最新导数讲义学生新版

1、导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Ax,那么函数y相应地有增量Ay =f(x0 + Ax) f (x0),比值 皆叫做函数y=f (x)在x0到x0 + Ax之间的平均变化率，即 =f(x0+Ax)f(x0)o如果当Axt 0时，”有极限，我们就说函 =x=x- x数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x0处的导数，记作f'(xO)或y':。f' (x0尸处老二翦 f(x0*R - f(x0)。例、若哪 f(x0+Ax)-f(x0)=k,则 lim f(x0+2 3-f(x0)等于() - x-0xx-0x1A . 2k

2、 B . k C.1k D .以上都不是2变式训练：设函数f (x)在点x0处可导，试求下列各极限的值.1. lim /“一M一M“); x 0xf (x° h) - f (x0 - h)2. lim -.2 - XOHrnT 则二、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p (x0, f (x。)处的切线的 斜率是f' (x 0)。切线方程为 y 丫0=丁(xO) (x x0)。三、导数的运算1.基本函数的导数公式：C' = 0; (C为常数) xn

3、 = nxn.(sin x) = cosx ;(cosx) = -sin x;/ x x(e ) = e ;(ax) =axlna;行 1 In x = 一;11 loga x logae.x习题:求下列函数的导数：(8分钟独立完成)(1) f(x)=n (2) f(x)=x4(3) f (x) = Vx(4) f (x) = sin x(5) f (x) - -cosx(6) f(x)=3xx f(x)=e (8) f(x) = log2x1(9) f(x)=lnx(10) f(x)=1x(12) y(13) y = lgxex1 x2、导数的四则运算法则：(11)ydcosx4 43(14

4、) y = x cosxf(x) g(x) = f (x) g (x)f(x) -g(x) = f (x) - g (x)f(x)g(x) = f (x)g(x) f(x)g(x)f (x)_ f (x)g(x) - f (x)g (x)ILg(x)g2(x)练习：求下列函数的导数：(1) y =x2 2x;(3) y = Mxsin x ；(4)(5)sin xy 二 x(6)2xy =oln x3、复合函数求导:如果函数中(x)在点x处可导，函数f (u)在点u=5(x)处可导，则复合函数y= f ( u) =f 邛(x)在点x处也可导，并且(f 中(X)" = f 'a

5、(x)3 «)例、求下列函数的导数(1) y= v'1 - 2x cos x(2) y=ln ( x+q'1+x2)练习：求下列函数的导数1 二(1) y=r(2) y=sin (3x+-)(3x -1)24常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y = ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1 = 0,则点P的坐标是例2、曲线y = xe'T在点(1 , 1)处切线的斜率等于()A. 2e B . eC 2 D . 1例3、2014 新课标全国卷H 设曲线y = axln( x+1)在点(0 , 0)处的切线方程为y = 2x,则a=()A. 0 B .

6、 1 C . 2 D . 3类型二、求切线方程(一)已知切点坐标，求切线方程例1.曲线y =x3 -3x2 +1在点(1, -1)处的切线方程(二)已知切点斜率，求切线方程例2.与直线2x y +4 =0的平行的抛物线y =x2的切线方程(三)已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程.x(四)已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线y=x3-2x上的点(1 T)的切线方程.变式训练：1、2014 广东卷曲线y= 5ex+3在点(0, 2)处的切线方程为 .2、2014 江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若曲线y = ax2+9(a, b为常数) x过点P

7、(2, 5),且该曲线在点P处的切线与直线7x + 2y+3=0平行，则a+b 的值是.23、与直线x y+1 =0平行，且与曲线y='1相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1,求函数y=x2(1 x)3的单调区间.变式训练：1,函数y = xln x的单调递减区间是()A. (e,，二)B.(-二,e,) C. (0,e,)D. (e,二)2. (05年广东高考题)函数f (x)=x3-3x2+1是减函数的区间为()(A) (2,8)(B) (-o,2) (C) (-o,0) (D) (0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间1 9考例1、

8、已知函数f (x) =5 x -mln x+ (m-1)x , m= R ,当mW0时，讨论函数 f(x)的单调性.例 2、设函数 f(x)= 2x33(a1)x2+1，其中 a 之 1.求f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax(a+1)ln( x+1),其中a=-1 ,求f(x)的单调区问。 变式训练：-. , 、一一，,_x 一 11、2014 山东卷设函数f(x)=aln x+-其中a为常数.x+ 1(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.2、【2014 安徽卷】设函数 f (x) =1 + (1 +a)x-x2-x3

9、,其中 a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、2014 新课标全国卷H 若函数f (x) =kxln x在区间(1 , +oo) 单调递增，则k的取值范围是()A. ( 一00, 一 2 B . ( 一00, 一 1C. 2 , +oo) D . 1 , +oo)例2、2014 全国新课标卷I 已知函数f(x) =ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零点X0,且X0>0,则a的取值范围是()A. (2 , +oo)B . (1 , +oo)C. ( 一00, 一 2) D . ( 一00, - 1)例3、2014 辽宁卷当x

10、C2, 1时，不等式ax3x2 + 4x + 30包成立，则实数a的取值范围是()c 9A. -5, -3 B.:6,一小C. 6, -2 D . -4, -3变式训练：(山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题(数学文)已知函数f(x) =ax3+bx2的图像经过点M (1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y =0 垂直.(I )求实数a,b的值；(H)若函数f (x)在区间m,m+1上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f'(x).求方程f'(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数

11、的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.注：可导函数y =f(x)在x=x。处取得极值是f'(X。)=0的充分不必要条件.例1、已知函数f (x) =2ax b +41nx在X =1与x=l处者B取得极值. x3(1)求a、b的值；变式训练：设x =1,x =2是f (x )=alnx+bx + x函数的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1，x=2是函数f(x柚极大值点还是极小

12、值点，并求相应极值.例 2、(06 安徽卷)设函数 f (x)=x3 +bx2+cx(xw R),已知 g(x) = f (x) - f'(x)是 奇函数。(I )求b、c的值。(U)求g(x)的单调区间与极值。例3、已知函数f (x) =ax3 +bx2 +(c 3a 2b)x+d的图象如图所示.(I )求c,d的值；(II )若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y11=0,求函数f(x)的解析式；1(III )在(II )的条件下，函数y=f(x)与y=1(x)+5x + m的图象有二个不同3的交点，求m的取值范围."例 4、2014 江西卷已知函数 f(x) =

13、(x2+ bx+b)1 2x(bSJ /(1)当b=4时，求f(x)的极值；，；、/(2)若f(x)在区间,，3上单调递增，求b的取值范围.变式训练：1、已知函数f(x) =x+b的图象与函数g(x)=x2 +3x+2的图象相切，记 F(x) = f(x)g(x).(I)求实数b的值及函数F(x)的极值；(n)若关于x的方程F(x) = k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.3-22、(2011 全国 II 文 20)已知函数 f(x) = x +3ax +(3-6a)x + 12a-4(" R)(I)证明：曲线y = f (x)在x=0的切线过点(2,2);(H)若f(x)在

14、x =X0处取得极小值，x# (1,3),求a的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在a,b上最值的步骤：(1)求出f (x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值f(a), f(b).(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x) =ax3+ x2+bx(其中常数a, bCR), g(x) = f(x) +f' (x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.例2、设函数f(x) =ax3+bx+c(a w0)为奇函数，其图象在点(1 , f(1)处的切 线与直线x

15、6y7=0垂直，导函数f' (x)的最小值为12.(1)求a, b, c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在 1,3上的最大值和最小值.1 2例 3、已知函数 f(x)= x +aln x, g(x)=(a+1)x ,a=-1.2(I)若函数f (x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II )若a w(| e( e 271828 ) 川，设F仅)J 的取x),求证：当 x,x21,a 时，不等式| F(Xi) - F(X2)|<1成立.例4、2014 安徽卷设函数 f(x) = 1+(1+a)xx2 x3,其中

16、 a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当xC 0 , 1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.四、导数与不等式恒成立问题：可将包成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“包成立问题”思路1、m之f (x)在x w D上恒成立 u m之f(x)max思路 2、m M f (x)在x w D上恒成立 u m < f (x) min例1.设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx +8c在x =1及x = 2时取得极值.求a、b的值；若对于任意的xw0,3,都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.例2、已知函数f(x)=ax3-3x2+(a+1k

17、 + 1,其中a为实数。3 2已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a w (0,代沛B成立，求实数x的取值范围例 3、设函数 f (x )=x4 +ax3 +2x2 +b,(xWR),其中 a,bR。若对于任意的ae 1-2,21,不等式f (x )W1在Li,1 上恒成立，求b的取值范围。1c 1c例 4、右头数 a>0且a#2,函数 f(x)=ax (a+2)x +2x + 1。32(1)证明函数f(x)在x=1处取极值，并求出函数f(x)的单调区问。(2)若在区间)上至少存在一点x0,使得f(x0)<1,求实数a的取值范围。 变式训练：1、(2010辽宁文)已知

18、函数 f (x)=(a+1)lnx + ax2+1.(I )讨论函数f (x)的单调性；(H )设 a «-2 ,证明：对任意 xi,X2(0, +°°) , | f (不)一 f 优)第4 | Xi x2 |.2、已知函数f (x) =x3+ 3|xa|( a>0).若f(x)在1,1上的最小值记为g(a).(1)求 g(a)；(2)证明：当 xC 1, 1时，恒有 f(x)<g(a)+4.3、设函数 f(x) =(xa)2x,aw R.(I)若x=1为函数y = f (x)的极值点，求实数a ；(H)求实数a的取值范围，使得对任意的x (*,2,恒有f(x)&4成立.1 3224、设函数 f (x) = -x +2ax -3a x +b (0 <a <1, bw R). 3(I )求函数f (x炳单调区间和极值；(II)若对任意的xJa+1,a+2,不等式f'(x)wa成立，求a的取值范围存在性问题：a > f (x )能成立 n a a f (x min ; a <f (x 能成立= a &l