解析】由题意知a1a2a315，3a215，a25，da2a13，an3n1

13、，S657.【答案】A4在等差数列an中，已知a12，d2，则S20_.【解析】S2020a1d2022420.【答案】4205等差数列an中，a1030，a2050.(1)求通项公式an；(2)若Sn242，求n.【解】(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242，得12n2242，解得n11或n22(舍去)，所以n11.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() A5 B7 C9 D11【解析】法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31

14、，S55a35，故选A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.【答案】A2已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A. B. C10 D12【解析】公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故选B.【答案】B3在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为()A14 B15 C16 D17【解析】S99a518，所以a52，Sn240，n(230)480，n15.【答案】B4设Sn是等差数列an的

15、前n项和，若，则等于()A. B. C. D.【解析】由题意S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列.不妨设S31，S63，则S6S32，所以S9S63，故S96，S12S94，故S1210，.【答案】A5设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取得最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9【解析】设公差为d，由a4a62a56，得a53a14d，解得d2，Sn11n2n212n，当n6时，Sn取得最小值【答案】A二、填空题6已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.【解析】a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.S66a1d

16、6.【答案】67已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_. 【解析】法一：设等差数列an的公差为d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d.所以a2a1d2d，代入a1a3，化简得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：设等差数列an的公差为d，由S510，知5a310，所以a32.所以由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化简得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.【答案】208等差数列an的前9项的和等于前4项的和，若a11，aka40，则k_. 【解析】设an的公差为

17、d，由S9S4及a11得91d41d，所以d，又aka40，所以0，即k10.【答案】10三、解答题9一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和【解】设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1d.由已知得10，整理得d，代入，得a1，所以S110110a1d110110110.故此数列的前110项之和为110.10已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？【解】(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)a19，d2，Sn9n

18、(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值能力提升1在项数为2n1项的等差数列an中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n()A9B10C11D12【解析】等差数列有2n1项，S奇，S偶.又a1a2n1a2a2n，n10.【答案】B2已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5【解析】7，n1,2,3,5,11.【答案】D3在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则a1等于_【解析】因为Snna1d，所以35na12na1n(n1)，又ana1(n1)da12(n1)，a12(n1)11，由可得a

19、2a130，解得a13或1.【答案】3或14从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为an，求an；(2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？【解】(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列an，(n1,2，30)依题意，数列a1，a2

20、，a12是首项为10，公差为15的等差数列，an15n5(1n12)a13，a14，a15，a30是首项为a13a1210165，公差为10的等差数列，an165(n13)(10)10n295(13n30)，an(2)4月份的总销售量为181652 550(件)，(3)4月1日至4月12日销售总数为1 1101 200，4月12日前还没有流行由10n295100得n，第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天2.2等差数列的前n项和1理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系(重点)2熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之

21、间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个(重点)基础初探教材整理等差数列的前n项和1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d2.等差数列前n项和公式的函数特点Snna1dn2n.d0时，Sn是关于n的二次函数，且无常数项判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和Sn.()(3)若数列an的前n项和为Snan2bn，则an是等差数列()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式(2)数列n2不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式(

22、3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)小组合作型与Sn有关的基本量的计算(1)已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n和an；(2)已知等差数列an中，S524，求a2a4；(3)数列an是等差数列，a11，an512，Sn1 022，求公差d；(4)已知等差数列an中，a2a519，S540，求a10.【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换【尝试解答】(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)4.(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，则S55a1d24，即5a11

23、0d24，所以a12d，所以a2a42(a12d)2.(3)因为ana1(n1)d，Snna1d，又a11，an512，Sn1 022，所以把(n1)d513代入得nn(513)1 022，解得n4，所以d171.(4)由已知可得解得a12，d3，所以a10a19d29329.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)利用等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式

24、Sn结合使用再练一题1等差数列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d5，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.等差数列前n项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的关于在中小学实施“校校通”工程的通知的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投

25、入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解【尝试解答】根据题意，从2011年2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列an，其中，a1500，d50.那么，到2020年(n10)，投入的资金总额为S1010500507 250(万元)，即从2011年2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列an有何特征；(2)是求数列an的通项还是求前n项和；(3)列出等式(或方程)求解再练

26、一题2.如图122，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图122探究共研型等差数列前n项和的性质探究1设an是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d，同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d，所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设Sn、Tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，那么与有怎样的关

27、系？请证明之【提示】.【证明】.(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值【精彩点拨】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列求解(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解【尝试解答】(1)在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列，27030(S3m100)，S3m210.(2).巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质若an为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成

28、公差为n2d的等差数列(2)项数(下标)的“等和”性质Sn.(3)项的个数的“奇偶”性质an为等差数列，公差为d.若共有2n项，则S2nn(anan1)；S偶S奇nd；.若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.(4)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，则Smn(mn)(5)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn0.再练一题3已知两个等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值等差数列前n项和的最值探究1将等差数列前n项和Snna1d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？【提示】由于Snna1dn2

29、n，所以当d0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d0时，Sn有最小值；当d0时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解【尝试解答

30、】(1)由题意得得a19，d3，an3n12.(2)Sn(3n221n)2，当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：(1)利用an：当a10，d0时，前n项和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；当a10，d0，前n项和有最小值，可由an0且an10，求得n的值(2)利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值(3)利用二次函数的图象的对称性再练一题4在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值. 1设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D22记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列