弹性静力学小位移变形理论的变分原理16K

1、第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的

2、不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的

3、分区（Sub-region）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed）模型和杂交（Hybrid）模型为基础的变分原理。在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为，体积为的弹性体中任意一点的位移参数为、应力分量为以及应变分量为。由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。（1）力的平衡方程 （

4、在内） （5-1）式中表示体力，表示应力分量对坐标分量的偏导数（以下相同）。（2）应变位移关系式（几何关系） （在内） （5-2）（3）应力应变关系式（物理关系） （5-3） （5-3）式中为弹性模量系数，为劲度系数，和都具有对称性。（4）在弹性体的边界上，表面S可划分为两部分：外力已知的边界及位移为已知的边界，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即 （5-4）在力的边界上， （5-5）式中为已知边界力，为的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。在位移边界上， （5-6）式中为已知边界位移。（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方

5、程，6个物理关系方程。而未知变量也共计15个：6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。因此该问题是可以求解的。小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）和余应变能泛函（余应变能密度）可表示为 （5-9） （5-10）不难看出，和有以下关系， （5-11）并且容易证明 （5-12） （5-13）（一）虚功原理与总位能原理这里用和分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。则由虚功原理可写出虚功方程为 （5-14）(5-14)式成立是有条件的，要求和在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件，即 （在V内） （5-15a） （在上） （5-15b）虚功原理

6、表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。如果用下面泛函表示弹性体的总位能， （5-16）对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零， （5-17）将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。由于 （5-18）利用格林公式，上式等号右边积分可变换为并引用（5-15b）式，则（5-

7、17）式可化为因为为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即（在V内）及力的边界条件（5-5）即（在上）。（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件（5-6）的所有容许的中，实际的使弹性体的总位能取最小值。（二）余虚功原理与总余能原理余虚功原理中，可取表示弹性体内的应力变分，即虚应力。另外，表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为 （5-19）余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为 （在V内） （5-20） （

8、在上） （5-21）现在定义下面的泛函为弹性体的总余能 （5-22）现在对（5-22）式取驻值，即，则有 (5-23)利用格林公式，上式中的体积分项可化为考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成 (5-24)再考虑到应满足（5-20）式，且为独立量，则由的驻值条件可以导出位移边界上的协调条件为 （5-25）（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力中，实际的应力使弹性体的总余能取最小值。上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函应满

9、足的条件是（5-1）式和（5-5）式。这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理§5.2.1 完全广义变分原理现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。在§5.1节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。于是形成了下面的完全广义变分原理。（1） 基于总位能原理的

10、小位移弹性理论的完全广义变分原理现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积内的和位移边界上的拉格朗日乘子和，并与总位能泛函相加组成新的泛函， （5-26）式中经受变分的独立量是，及，而不需要附加任何条件。对这些独立量进行变分，有引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为将上式代入式中，得由可以导出以下各式，（在V内） （5-27a,b,c）， (在上) （5-27d,e） （在上） （5-27f）显然，（5-27c）式表示平衡方程，（5-27b）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a）式代入（5-27d）式中，则得，将

11、（5-27a）式带入（5-27f）式得，表示力边界上的给定条件。从以上的推导中，清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系（5-1）、应变位移关系（5-2）、力的边界上的给定表面力（5-5）式及位移边界上的指定位移（5-6）式。将乘子、分别用、代替，则泛函可写成下列形式 （5-28）该式中经受变分的独立量是三类共15个，即、和，而没有约束条件。于是，（5-28）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式（5-6）式的解、，必使得泛函有驻值。（5-26）式和（5-28）式表示的广义原理，也称为胡海昌-鹫津原理。现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理，即Hellinger-Reissner变

12、分原理，同属于无约束条件的广义变分。Hellinger-Reissner泛函由下式定义，式中经受变分的独立量是、和拉格朗日乘子，而没有约束条件。对上式泛函取一阶变分，由驻值条件，可得 （5-29）上式等号右边第一个积分，可以进一步用分部积分展开，可得 （5-30）将（5-30）式代回（5-29）式，经过整理后，可得下式 从上式中可以导出以下条件 （在V内） 平衡方程 （在上） 力边界条件 （在上） 位移边界条件并且可以得到拉格朗日乘子的涵意，如果引入关系式（5-12），即，则还可以得到 （在V内） 应变位移关系从而验证了在泛函极值条件下，导出了弹性力学各类基本方程。将乘子用代替，泛函可以写为下

13、列形式（5-31）式中经受变分的独立量共9个，即和，而没有约束条件。从泛函中不难看出，此种广义变分属于二类自变量的广义变分，和是独立假设的。Hellinger-Reissener泛函在构造弯曲板有限元模型得到广泛的应用（参阅本书第六章§6.3节）。实际上，将物理关系引入（5-28）式消去应变分量，也可以得到（5-31）式。通过分部积分，泛函（5-31）也可以写成另一形式如下：（5-31）（2） 基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在我们从总余能泛函出发，将弹性体内的平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V内和上的拉格朗日乘子和引入，并形成下面的泛函式中、

14、和均作为独立变量。对上式进行一阶变分，得 （5-32）上式中 （5-33）将（5-33）式代入（5-32）式，则由（5-32）式可以得到以下驻值条件：， (在V内) （5-34a,b,c）， (在上) （5-34d,e） (在上) （5-34f）如果将上式得到的和代入式，则泛函可以写为下列形式（5-35）式中经受变分的独立量是三类共15个，即、和，而没有约束条件。于是，（5-35）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式（5-6）式的解、，必使得泛函有驻值。如果将平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V内和上的拉格朗日乘子和引入总余能泛函，并形成下面的泛函式中经受独立

15、变分的量是、和。可以证明，上述的泛函与（5-31）式的泛函是相同的，即（5-36）这是一个属于二类自变量的广义变分，其中的和是独立假设的。实际上，将物理关系引入（5-35）式消去应变分量，也可以得到（5-36）式。下面我们将进一步证明（5-28）式与（5-35）式的等在价性。将（5-28）式与（5-35）式相加，得到利用分部积分，从而得，或 （5-37）(5-37)式证明了两种泛函的等价性。所以，完全变分原理的两种泛函即与是等价的，只是有正、负之差，但这对取驻值没有关系。从物理意义上也比较易于理解，由于小位移线性弹性系统的完全变分原理，在泛函中全部地概括了所有的条件，因此而构成其等价性。而对于

16、一般总位能泛函与总余能泛函，这一等价性并不成立，读者可以自行验证。§5.2.2 有条件的不完全广义变分原理在§5.2.1节中，我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理，对泛函取驻值，导出了所有的需要满足的条件。但实际情况也并非如此，譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函，而只是在满足部分的条件（即放松提出泛函的某些条件的要求），再引用拉格朗日乘子法，组成不完全变分原理的泛函。不完全变分原理较多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。对于基于总位能原理的不完全广义变分原理列举几例，概述如下。（1）在满足位移边界条件（5-6）的所有允

17、许变量、中，只有当、为真实解时，使下面的泛函为驻值， （5-38）式中、均为独立变量。当对（5-38）式取驻值，有 （5-39）利用格林公式，并引入，可以得到将上式代入（5-39）式，同时注意到泛函是在满足位移边界（5-6）的条件下提出的，故上式等号右边第一项中的表面S只包含力的边界，（5-39）式变为 （5-40）因为、均为独立变量，由（5-40）式可导出在体积V内， （5-41a,b,c）在力的边界上 （5-41d）将（5-41a）式代入（5-41d）式中，得 （5-41d）将式（5-41a）式代入（5-38）式，则得泛函为 (5-38)（2）在满足应变位移关系式（5-2）的所有容许的变量

18、中，只有真实解使下面的泛函取驻值 （5-42）现在对取驻值，即，有（5-43）引入（5-13）式，再利用格林公式，上式等号右边第一个积分中的第一项可化为将上式代入（5-43）式，得 因为、为独立变量，故由上式可以导出以下条件，在体积V内： （5-44a）在力的边界上： （5-44b）在位移边界上： ， （5-44c,d）现在将（5-44c）代入（5-42）式，可得泛函为 （5-42）（3）设位移边界条件为。在满足其中一个位移边界条件如的所有容许的、中，只有当、为真实解时，使下面的泛函有驻值 （5-45）这种不完全满足位移边界的泛函，可以只满足其中一部分位移边界条件，如式（5-45）那样，也可以

19、满足其中的两个位移边界条件，而形成相应的泛函。具体推导读者可自行完成。（4）在满足一个应变位移关系的所有容许的位移、应变及应力中，真实的、必使下列泛函为驻值 （5-46）基于总余能原理的不完全广义变分原理，其基本处理方法与上面类似，仍是利用拉格朗日乘子法，使一部分条件乘以拉格朗日乘子作为泛函的一部分，参与到泛函中去，而将另一部分条件作为泛函提出的条件。按泛函提出满足不同的条件，也可以划分为以下几种。（1/）在满足力的边界条件（5-5）的所有容许的位移、应变及应力中，只有真实的、使下面的泛函有驻值 (5-47)式中，和拉格朗日乘子均作为独立变量。在引用了（5-13）式和（5-3）式，即及格林公式

20、，使后，对（5-47）式取驻值，可得到下式因为、都是独立变量，故由上式可导出以下驻值条件，在体积V内：， （5-48a,b）由可知，在体积V内， （5-48c）而在位移边界上， （5-48d）将（5-48c）及(5-48d)代入（5-47）式中，得 （5-47）（2/）在满足平衡方程式（5-1）的所有容许的、中，只有当、为真实解时，使下面泛函有驻值 （5-49）式中应力，应变，乘子是作为独立变量。对泛函（5-49）取驻值，推导上式，我们用了格林公式，使由此可导出以下各式 （在V内）， （在上） （在上） （5-50a,b,c,d）现在将（5-50c）式代入（5-49）式中，可得出泛函为 （5-

21、49）（3/）在满足一个（譬如全部共有三个）给定力边界条件如的所有容许的、中，只有真实的、使下列泛函为驻值 （5-51）同样，如果要求的泛函满足二个以上给定力边界条件时，可以参考（5-51）式，也不难求出其泛函表达式。读者可以自行推导。§5.3 小位移弹性理论的分区变分原理传统变分原理采用整体插值，而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体，采用的是分区插值。将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交界面上的连续性要求，就得到所谓的分区变分原理。分区变分原理是变分原理与分区概念相结合的产物，为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础。设一个连续的弹性体被划分

22、为若干个分区或单元（如图5-1所示），其体积分别为。任一分区的体积力为，表面为，一般由三部分组成：其中，为中包含给定位移的边界面，为中包含给定表面力的边界面，为与相邻分区的交接面。图5-1 分区示意图在分区变分原理中，各个分区按需要可任意定为位能区（如图5-1中的分区（, ）或余能区（如图5-1中的分区）。各个分区中独立变分的量可以任意定为三类变量（位移，应力，应变）或两类变量（和）或一类变量（或）。相邻分区的交接面分为、三类，表示其两侧都是位能区，的两侧都是余能区，的一侧是位能区，另一侧是余能区。各个分区的各类变量不仅可以独立变分，而且在边界面上可以要求或不要求满足给定的位移或面力边界条件，

23、在分区的交接面上也可以要求或不要求满足交接面上位移或面力的连接条件（即位移相容条件和力平衡条件）。小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成下面形式 （5-52）上式等式右边各项的涵义为，第一项为各位能区的总位能或广义的总位能之和，第二项为各余能区的总余能或广义的总余能之和，第三、四、五项分别表示相邻分区交接面处的附加能量之和，取决于交接面的类型。根据分区的性质，我们可以把分区变分原理归结为以下三类，（1）位能分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体，并基于最小位能原理导出的修正变分原理。（2）余能分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体，并基于最小余能原理导

24、出的修正变分原理。（3）混合分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体，是上述两类修正变分原理的混合。分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，与§5.2节的完全与不完全变分原理不同的是，后者可以看作是在单元水平上进行修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行修正与混合。下面我们将在传统变分原理的基础上，为有限元素的集合体进行分区变分原理的公式推导。§5.3.1 位能分区变分原理为了以后方便，现在用和表示两个任意的相邻元素，用表示和的交接面，如图5-2所示。另外引用两个符号和来区别交接面属于的还是属于的（这里表示的整个边界）。（1）修

25、正最小位能原理设每个元素的广义位移表示为图5-2 、，； 如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求：（）在元素内，是连续的和单值的；（）在元素的交接面上，满足位移相容条件，即在上， （5-53）（）如若元素的边界包含有，则该元素的位移函数应满足位移边界条件（5-6）。则这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容许位移函数，那么，元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出 （5-54）式中经受变分的独立量是，是由（5-16）式确定的元素的总位能泛函。（2）修正位能原理如果我们放松元素交接面上的位移相容条件（5-53）式，将约束条件（5-53）利用定义在上的拉格朗日乘子引入到（5-54）式的

26、泛函表达式中，则形成下面的泛函： （5-55）式中的和是经受变分的独立变量，并带有约束条件（5-6）。对（5-55）式取驻值， 由以上的驻值条件，可导出下列的关系式， （在内） （5-56a） （在上） （5-56b）（在上），（在上） （5-56c） （上） （5-56d）式中与分别表示沿与上外法线方向的方向余弦，对同一点来说，有显然，（5-56a）为平衡方程（5-1）式，（5-56b）为力的边界（5-5）式，（5-56c）为乘子，（5-56d）为位移相容条件。令和分别等于及，即有 ， （5-57）（5-57）式指明了拉格朗日乘子的物理意义，即就等于上的表面力（注意是的函数，和记作）。将代入

27、（5-55）式，得到 （5-58）而或 （5-59）（5-58）式给出的原理称为放松连续性要求的第一修正位能原理，因为在中放松了（5-53）式的要求，每一个元素的位移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位移相容条件的要求。这里要指出的是，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。泛函还可以作进一步的处理。若我们引进两个函数与，它们分别定义在与上，且服从下列关系式： （A）由（A）式的条件，可见： ， （B）现在将（B）式代入（5-55）式中，等号右边末项积分的被积函数就变为以下形式 （C）并附带约束条件（A）。因此，可以引入一个定义在上新的拉格朗日乘子将约束条件（A）加入到泛函（

28、5-55）中，于是（5-55）式可改写为下面等价形式： （5-60）而 （D）（5-60）式称为放松连续性要求的第二修正位能原理，式中经受变分的独立量是、和，带有约束条件（5-6）式。其中，在元素中的及在上的与在元素中的及在上的都可以独立选取，但必须在元素交接面上有共同的，以保证交接面处位移的协调性。取（5-60）式的驻值，可得 （E）由此得到在上的下列驻值条件：， （5-61a,b）， （5-61c,d）及 （5-61e）（5-61）式的物理意义十分明显。将（5-61a,b）代入（5-61e），得 （5-61f）（5-61f）表示在交接面上，力是平衡的。如果将驻值条件（5-61a,b）引入中

29、消去和，就可以把改写成另一形式如下 （F）并得到 （5-62）这个原理称为放松连续性要求的第三修正位能原理，式中经受变分的独立量是和，带有约束条件（5-6）式。在这些变分的量中，内的与内的都可以独立选择，但是对于和必须是共同的。（3）修正广义位能原理下面我们将从出发，导出一种修正广义变分原理。即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值： （5-63）式中经受变分的独立量是、和，而不带约束条件。可以证明，在上，的驻值条件也给出（5-61a,b,c,d,e

30、）式表示的方程。因此，我们可以把写成另一等价形式如下： （5-64）式中 （G）（5-64）式中经受变分的独立量是、和，而不带约束条件。（4）修正Hellinger-Reissner原理利用应变位移关系式（5-2），从泛函中消去应变分量就导致修正Hellinger- Reissner泛函： （5-65）式中经受变分的独立量是、和，而不带约束条件。利用分部积分，可以得到修正Hellinger-Reissner泛函的另一表达式如下： （5-66）式中经受变分的独立量是、和，没有约束条件。§5.3.2 余能分区变分原理我们也可以从最小余能原理出发，导出有限元集合体的最小余能原理、修正余能原

31、理以及修正广义变分原理等。用下列记号来表示每个元素中的应力：，； 如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求：（）在元素中，是连续的和单值的，并且满足平衡方程（5-1）；（）在元素的交接面上，满足平衡条件，即在上， （5-67） 式中和是由（5-57）式定义的；（）如若元素的边界包含有，则该元素的应力函数应满足力边界条件（5-5）。这些满足上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数，那么，元素集合体的最小余能原理的泛函就可以由下式给出 （5-68）式中经受变分的独立量是，是由（5-22）式确定的元素的总余能泛函。如果我们放松元素交接面上的平衡条件（5-67）式，将约束条件（5-

32、67）利用定义在上的拉格朗日乘子引入到（5-68）式的泛函表达式中，则得到如下的修正余能原理的泛函： （5-69）式中经受变分的独立量是和，并带有约束条件（5-1）和（5-5）。关于泛函的原理称为放松连续性要求的修正余能原理，因为在中放松了（）的要求，每一个元素内关于应力的函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的力的平衡条件的要求。这里要指出，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。对（5-69）式的泛函进行一阶变分，可得到下列驻值条件： （在上） （5-70a）（在上），（在上） （5-70b,c）将（5-70 b）或（5-70c）代入（5-69）式，并将写成以下形式

33、（5-71）式中由下式给出 或 （5-72）如若将（5-71）式中的替换为广义余能泛函（即（5-35）式），同样可以得到一种修正广义余能原理，即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值： （5-73）式中经受变分的独立量是、和，而不带约束条件。或下面的两类自变量的修正广义原理 （5-74）式中经受变分的独立量是、和，而不带约束条件。以上变分过程，读者可自行进行。§5.3.3 混合分区变分原理如果弹性体在整体上被分割为位能区和余能区的混合分区（

34、如图5-1所示的），则形成混合分区变分原理。混合分区变分原理在解决一些特殊结构问题（如裂纹问题）时是非常有效的。在混合分区时，我们用表示所有位能区的集合，表示所有余能区的集合，如对图5-1所示的分区，有，同时用表示交接面两侧都是位能区，表示两侧都是余能区，表示一侧是位能区另一侧是余能区。考虑两个任意的相邻分区和，如果和，或和，则其交接面=，或=。交接面处的附加能量已由§5.3.1节给出，交接面处的附加能量已由§5.3.2节给出。当相邻分区和，一个是位能区如，一个是余能区如时，则其交接面=。而交接面处的附加能量由下式给出： （5-75a）因为，上式又可写成 （5-75b）证明

35、（5-75）式是很容易的。不失一般性，假设全域由和组成，即+，且，。在内选择位移，并且在内满足应变位移关系式（5-2），在上满足位移边界条件（5-6），在内选择应力，并且在内应力满足平衡方程（5-1），在上满足力的边界条件（5-5），则全域的能量泛函为 （5-76）其中 （即（5-16）式） （A1） （即（5-22）式） （A2） （A3）我们要证明的是，在所有容许的位移及所有容许的应力中，只有真实的及真实的使（5-76）式的泛函有驻值。对（5-76）式的泛函取一阶变分，注意的是所经受变分的量是位移，所经受变分的量是应力，而所经受变分的量是和。依据泛函提出的条件，则有 （B1） （B2） （

36、B3） （B4）从而导出下列驻值条件： （在内） （C1） （在上） （C2） （在上） （C3） （在上） （C4） （在上） （C5）显然，上式中的（C4）式和（C5）式就是在交接面上的连续性要求。如果及是真实解，则（C）式的条件都成立，从而有，即使（5-76）式的泛函取驻值。（5-76）式表示的能量原理是有条件的。如果我们对位能区和余能区分别采用完全或不完全广义变分原理的泛函形式，同样可以得到混合分区的完全与不完全广义变分原理。如：（1）真实解、，使下面的泛函有驻值： （5-77）式中由（5-28）式给出，由（5-35）式给出。 （2）真实解、，使下面的泛函有驻值： （5-78）式中由（

37、5-31）式给出，由（5-36）式给出。 §5.4 对应于不同变分原理的元素刚度特性有限元素法是采用离散化的方法，借助于数值计算，以决定其近似解。当然，随着离散化数学模型的改善与数值计算技能的提高，计算结果更逼近于精确解。改善有限元素法计算的措施之一，是获得性能良好的元素刚度矩阵，而变分原理是有限元素法的基础。为此目的，本节准备利用以上几节所讨论过的一些变分原理，进一步说明有限元素法中的元素刚度矩阵或柔度矩阵特性及其形成的一般过程。§5.4.1 基于最小位能原理的元素刚度矩阵特性最小位能原理的基本变量是位移及应变。有限元素法是以元素节点上的位移自由度来表示这些分量的，如下面

38、的我们在有限元素法中所熟悉的一些关系式。元素的内位移与节点位移之间的关系式为 （A）式中为联系节点位移与元素内位移的转换矩阵，称为形函数矩阵。元素的广义应变与节点位移之间的关系为 （B）式中：为元素广义应变列阵；为节点位移列阵；为元素几何矩阵。如果考虑到有初应变的影响，则元素应力列阵为 （C）式中为弹性矩阵。将（A）、（B）、（C）三式代入（5-16）式表示的总位能泛函中，可得 （D）其中 （5-79a,b,c）现在对总位能取驻值，即，得 （5-80）由（5-80）式可知，由最小位能原理可导出元素的刚度矩阵，所以最小位能原理导致“位移法”。不难证明，若我们对总位能取二次变分，即，则有 （E）对

39、于的位移增量，能量总为正值，即。表明总位能为极小，且元素刚度矩阵是正定的。从虚功原理，也可以得出（5-80）式。假设元素的节点虚位移为，相应的元素的虚应变和虚内位移为则由元素的虚功方程并考虑到的任意性，可得上式即为（5-80）式。【例5-1】 试求图5-3所示变截面杆元素的刚度矩阵。设该杆元1和2端的横截面积分别为和，断面沿杆轴线的变化为线性的。此杆沿轴方向的断面面积可写为图5-3 变截面杆元素 （F）杆的内位移为元素应变为 （G）因而 （H）将（H）式代入（5-79a）式中，可得§5.4.2 基于最小余能原理的元素柔度矩阵特性与基于位能原理的节点位移相对应的，在基于余能原理的离散化

40、方法中，引入节点力，这时元素的内应力应该用节点力表示，并可表示为下面形式 （A）这里应该指出的是，这些节点力应去掉静定基的支反力，以保证中各分量的独立性。元素边界上的边界应力也同样用节点力表示之，就是说（A）式也适用于边界上的应力。为方便起见，我们这里引用下式表示边界上的边界力 （B）现在引用（5-22）式的总余能泛函，并将（A）式和（B）式代入，可得 （5-81）式中： （5-82a） （5-82b）（5-82a）式为元素柔度矩阵，（5-82b）为元素给定的位移向量。对（5-81）式取驻值，即，则得 （5-83）显然，对总余能取驻值，将导出变形方程，并表现出元素的柔度矩阵。所以，总余能原理将

41、导致“力法”的计算公式。【例5-2】 求图5-4所示的悬臂梁的柔度矩阵。设梁的长度为，断面面积不变。梁自由端的节点力为 （D）元素的节点位移为 （E）梁的另一端为固定端，它提供了最小数目的约束，即静定基约束。梁的广义应力为 （F）显然，式中的等于 （G）梁的广义弹性模量矩阵，则由（5-22）式，可得其中，柔度矩阵为§5.4.3 基于Reissner变分原理（5-31）式的元素刚度特性如果略去体力，（5-31）式给出的泛函可写为 （5-84）这里我们取两种独立变量，即节点位移与节点力，元素的内应力和内应变与节点力和节点位移的关系为应力： （B）应变： （C）式中的节点力仍是指对应于静定

42、基自由点上的节点力。元素边界上的位移与边界力，同样，也可以用节点位移与节点力表示如下边界上的位移： （D）边界上的力： （E）将（B）、（C）、（D）、（E）代入（5-84）式中，可得 （5-85）式中 （5-86a） （5-86b） （5-86c） （5-86d）（5-85）式中以和为变量，对泛函取驻值，可得如下两式 （F） （G）或写为 （5-87）显然，（5-87）式为一混合形式的方程式，未知变量中即包含有节点力，也包含有节点位移。这种变分能量原理称为Reissner变分原理，以上各式均基于此变分原理而求得的。【例5-3】 图5-5为一梁元素，节点1与节点2的受力情形如图所示。现假设元素

43、之间位移是连续的，则（在位移表面上），因此（5-84）式等号右边最末项为零，显然，（5-86a）第二项及（5-86d）式均为零。节点位移为 （H）图5-5 梁元素对应于静定基的节点力可取和，即 （I）梁的曲率与节点位移之间关系式为 （J）式中，（）（J）式相应于，相当于广义应变，相当于矩阵，即 （K）沿梁的弯矩呈线性分布，即 （L）（L）式相当于，相当于广义应力，则矩阵即为 （M）边界位移为，节点位移为，这里既是边界位移也是节点位移，所以矩阵（为单位方阵）。边界力为 （E）其中 （N）矩阵为 （O）将（M）式代入（5-86b）式中，取，则有 （P）将（M）及（K）式代入（5-86a）式中，有

44、（Q）将（N）式代入（5-86c）式，则有 （R）将（I）、（H）、（P）、（Q）、（R）各式代入（5-87）式，得 （S）由（S）式可分解为以下两式， 于是，求出该元素刚度矩阵为§5.4.4 基于位能原理的位移杂交模型（I）的元素刚度特性下面所讨论的位移杂交模型是基于总位能原理。利用拉格朗日乘子法，建立的泛函能够较好的满足元素与元素交接面边界上的位移协调或相互作用力之间的平衡关系。本节将说明二种位移杂交模型，其中杂交模型（I）是将元素的内位移以广义位移参数表示，而相邻元素交接面上的边界力却用一组独立的边界应力表示，这些边界应力又可以用节点力表示之，此处为对应于静定基的节点广义力。杂