数学小课题研究教学案例数学延伸性研究课题面积比拼

1、数学延伸性研究课题面积比拼一、课题的确定五年级下学期时，学生已学习了长方形、正方形、三角 形、平形四边形、梯形的面积计算方法，练习当中有一道题 是：在周长一定的情况下，长方形和正方形，谁的面积更大？ 学生对此有比较浓厚的兴趣，在讨论的过程中，学生又提出 新的问题，比如周长一定的情况下，什么三角形的面积最 大？周长不变，怎样让平行四边形、梯形的面积最大？把学 生提出的问题综合以后，我们确定了 “面积比拼”这一研究 课题。研究这一课题既能考察学生对已有知识的掌握情况， 又是对学生综合应用能力的挑战，难度又不是很大，属于学 生跳一跳就能摘到果子的范围，利于学生获得成功的体验。 另外，本课题的研究便于

2、学生采用实验、操作、观察、计算、 分析比较、讨论等多种活动进行。学生在研究过程中不仅可 对长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这几种平面 图形的本质特征有深刻的理解，还能发现它们之间的内在联 系，构建起比较完整的知识网络，促进学生空间观念的发展。 二、课题的布置与指导在确立研究任务以后，有兴趣的学生自主选择研究主 题，并组建研究小组，每组4-6人。每个小组在共同研究“周 长一定的情况下，长方形、正方形谁的面积更大”的任务基础上，各有所侧重。一组全是女孩子，主要研究长方形、正 方形、平行四边形的面积情况；二组的研究力量相对薄弱， 完成基本的研究任务即可；三组全是男孩子，动手能力、思 维能力、

3、创造能力强，侧重研究三角形、梯形的面积情况;四组、五组侧重于研究周长一定情况下，谁的面积最大。研究过程中，研究小组成员及时向老师汇报他们的研究方法及研究成果，老师作相应的指导。比如一组采用计算的 方法，老师指导他们如何画表格记录数据，并依据数据进行 有效的分析；三组研究三角形时，一开始用很多一厘米长的 小棒来摆图形，但是摆出的图形很不规则，无法准确测量计 算出图形的面积，老师与他们共同想办法，最后确定用不易 拉伸的尼龙线做成周长12厘米的线圈，然后用它来围成各 种三角形，使研究顺利进行。三、课堂教学实录(-)导入师：同学们，截止到现在，你们已经学会计算哪些图形 的面积？生：长方形、正方形、三角

4、形、平行四边形、梯形。(板书：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。)师：这些都是平面图形，乍一看，彼此之间好像没有联 系。但善于思考的同学提出这样一个问题：假如这几种图形 的周长相同，它们的面积会怎样，谁的面积会是最大的呢？ 前段时间我班的小数学家们对此进行了较深入的研究，还给 他们的研究起了一个响亮的名字叫“面积比拼”。（板书：面 积比拼）那他们到底有什么发现呢？今天，就让我们一起来 听听他们精彩的汇报吧，有请一组同学。【评析：引导学生回顾所学平面图形，暗示它们之间存 在一定的联系，为研究小组的汇报交流做铺垫，同时激发了 未参与研究学生的好奇心。】（二）汇报展示1、一组汇报展示：长方形

5、、正方形、平行四边形的面 积关系邵若涵：大家好！我们组研究的是长方形、正方形、平 行四边形。我们是采用数据说明来比较面积大小的。在周长 相同的情况下，我们把周长设定为100厘米，那么长和宽可 以是多少呢？生1：可以是49和1生2：可以是30和20生3：可以是48和2邵若涵：你们说得很对，我们把它依次排列起来，请看 这张表格。（出示表格）长49,宽1,长48,宽2,这样依 次排列下去，可以排列到长和宽分别是多少？生：25和25。邵若涵：对了，这就是一个正方形。这张表格中，哪个长方形的面积最大?生：24、26,面积是624。邵若涵：你找得很对，我们把这个面积与正方形的面积 比较一下，正方形的面积是

6、625平方厘米，625大于624, 所以在周长相同的情况下，围长方形和正方形，围成的正方 形面积最大楚梦雪：刚才，我们发现正方形的面积最大，我们继续 来看这张表格，看面积这一栏，从下往上看，同学们发现了 什么？生：从下往上看，面积越来越小。从上往下看，面积越 来越大。楚梦雪：那么，这跟长和宽有什么关系呢？生：长和宽的长度越接近，面积就会越大，长和宽的长 度差距越大，面积就会越小。楚梦雪：对，你说的就是我们组的发现，同学们对我们的研究有什么问题吗?生:有没有】1=1小的面积呢?楚梦雪：你提的问题，我们组也想到了，在这张表格上(=1小的面积是49平方厘米，其实还有比它更小的面积，同学们请看这张表格

7、，（出示表格二）大家看，长49.9,宽0.1, 面积是4.99；长49.99,宽0.01,面积是0.4999。再往下 看，它们的面积越来越小，因为再往下还有很多例子，所以我们用省略号表示。通过看表格，我们发现永远找不出最小 的面积，但是我们能找出最大的面积，那就是围正方形的时 候。孙怡雯：下面由我来汇报平行四边形的研究情况，我做 了 2个平行四边形，周长都是60厘米，（拿第一个平行四边 形）我拉动它的两个对角，它的面积会有什么变化？生：面积变小了。孙怡雯：为什么？生：高变短了。孙怡雯：你说得很对，那么向里推动两个对角，它的面 积又会慢慢变大，请问同学们，它的面积什么时候最大呢？生：成为长方形的

8、时候。孙怡雯：是这样的，大家再看四条边都相等的这个平行 四边形。拉动它的两个对角，面积也会慢慢变小，再向里推 动两个对角，面积又会慢慢变大，请问同学们；它的面积什 么时候最大？生：成为正方形的时候孙怡雯：所以综合前面的研究结果，我们认为，周长一定时,围成的正方形面积:大,我的汇报完毕。李雪：下面由我来说一下平行四边形在生活中的实际应 用，平行四边形容易变形的特性在我们的生活中有许多实际 的应用，例如我们学校的电动推拉门，就是由一个个平行四 边形连接而成的，平行四边形的高变短，面积变小，电动推 拉门慢慢合拢到一边，同学们和车辆就可以自由出入了，当 平行四边形的高变长，面积变大，电动推拉门就会关紧

9、，我 们就不能自由出入了，我的汇报完毕。师：一组同学采用了数据计算、实验演示的方法进行研 究，她们的发现还真不少呢，感谢一组同学的精彩汇报，有 请二组同学。【评析：小课题研究对学生能力的培养是普通课堂无可 比拟的，正因为他们深入细致的研究，所以他们才能有理有 据的汇报自己的发现，所以才能与台下同学展开互动交流， 并在同学的质疑面前处变不惊，有条不紊的回答！】2、二组汇报展示：长方形、正方形的面积关系（发现 了一个数列）牟不雨：大家好！我们组研究的方法和1组同学一样， 也是用数据来研究长方形与正方形，我们也发现了周长相同 时，围成的正方形面积最大。有一点不同的是，我们发现了 一个数列。大家看这张

10、表，我们把周长定为24厘米，用242 = 12, 12就是一个长与宽的和，长和宽可以是11、1, 10、2, 9、 3, 8、4, 7、5, 6、6o 面积分别是 11, 20, 27, 32, 35, 36o大家请看，36和35的差是1； 35和32的差是3； 32和 27的差是5； 27和20的差是7, 20和11的差是9, 1、3、5、7、9,这不就是一个奇数列吗?我们又把周长定为20厘米，用20-?2 = 10, 10是一个 长与一个宽的和，长和宽可以分别是9、1, 8、2, 7、3, 6、 4, 5、5o面积分别是9, 16, 21, 24, 25。大家请看面积栏, 24与25的差是

11、1, 21与24的差是3, 16与21的差是5, 9 与16的差是7。1、3、5、7,这也是一个奇数列。我们又把周长定为26厘米，这时又有了一个新的发现, 同学们想知道吗？用26 + 2 = 13, 13是一个长与宽的和，长 和宽分别是 12、1, 11、2, 10、3, 9、4, 8、5, 7、6,面 积分别为 12、22、30、36、40、42, 42 和 40 差了 2, 40 和 36 差了 4, 36 和 30 差了 6, 30 和 22 差了 8, 22 和 12 差了 10, 2、4、6、8、10,这一次是一个偶数列！为什么前两次 是奇数列，这一次是偶数列呢？经过研究，我们觉得问

12、题出 现在长与宽上，为什么呢？因为前两次长和宽的和是双数， 所以是奇数列，后一次的长与宽的和是单数，所以是偶数列, 大家还有什么问题要问我吗？生：如果长和宽是小数，会不会存在这样的数列？牟小雨：我的研究在整数范围内，没有涉及到小数的情 况。师：这个同学的问题提得非常好，你们小组课下做一下 研究，然后再交流好吗？二组同学也采用数据计算的方法研 究了长方形、正方形，发现周长相等时正方形的面积最大，但她们并没有满足于这一发现，而是继续研究数据之间的关 系，发现了有趣的数列，她们是不是应该得到表扬呢？（生 鼓掌）师：三组同学又会带给我们什么发现呢？有请三组同学汇报。【评析：学生的探究总是伴随着意外和惊

13、喜，今天他们 能发现一个数列，谁敢说他们明天不会有更伟大的发现3、三组汇报展示：画方格图的方法研究长方形、摆小 棒来研究梯形、计算和数方格来研究三角形郑润东：大家好，我们组采用了画方格图的方法研究长方形，大家看这4幅图。（图略）我们一眼便可以看出图4的面积大,而它也是这些图中长和宽最接近的，由此可以得到一个结论，当周长一定的 时候，长方形的长和宽越接近面积越大，如果我们由下往上 看，就会发现长和宽的差距越来越大，面积越来越小，由此 又可以得到一个结论，当周长一定时，长方形的长和宽差距 越大，面积越小。师：老师想问一个问题，你们为什么要采用画方格图的 方法，这种方法有什么优势？郑润东：我们觉得这

14、种方法更直观，能看出长和宽的变化，还有面积的变化。师：你说得很好，二组同学不妨也用画方格图的方法来研究一下你们的数列问题，请你们继续汇报。葛昊：我研究的是在周长相同的情况下，什么梯形的面 积最大，在我讲之前，先请同学们猜一猜在周长相同的情况 下，什么梯形的面积最大？我们组研究的结果是这样的，先确定周长是13厘米， 然后再用13根1厘米长的小棒摆出一个梯形，它的上底是4 厘米，下底是6厘米，高是0.9厘米，两腰分别是2厘米和 1厘米，面积是4. 5平方厘米。接着我又摆出一个上底4厘米，下底5厘米，高是L9 厘米的等腰梯形，面积是8. 55平方厘米，比上一个梯形的 面积大。现在我们把图1和图2比较

15、，图1上下底之和较大，高 很短，图2与图1比较上下底之和变化不大，但高变长了， 是L9厘米，面积变成了 8. 55平方厘米，自然变大了，通 过这个比较，我们可以发现在周长相同的时候，一个梯形上 下底之和大，高越短，面积越小，上下底之和大，高越长， 面积越大。怎样才能使梯形面积再大一些呢？下面请金煜坤来汇 报。金煜坤：下面由我来汇报，大家看，图1、图2高都在 梯形的里面，高不是周长的一部分，要想增大梯形的面积，就要充分利用周长，也就是让高成为梯形的一条边，就是要 成为一个直角梯形，刚才葛昊已经说了，只有上底下底之和 大，还不行，高也耍大，面积才能大，所以我摆了这样一个 梯形，上底3厘米，下底3.

16、 5厘米，高是3厘米，另一斜边 为3. 5厘米的直角梯形，通过计算得出它的面积是9. 75平 方厘米，这个面积比前两个面积都要大，那9.75是不是就 是最大的面积呢？不是，大家现在都知道周长相同时，围长 方形、正方形，围出的正方形面积最大，大家看，图4已经 接近正方形，如果它继续接近正方形面积就会越来越大，由此可得结论，在周长相等时，一个近似于正方形的直角梯形在梯形中面积J大。我的汇报完毕，请问同学们有什么问题呢？下面请张涛继续汇报。张涛：大家好！我重点研究的是周长相等的时候什么三 角形的面积最大，一开始我并没有研究出来，后来请教老师,老师说可能等边三角形的面积】大。于是我们进行验证。确定周长

17、为12厘米，先画出一个等边三角形，边长为4厘米，然后测量出三角形的高是3. 4厘米多一点，计算出它 的面积是6.8平方厘米，然后我又想周长12厘米还可以围 成什么样的三角形呢。然后我剪了一根长度为12厘米的线, 用它围成了以下几种三角形，通过测量计算出了它们的面积 分别是5. 75平方厘米、5. 225平方厘米、3. 135平方厘米、 4. 6平方厘米，它们却都小于等边三角形的面积，所以说， 周长相等时等边三角形的面积最大。我的汇报完毕，同学们 有什么问题吗？生：有没有比等边三角形再小一点的面积？张涛：我围出来的图形，除了等边三角形，就是直角三 角形的面积最大了。师：前面同学提出的问题是不是说

18、，有没有比直角三角 形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形，是吗？生：是。张涛：那我回去再围一围，看一看吧。师：那好，有结论了，你们再交流，好吗？师：三组同学发现了周长相等的三角形，等边三角形的 面积最大，周长相等的梯形中，近似于正方形的直角梯形面 积最大，这是多么了不起的发现啊，表扬三组同学。（生鼓 掌）师：四组同学又会带给我们什么惊喜呢，有请四组同学 继续汇报。【评析：师生之间、生生之间互学、互勉。教师富有激 励性的评价既促进了师生之间的共同发展，又让学生体验了 自主探究解决问题带来的无穷魅力和成功体验】4、四组汇报展示：在周长一定的情况下，什么图形的面积最大。陈晓：大家好！我们组研究的

19、是在周长一定的情况下,什么图形的面积最大，为什么？我们做了广泛的研究，运用 了各种工具，比如钉子板就是其中的一种，我们请王宇来给 大家作汇报。王宇：以上三组同学们已经做了非常精彩的汇报。我们 组的结论与其它组相同，只是采取的方法不同，我们组采用 的是取一定的周长20厘米，在钉子板上围图形。我在钉子 板上围了 1-5号图形，1-4号是长方形，5号是正方形，5号图形的面积大于1-4号的任何一个长方形的面积，所以在周 长一定的情况下，正方形的面积比长方形的面积大。陈晓：王宇同学是用钉子板证明在周长一定的情况下,正方形的面积J大，那你们有什么问题要问王宇吗？如果没有的话，请方红宇继续汇报我们的研究。方

20、红宇：上面王宇讲了正方形的面积=1大,我觉得还有比正方形面积更大的图形，那就是圆形。我用相同周长的圆形和正方形作了一个比较。我先画了 一个圆形，用绳子围了围，然后又用尺子测了测，它的周长 是54厘米，我用54 + 4 = 13.5 （厘米），求出正方形的边长是13.5厘米，我把它画在了圆形的正中央。大家可以看到, 正方形的四个小角的面积小于阴影部分的面积，所以说圆形 的面积最大。师：老师说明一下，因为我们还没有学习圆，所以方红 宇同学画的这个圆形是用家里塑料桶的圆盖，比着画的，是不是很有创意呀！看来，生活中随处可见的东西也能为我们 的研究提供帮助。苏文轩：我想问个问题，你把正方形画在了圆形的正

21、中央，如果往下画会怎么样。方红宇：如果往下画，正方形露在圆形外面的还有4个 角的和，4个小角的和小于圆形比正方形多出的部分，还是 能看出圆形的面积大陈晓：我们在研究圆形时，还有一些意外的发现，也能说明圆形的面积大，请韩欣汇报一下。韩欣：我们小组在研究的过程中，还了解了这样一条知 识，在日常生活中，用来装液体的东西通常为圆柱形，也就 是底面是一个圆形，这是因为在底面积相同的情况下，三角 形的周长最长，正方形的周长第二，圆形的周长最短，也就 是说做出同样高度的杯子，底面是圆形的最省材料。既然面 积相等的情况下，圆形的周长最短，那同学们我们倒过来想, 周长相等的情况下，不就是圆形的面积最大吗？【评析

22、：正是因为小课题研究不受课堂时间的限制，所 以学生才有了充分探究的机会，充分的探究空间。也正因为 这样，学生才自主探究出了圆形的面积最大。】师：同学们听明白了吗？生：没有师：那老师再解释一下，在面积相同的情况下，三角形的周长最长，圆形的周长最短，那反过来想，如果周长相同,不就是生：圆形的面积最大。师：对，“反着想”其实就是反向思维，许多创造发明 就是运用反向思维产生的。如果同学们能在生活中主动地运 用反向思维思考问题，也许你们会有许多了不起的发现呢。生：我想问个问题，为什么说底面是圆形的杯子最省材 料呢？韩欣：刚才我们已经作了初步说明，如果你们还不明白, 我们可以回去做底面是三角形、正方形、圆

23、形的杯子来验证 一下，欢迎有兴趣的同学加入我们组。师：四组同学的汇报非常精彩，而且还引发了同学们深 层次的思考，不简单，表扬她们，有请五组同学继续汇报。【评析：展示交流活动是互动的，其他学生也可以参与 讨论、质疑，课堂充满了生动活泼、富有挑战的研讨氛围。 在这样充满丰富交流的数学课堂中，所有学生都对数学获得 了更好的理解，培养了思辩能力，培养了良好数学思维的习 惯。】五组汇报展示：周长一定的情况下，什么图形的面积最 大（摆小棒）张志强：大家好，我们小组研究的是周长一定的情况下, 什么图形的面积最大，我们也发现了围长方形、正方形时，围成的正方形面积最大，下面请成山泉汇报我们与其它小组 研究不一样

24、的地方。成山泉：大家好！下面由我来为大家讲解为什么周长一定的时候圆的面积最大，我们为了方便，使用了小棒来摆图 形，确定的周长是24厘米，前几组的同学已经采取了各种 方法证明了正方形的面积最大，但是正六边形、正八边形， 正十二边形的面积更大于正方形，不信咱们来做一个实验， 把正六边形，正八边形，正十二边形的周长都确定为24厘 米，那么正六边形的一条边便是246 = 4厘米，正八边形 的一条边是24 : 8 = 3厘米，正十二边形的一条边是2412 =2厘米。我们分别用4厘米、3厘米、2厘米的小棒摆出正六边形、正八边形、正十二边形，它们的面积都大于正方形, 而且它们的形状也越来越接近圆形。我们想当

25、正多边形的边 数很多很多，每条边的长度变成一个点的时候不就是个圆形 了吗？所以说圆形的面积最大。师：边数越多，越接近圆形，最后就发展成了一个圆形,同学们的这个发现真的太好了。师：以上各组同学做了非常精彩的汇报，同学们看黑板上的这几种图形，周长相同时，面积最大的是谁?生：正方形。师：如果再加上圆形呢?生:形的面积最大【评析：没学过圆，却已研究了圆，不知道极限思想， 却在不知不觉中渗透了极限的思想，这就是小课题研究的魅 力。】（三）总结这次的课题研究，同学们表现出来的探究热情让老师惊 讶，同学们在探究过程中的投入程度让老师欣喜，同学们在 研究中展示出来的聪明才智让老师欣赏，同学们在研究中勇 于克服

26、困难的精神让老师感动。让我们为自己热烈地鼓一次 掌吧！同学们还想继续这样的探究吗？希望同学们做生活的 有心人，数学的有心人，去发现有价值的数学问题，我们再 一起探究！U!汇报展示课结束以后，学生的探究热情意犹未尽，纷纷 询问什么时候再开展这样的研窕，我说“做事情要有始有终, 咱们这次的研究很成功，同学们也一定有很多收获，就把我 们的收获写一写吧，形式可以是数学小论文或数学报告 有的学生面有难色，有的学生跃跃欲试，我说：“没写过， 不知道怎么写，对吧?怕什么，有老师呢终于在我的鼓励 与辅导下一篇篇数学小论文诞生了。什么三角形的面积最 大、面积比拼、有趣的数列等等，学生在论文里既叙 述了自己的探究

27、过程、研究方法，也谈到了自己的收获和体 会。这些论文在市里评选时多数获得一等奖。为了激发大多 数同学的探究热情，我们又把研究成果做成手抄报的形式张 贴在教室，使越来越多的同学加入到了研究中来五、教学反思反思这次数学小课题研究活动，我也有很多的收获和体 会。首先是学生所表现出的才能令我惊叹，尤其是某些平时 不起眼的孩子，在探究和展示活动中出色的表现，使我对他 们有了重新认识。我相信：孩子在活动中得到的体验将是他 们今后人生路上的重要财富。其次，本次研究活动之所以成 功，是因为选取的课题有研究的价值和可操作性。面积比 拼以学生掌握的知识为基础，学生可采用计算、画图、测 量、比较、摆小棒等多种方法研究，操作性强，避免了抽象、 枯燥、学生无从下手的现象。另外，选取的材料学生感兴趣, 通过努力可以解决问题。兴趣是最好的老师，学生对课题感 兴趣，就会主动运用已有知识、生活经验及周围可以利用的 一切资源，探求问题的解决办法。第三个体会是，老师在研 究过程中要有针对性地指导，让学生体验探索和发现的基本 过程