第十二章 分式和分式方程

1、第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.

2、1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.本

3、章内容呈现方式及特点:(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一步使学生感

4、悟数学思想,积累解决问题的经验.【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通过适当的运

5、算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格按照课程标

6、准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.12.1分式2课时12.2分式的乘除2课时12.3分式的加减2课时12.4分式方程1课时12.5分式方程的应用2课时回顾与思考1课时12.1分式第 课时【教师准备】相关课件.【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.出示课件（章前图）设计意图通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.活动一:做一做感知分式过渡语(针对导入)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做(二)尝试对所列

7、代数式分类设计意图通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.活动二:大家谈谈总结分式定义过渡语大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字母的式子下个定义吧!问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法.在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和

8、分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.活动三:例题讲解深化对分式的认识教科书第2页例1思考:1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)学生分析,得出结论.设计意图通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.活动四:大家谈谈分式的字母可以任意取值吗大家谈谈：教科书第3页问题:1.分数在什么情况下无意义? 2.分式中

9、分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?处理方式学生交流、老师总结强调.(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.设计意图由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?(1);(2);(3)+强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时,一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时,

10、必须满足B0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.活动五:分式的基本性质过渡语刚才我们研究了分式有意义的条件,小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得13,26和412三个数相等吗?下面我们来看看分式是否具有类似的性质?1.请看下面的问题:教师以填空形式展示课件，学生思考、归纳、总结【注意】因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.2.“做一做”：教科书第3页知识总结知识方法要点关键总结注意事项分式的概念一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的

11、分子,B叫做分式的分母.分母含的代数式容易判断错误.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义:分母不为0;(2)分式无意义:分母为0;(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式基本性质的研究方法:从分数分式;从特殊一般.活页纸第1课时活动一:做一做感

12、知分式活动二:大家谈谈总结分式定义分式定义活动三:例题讲解深化对分式的认识例1活动四:大家谈谈分式的字母可以任意取值吗?例2活动五:分式的基本性质一、教材作业【必做题】1.教材第3页练习第1题. 2.教材第4页习题第1,2题.【选做题】教材第4页习题第3题.二、课后作业：同步练习册从相等分数的变形依据,分数的基本性质作为复习引入,类比到相等分式的变形依据,归纳概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究,实现了从“数”到“式”的提升.1.在教学过程中,对于学生的指导还有些不够到位的地方,如:对分式有意义、无意义和值为零类解答题的解答过程示范不够到位.2.让部分因式分解不熟

13、练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.1.注意加深整式和分式的区别,加强解答题目过程的示范,进一步关注数学与生活的紧密联系.2.在例题选配上,还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点,增设判断从左到右的变形是否正确这一类例题.重难点突破建议分式是在学生学过分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似,但又有所不同,分数是分式的具体化,分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生还是比较欠缺的.但是八年级的学生具有一定独立思考、概括归纳的能力,也有很强的合作意识.本课时的重点为分式的概念,难点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破

14、这一重、难点,为后续的学习奠定坚实的基础,所以本节的设计中,突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程,让学生真正地参与到学习中去,提高他们的学习兴趣.第课时【教师准备】课件【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.导入一:【课件1】怎样把分数24,-5-25约分?你做这些题目的依据是什么?导入二:【课件2】下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么? 【课件3】化简:(1)1824,(2)176264,并说出这是什么运算?运算的依据是什么?设计意图按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的

15、基础上自我生成的过程.活动一:分式的约分和最简分式过渡语怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么?1.分式的约分：教科书第4页“观察与思考”教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.展示【课件4】教师根据学生化简的过程进行讲解.归纳:(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式?生讨论回答后总结:约分的步骤:先找分子与分母中的公因式.分子与分母同时除以公因式.公因式的确定方法:当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式

16、的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.进一步理解以上几句话【课件5】找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):2.最简分式师总结:这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简分式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.在化简分式 时,小颖和小明的做法出现了分歧:小颖:小明:你对他们俩的解法有何看法?说说看! 【课件6】活动二:例题讲解过渡语掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面

17、我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.【课件7】约分:教科书第5页例2教师引导学生发现:确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除1以外)没有公因式.学生先练,教师再根据情况指导.方法归纳(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1外)不能再有公因式.【课件8】教材第6页“做一做”指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单.

18、师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号,所以分式的值不变.设计意图通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是确定分子和分母的公因式.1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式

19、约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.活页纸第2课时活动一:分式的约分和最简分式(1)把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.(2)分式的分子、分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.活动二:例题讲解例题一、教材作业【必做题】1.教材第6页练习第1,2题. 2.教材第6页习题第1题.【选做题】教材第6页习题第2,3题.二、课后作业：同步练习册本节课体现了学生是学习的主人,学习了类比的思想方法,培养了学生语言表达和概括知识的能力.在分数约分的基础上,学习分式约分的方法.这一过程由学生自己学习、归纳,这样

20、学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性.高估了学生的基础,部分学生求最大公约数不会,造成约分时学生对公因式的确定还不够准确.针对一些对分数约分困难的学生,给予帮扶,为进一步学习分式的约分奠定基础,另外教师在讲分式约分前应先花一段时间复习因式分解,使得基础比较差的学生学习新知识时能较容易接受.12.2分式的乘除第课时【教师准备】课件【学生准备】复习已学过的分数乘法和因式分解.导入一:用下面的话引入新课:上节课,我们学习了分式的基本性质,我们可以发现它与分数的基本性质类似.那么,分式的运算是否也和分数的运算类似呢?下面我们看投影片,进行探索和交流.【课件】观察下列

21、算式:23×45=2×43×5,57×29=5×27×9 回顾分数与分数相乘的法则.猜一猜:.=?与同伴交流.设计意图运用类比的方法,让学生发现分式的乘法法则,体现知识迁移的过程.活动一:分式的乘法法则过渡语根据刚才导入的问题,我们不难得出:·=你能根据分数与分数相乘的法则,总结出分式与分式相乘的法则吗?以小组为单位,仔细观察,并归纳、交流,得出分式乘法的运算法则.活动二:例题讲解1.分式的分子和分母是单项式的乘法教科书第7页解析(1)将算式对照分式的乘法运算法则,进行运算;(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要进行约分

22、,使运算结果化为最简分式或整式.【学生活动】尝试独立完成,若有困难,再小组讨论解答.说明:学生自己能完成的,一定要让学生自己完成.过渡语刚才我们接触到的是分式的分子和分母是单项式的乘法,如果遇到分式的分子和分母是多项式的时候又应该怎样计算呢?回顾:(1)因式分解的概念;(2)因式分解的方法.2.分子和分母是多项式的分式乘法教科书第7页强调:当分式的分子和分母是多项式的时候,一定要注意多项式如果能进行因式分解的先因式分解,然后再按照分式的乘法法则进行计算,所得结果要化成最简分式或整式.3.教材第8页做一做引导学生观察(1)这个分式怎样相乘.设计意图通过“例题”和“做一做”让学生进一步感受分式乘法

23、的两种形式,即一种是分子和分母是单项式的分式乘法;另一种是分子和分母是多项式的分式乘法.从而让学生掌握计算的方法,提高学生解题的能力.在学生独立完成的基础上,教师讲评,以“暴露”学生身上存在的问题,从而也让学生巩固了本节所学的知识.1.分式的乘法法则:2.注意事项:(1)在运算过程中,当分子、分母都是单项式时,可直接约分再计算;当分子、分母是多项式时,能分解因式的要先分解因式,再约分、计算.(2)运算结果一定要化成最简分式或整式.活页纸第1课时活动一:分式的乘法法则活动二:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第8页练习第1,2题. 2.教材第8-9页习题A组第1,2题.【选做题】教材第9页习

24、题B组第1,2题.二、课后作业：同步练习册教学的设计以学生自主探索为主,通过复习、类比分数的乘法导入新课,通过设置相应的问题,让学生自主探索、合作交流,归纳出分式的乘法法则,加深了学生对分式的乘法法则的理解与记忆,通过对例题的讲解加深了学生对分式的乘法常见形式的理解,并能正确地加以运用和计算,培养了学生利用分式乘法法则解决问题的能力.本节中教师清晰地分出两种情况进行教学,即分子和分母是单项式的分式乘法;另一种是分子和分母是多项式的分式乘法,强调先因式分解再计算.为学生的学习指引了方向,学生的学习积极性较高,掌握了基本的解题技能.(1)由于部分学生计算能力欠缺,或有些细节没注意到,计算上还出现问

25、题.(2)时间安排不是太恰当,学生帮助学生解决问题时耽误了一些时间,导致最后设计的环节没完成.(3)学生答题的规范性还差了些,在黑板上的板书不到位.(1) 在以后的教学中还应加强计算能力的培养.(2)应加强细节的设置,提高课堂效率,在以后的教学中加强学生的答题规范性.(3)本节课用到转化、猜想、归纳的数学方法,以后在教学中提醒学生数学方法的应用.第课时【教师准备】课件【学生准备】复习分式的乘法法则.导入:复习提问:1.分数的除法法则是什么?计算25÷910.2.什么是倒数?学生计算并回答问题,教师及时纠正出现的错误.我们在小学学习了分数的除法,对于分式如何来进行计算呢?这就是我们这节

26、要学习的内容.设计意图温故而知新,通过复习分数的除法导入分式的除法,体现出了类比学习法的重要性.活动一:观察与思考探究分式的除法法则过渡语我们知道小学学过的分数的除法法则,它是将分数的除法转化为分数的乘法进行计算的.让学生先自学教科书第9页观察与思考，然后小组讨论，进一步归纳分式的除法法则:分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.教师适时板书,并引导学生用字母表示.知识拓展根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.设计意图通过观察、猜想和小组讨论,归纳得出分式除法的法则.活动二:例题

27、讲解应用新知过渡语根据上面我们的观察,可以知道分式的除法运算是转化为分式的乘法运算来进行的.所以在进行分式除法运算时,只要将分式的除法运算转化为分式的乘法运算,然后再按照分式的乘法法则进行计算即可.教科书第9页例3引导学生分析:运用分式的除法法则,注意多项式能因式分解的先因式分解,运算结果应化为最简分式或整式.说明:学生独立完成练习,教师关注学生能否准确、熟练地完成任务,适时加以指导.归纳:分式的除法都是转化为分式的乘法进行计算的,(1)分式的分子、分母是单项式,直接根据分式的除法法则进行计算;(2)分式的分子、分母是多项式时,转化为乘法后,先要分解因式,然后再进行计算.过渡语下面来看一个分式

28、的除法应用问题.教科书第9页例3设计意图通过具体的问题,让学生自主探索,教师引导、探究,并进行充分的讨论,最后统一认识、总结、归纳出进行分式除法计算的具体步骤.1.分式的除法法则:2.注意事项:(1)运用法则时,注意符号的变化;(2)因式分解在分式除法中的应用;(3)步骤要完整,结果要化最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.活页纸第2课时活动一:观察与思考探究分式的除法法则活动二:例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第10页练习. 2.教材第11页习题A组第1,2题.【选做题】教材第11页习题B组第1,2题.二、课后作业 同步练习册分式的除法的教

29、学是在分数的除法的基础上,通过类比让学生总结出分式的除法法则.同时呈现了分子、分母是单项式的分式的除法,以及分子、分母是多项式的分式的除法.实际上分式的除法就是将分式的除法转化为分式的乘法进行计算,体现了转化的思想.同时在教学中,教师注重知识的归纳和总结,培养了学生的逻辑思维能力和类比迁移的能力,学生对分式的除法计算掌握较好,同时通过分式除法的应用,让学生理解分式的除法在实际问题中的应用,感受到数学与生活的密切联系.由于学生有了分式乘法的基础,所以本节课学生学得较为轻松.(1)学生自主学习的空间过少,教师引导的太多,没有把自主权交给学生.(2)有的题在完成的过程中,没有达到面向全体学生的目的,

30、而是少部分学生代替了全部.学生能独立完成的,千万不要小组合作完成.学生能做到的,一定要学生尝试做到,要相信学生.尤其是本节课,学生已经有了分式乘法的基础,所以教师一定要照顾到全体学生.每一道题的完成尽量全员参与,让每名学生通过做题发现自身存在的问题,从而通过教师的讲评改正自己的错误.12.3分式的加减第课时【教师准备】课件【学生准备】复习分数的通分和分数的加减法法则.导入:过渡语我们学习过分数的加减法,我们一起来回顾一下:(1)什么叫通分?通分的作用是什么?(2)通分的关键是什么?(3)什么叫最简公分母?教师提问,学生回忆,引出课题,并板书课题.设计意图复习旧知识,引出新知识,为本节课的学习做

31、铺垫.活动一:一起探究同分母分式加减法思路一过渡语下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则.【课件】计算:112+312,45-15.学生计算,并说出分数的加减法法则.教师根据情况板演:【课件】教科书第12页“一起探究”过渡语同分母分式的加减法的实质与同分母分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则吗?学生同桌之间互说,再全班交流.教师板书:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).设计意图从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比分数的加减法运算,学生很容易得出同分母的分式的加减法法则.活动二:例题讲解教科书第12页“例1”说明:让学生独立完成

32、,然后全班讲评.教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知识,可与最简分数相类比.引导学生总结:(1)分子如果是一个多项式,此时分数线还具有括号的作用;(2)最后结果应化成最简分式或整式.设计意图通过例题,进一步提高学生对同分母分式加减法的认识,为熟练进行异分母分式加减打下基础.活动三:异分母分式相加减过渡语刚才我们研究了同分母分式的加减法,现在来看一下异分母分式的加减法.1. 观察与思考法则的探究：教科书第13页“观察与思考”小组讨论,选派代表发言.小组讨论后得出:与异分母分数加减类似,异分母分式相加减也应该先通分,化成同分母的分式,然后按同分母

33、分式加减法法则进行计算,关键是如何通分.活动四:例题讲解教科书第14页“例2”引导学生独立完成.设计意图通过讨论并解决分式的通分,使学生掌握把异分母分式转化为同分母分式的方法,培养学生转化的思想,提高学生解决问题的能力.1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.确定最简公分母的方法:如果各分母都是单项式,那么最简公分

34、母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的代数式,以便通分.4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.设计意图及时反馈学生学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体验到学习数学的快乐.活页纸第1课时活动一:一起探究同分母分式加减法活动二:例题讲解活动三:异分母分式相加减活动四:例题讲解一、教材作业【必做题】

35、1.教材第14页练习第1,2,3题. 2.教材第14页习题第1,2题.【选做题】教材第15页习题第3,4题.二、课后作业：同步练习册本节课,以学生自主探索为主,通过复习类比分数的加减法导入新课,通过设置相应的题目,让学生自主探索、合作交流,从对同分母分数加减法法则类比出同分母分式的加减法法则,从对异分母分数的加减法法则类比出异分母分式的加减法法则.加深了学生对分式的加减法法则的理解与记忆,通过对例题的讲解加深了学生对同分母分式的加减法法则和异分母分式的加减法法则的理解,提高了学生运用分式的加减法解决问题的能力.本节课的教学始终低起点,顺应着学生的认知过程,阶梯式的设置台阶,使学生自然地归纳出法

36、则,在运用法则的重点环节上,无论是例题的分析还是练习题的落实,以学生为中心,给足充分的时间让学生去演算,“暴露”问题,再指出问题所在,为后一步的教学打好基础.第课时【教师准备】课件【学生准备】复习数的混合运算.导入:有一财主死后,几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看到上面有一段文字记录:计算的值,就是我留给你们的全部宝物.老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考后干脆一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,他的儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习之后,你就会明白其中的道理.设计意图故事引入新课,让枯燥的计算问题变得更具吸引力,调

37、动起了学生学习的积极性.活动一:复习异分母分式的加减法过渡语上节课我们学习了异分母分式的加减法,下面我们通过例题来回顾一下异分母分式的加减法.教科书第15页例3【学生活动】小组合作讨论,互相补充完成.说明:教师巡视指导,发现问题及时纠正.归纳:分母是多项式的异分母分式相加减时,如果分母当中的多项式能分解因式的先分解因式,然后再确定最简公分母进行通分.设计意图通过对例题的讲解,让学生回顾异分母分式相加减时,当分母是多项式时,要先进行因式分解,确定最简公分母后再进行通分,把异分母分式加减转化为同分母分式加减再进行计算,培养学生解决问题的能力和灵活应用知识的能力.活动二:分式的混合运算过渡语经过探究

38、我们掌握了分式加减法、乘除法的运算法则,那么当一个分式中含有加、减、乘、除运算时,又应该怎样进行计算呢?【课件】教材第15页“试着做做”让学生独立完成.过渡语分式的混合运算与数的混合运算类似,在进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般要按照运算顺序进行:先算乘除,再算加减;如果有括号,要先算括号内的.教科书第15页例4学生类比数的混合运算的运算顺序,独立练习,小组交流.教师根据学生的情况讲解,并示范解答过程.设计意图类比数的混合运算,建立起新旧知识之间的联系,学生自学容易弄懂,意在培养学生自学的能力.【课件】教材第16页做一做设计意图通过由简到繁,循序渐进的练习,考查学生对基础知识的掌握程度,

39、培养和提高学生的运算能力.本节课通过大量例题的练习,弄清了分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的;分式运算的最后结果分子、分母要进行约分,最后的结果化成最简分式或整式,恰当地使用运算律会使运算简便.设计意图学习结果让学生自我反馈,让他们体验到学习数学的快乐.活页纸第2课时活动一:复习异分母分式的加减法活动二:分式的混合运算一、教材作业【必做题】1.教材第16页练习第1,2题. 2.教材第17页习题A组第1,2题.【选做题】教材第17页习题B组第1,2题.二、课后作业：同步练习册本节课先让学生进行分母是多项式的异分母分式的加减

40、运算,然后通过计算,让学生发现分式混合运算的方法,学生对运算顺序掌握较好,初步达到了教学目标,突出了重点,层层推进,突破难点.以学生为中心,为重心,给足充分的时间让学生去演算,去“暴露”问题,让他们留下深刻的印象.(1)对于问题的探究过程没有完全放手让学生自主探讨,担心课堂时间紧迫,教学任务难以完成,这也是在新课程教学中经常会出现的问题.(2)对于分式的混合运算,学生计算得还是不够准确,没有养成认真检查的良好习惯.(1)整节课以练习为主,放手让学生自学,教师根据学生的典型错误点评,有针对性地讲解.(2)加强练习,使学生逐步掌握运算方法,提高运算的准确度,提升学生的计算能力.12.4分式方程【教

41、师准备】课件【学生准备】复习一元一次方程的有关知识.导入:教科书第18页节前引例在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?设计意图先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.探究一:分式方程及其解法1.分式方程【课件】一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺

42、流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程.学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.知识拓展(1)理解分式方程要明确两点:是方程;分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法教科书第19页例1在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公

43、分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.过渡语通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗?归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.设计意图怎样解

44、分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.探究二:分式方程的增根过渡语刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解.【课件】教科书第19页“观察与思考”说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,

45、并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.教科书第19页例2解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.设计意图学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.活页纸12.4分式方程探究一:分式方程及其解法例1例2探究二:分式方程的增根例3一、教材作业【必做题】1.教材

46、第20页练习第1,2题. 2.教材第2021页习题A组第1,2题.【选做题】教材第21页习题B组.二、课后作业：同步练习册正确地引导、点拨保证了学生掌握正确的知识.本节课的重点内容:解分式方程的思路、步骤、如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来.在解分式方程的过程中容易出现的问题都给学生做出强调.给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充足的自信心.“信心是成功的一半”,在今后的课堂教学中,应尊重其差异性,尽可能分层教学,评价标准多样化.12.5分式方程的应用第课时【教师准备】课件【学生准备】复习列方程解应用题的相关知识.导入一:1.解分式方程的步骤:(1)能化简的先化简;(2)方程两边同乘最简

47、公分母,化分式方程为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.2.列方程解应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:【课件】(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题:工作量=工时×工效.(4)顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水;v逆水=v静水-v水.(5)利润问题:售价-进价=利润率×进价.有一些实际问题,我们是否可以通过列分式方程解决?设计意图进一

48、步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程是本节课的学习目标之一,而怎样列分式方程解应用题是本节课的核心问题.教师通过复习以前学过的列方程解决实际问题的步骤和常见类型等知识,为更好完成本节课学习任务做准备.导入二:【课件2】解下列方程:(1)设计意图进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程是本节课的学习内容,而怎样列分式方程解应用题是本节的核心问题,通过复习以前学过的列方程解决实际问题的步骤为本节学习做准备.活动一:一起探究教科书第22页节前内容设计意图让学生初步体会列分式方程解决实际问题的一般步骤.活动二:例题讲解过渡语同学们,我们一起来看几道例题.教科书第例1教师示范解答过程,强调必须检验这

49、一过程.(补充例题)两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,哪个队的施工速度快?【教师活动】操作投影仪,引导学生把整个工程看成单位1,应用工程模型设未知数(间接设法),列出分式方程.【学生活动】参与教师讲例分析,充分应用已学过的模型列出分式方程.某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?学生讨论,教师引导.先指导学生读题,理清速度、路程和时间所对应的式子,再抓住“相同的时间”这一关键词,得出相等的数量关系:“提速前的路程&#

50、247;提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”,从而建立方程.学生自己先独立完成解答过程,教师再演示出解答过程.教师帮助学生解决含有字母的计算问题,求出关于x的方程的解.教师提醒注意:表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).知识拓展列方程解应用题时,设未知数很重要,分直接设未知数和间接设未知数两种,有时设一个未知数不好表示相等关系,还可设多个未知数,即设辅助未知数.一般情况下,一道题中有几个未知数,就列几个方程进行求解.设计意图对于列方程解应用题,引导学生善于把生活语言转化为数学语言,从中找出等量关系,通过分式方程的应用教学,培养学生的数学应用意识,体

51、会数学的应用价值,提高分析问题和解决问题的能力.【课件】列分式方程解应用题按下列步骤进行:(1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;(2)设未知数;(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程;(4)解这个分式方程;(5)验根,检验是不是增根;(6)写出答案.设计意图学习结果让学生自我反馈,让他们体验到学习数学的快乐,在交流中与全班同学共同分享.活页纸第1课时活动一:一起探究活动二:例题讲解例1例2例3一、教材作业【必做题】1.教材第23页练习. 2.教材第23页习题A组第1,2题.【选做题】教材第23页习题B组第1,2题.二、课后作业：同步练习册第课时【

52、教师准备】课件【学生准备】复习常见应用题中的等量关系.导入:【课件】龟兔赛跑的故事大家都知道吧?兔子自从输了以后,很不甘心,所以邀请乌龟再赛一场:兔子和乌龟要进行一次长跑比赛,从A地到B地,路程是60 km.兔子为了证明自己的实力,说好叫乌龟先出发1小时,结果二者同时到达终点.现在已知兔子的速度是乌龟速度的3倍.你能求出乌龟和兔子的速度吗?(师提问,学生回答)在解决上述问题之前,请大家回忆一下,我们用分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?审题找出相等的数量关系设未知数列方程解方程检验作答.出示问题:【课件】(1)这个问题涉及哪个公式?(s=vt)(2)你能找到上题中的等量关系吗?(乌龟用时=兔

53、子用时+1;兔子速度是乌龟速度的3倍)(3)如何设未知数?(4)如何列出分式方程?(5)解这个方程,并检验,作答.(学生板演)设计意图通过情境的导入,针对实际问题,复习了用分式方程解答实际问题的步骤,使学生进一步掌握了解题的思路和方法,也为本节课的继续学习奠定了基础.活动一:一起探究教科书第23页归纳:刚才“一起探究”的问题中存在两个等量关系,我们根据其中一个设出未知数,然后根据另一个等量关系列分式方程求解,这与用一元一次方程解决某些问题是类似的.活动二:例题讲解过渡语下面再来研究几道分式方程的实际应用问题.教科书第24页例2在活动中教师要关注:学生是否能将实际问题转化为数学问题?大部分学生能

54、否将这个问题很好地分析出来?能否列出方程?基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?(补充例题)为体验中秋时节浓浓的气息,某校小记者骑自行车前往距学校6千米的丹尼斯商场采访,10分钟后,小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的2倍,结果两人同时到达.求两车的速度各是多少.路程(千米)速度(千米/时)时间(时)自行车公交车自学提示:1.速度之间有什么关系?时间之间有什么关系?2.怎样设未知数?根据哪个关系?3.填表.4.怎样列方程?根据哪个关系?学生根据提示独立思考,师生互动总结:此题中有两个相等关系,一个是时间关系,另一个是速度关系.若用时间关系设未知数,则用速度关系列方程.若用速度关系设未知数,则用时间关系列方程.某商店经销一种泰山旅游纪念品