概率论与数理统计第8讲

1、1概率论与数理统计概率论与数理统计第第8讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论子目录)2独立试验序列概型3关于上一次作业的问题请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型, 将试验可看成分为两步做, 如果要求第二步某事件的概率, 就用全概率公式, 如果是在第步二某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式.但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式, 因此写成:P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+4而正确的全概率公式是这样P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+因此, 在假设事件中, 除了划分的假设A1,A2,外, 只假设一

2、个最终的事件.当然, 因为全概率公式是来自P(B)=P(A1B)+P(A2B)+因此也有人这样假设事件, 即假设D1=A1B1,D2=A2B2,P(B)=P(D1)+P(D2)+但这种作法习惯不好.5事件运算的最小项任给n个事件A1,A2,An, 取这n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项之间是互不相容的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可以由若干个最小项的并构成.因此要计算这样的事件的概率, 只需要按加法法则将所包含的各个最小项的概率相加即可.6

3、例, 二事件A与B可组成四个最小项为ABBABABAABBABABABABABABAABBAABBAABAABBABABA如个的并产生由这四个最小项中的几可以产生的任何逻辑式式都由 ,7从图形上看, 这四个最小项代表了四个区域3, 2, 1, 0ABBABABAAB01238而三个事件A, B, C可组成8个最小项为ABCCABCBABCABCACABABCCABCBACBAACBAABCCABCBACBABCACBACBACBA如产生个最小项中的几个的并由这可以产生的任何逻辑式式都由8,9这8个最小项可以和所有的3位二进制数一一对应111110101100011010001000ABCCAB

4、CBACBABCACBACBACBA10一般地n个事件A1,A2,An共可组成2n个最小项, 每个最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的Aj不取逆.11书上补充习题1(226页) 某工厂每天分3个班生产, 事件Ai表示第i个班超额完成生产任务(i=1,2,3). 则至少有两个班超额完成任务可以表示为323121321321321321323121321321321)()()()(AAAAAAdAAAAAAAAAAAAcAAAAAAbAAAAAAAAAa解 此为多选题, 正确的答案为(b),(c),(d).

5、这是因为(a)为恰有两个班超额完成的最小项之和, 而(b)为至少两个班的典型表示式, (c)为最小项表示, 而(d)表示至少两个班不超额的逆12独立试验概型在概率论中, 把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型.进行n次试验, 若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响, 则称这n次试验是相互独立的.而多个独立试验可以在多个场景同时进行, 也可以按时间顺序进行.13例1 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率均为0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部机床需要工人照管的概率.解 用事件A,B,C分别表示在这段

6、时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立,并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 将ABC的所有最小项列出来为ABCCABCBACBABCACBACBACBA,14假设B0,B1,B2,B3为有0,1,2,3台机床需要照料的事件,则根据所列出的最小项可得)3 , 2 , 1 , 0( ,8 . 02 . 0)(2 . 0)()(8 . 02 . 03)()(8 . 02 . 03)()()()()(8 . 0)()()()()(3333222130kCBPCBAPBPCBACBACBAPBPCABPCBAPBCAPCABCBABCAPBPCPBPAPABCPBPkkkk总

7、结写成111110101100011010001000,ABCCABCBACBABCACBACBACBA15例4 一批产品的废品率为0.1, 每次取一个, 观察后放回去, 下次再取一个, 共重复3次, 求这3次中恰有0,1,2,3次取到废品的概率.解 用事件A,B,C分别表示第1,2,3次取到废品的事件, 则A,B,C相互独立,并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 将A,B,C的所有最小项列出来为ABCCABCBACBABCACBACBACBA,16假设B0,B1,B2,B3为恰抽到0,1,2,3个废品的事件, 则根据所列出的最小项可得)3 , 2 , 1 , 0( ,9 . 01 .

8、0)(1 . 0)()(9 . 01 . 03)()(9 . 01 . 03)()()()()(9 . 0)()()()()(3333222130kCBPABCPBPBCACBACABPBPCBAPCBAPCBAPCBACBACBAPBPCPBPAPCBAPBPkkkk总结写成111110101100011010001000,ABCCABCBACBABCACBACBACBA17例5 在例4中废品率若为p(0p1), 重复地抽取n次, 求有k次取到废品的概率.解: 假设A1,A2,An为第1,2,n次取到废品的事件. 则这n个事件可以组成2n个最小项, 每一个最小项对应于一个n位的二进制数.假设

9、Bk为有k次取到废品的概率. 则),.,2 , 1 , 0()(.1,)1 (,.1,nkqpCBPpqqpppknCBknkknkknkknkknk因此其中均为样都一而且每个最小项的概率的数的个数个有位二进制数中相当于所有个最小项构成由18上面例子的共同特点是在每次试验中某事件A或者发生或者不发生, 假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关, 即在每次试验中A出现的概率都是p(0p1), 这样的一系列重复试验(比如n次), 称为n重贝努里试验.因此, n重贝努里试验共有两个关键参数, 一个是每次试验A发生的概率, 一个是试验次数n.注意A并非n重试验的样本空间的事件, 它只是一次试验中的事件

10、, 而在n重试验中, 它转化为A1,A2,An19定理1.31(贝努里定理) 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p0). 则3个事件不全发生的概率是(A) (1p)3(B) 3(1p)(C) (1p)3+3p(1p)(D) 3p(1p)2+3p(1p) (E) 3p(1p)3解 此题为3重贝努里试验, 设事件B为3个事件不全发生, 则B的逆为3个事件全发生的概率为p3, 因此P(B)=1p3, 而上面的选项(C)为(1p)3+3p(1p)=1p3 满足要求, 因此应选(C)231999年MBA试题 进行一系列独立试验, 每次试验成功的概率为p, 则在成功2次之前已经失败了3次的概率为( )(

11、A) 4p2(1p)3(B) 4p(1p)3(C)10p2(1p)3(D) p2(1p)3(E) (1p)3解 成功2次之前已经失败了3次的事件一定已经进行了5次试验, 第5次是成功的, 且前4次一定还有一次成功. 前4次有一次成功的概率是p4(1)=4p(1p)3, 则再考虑第5次的成功, 成功2次前失败3次的概率为4p2(1p)3因此, 应填选项(A)241987年理工科考研题 设在一次试验中A发生的概率为p, 现进行n次独立试验, 则事件A至少发生一次的概率为_; 而事件A至多发生一次的概率为_.1)1 ()1 () 1 ()0()(,)1 (1)(1)(,)1 ()(,nnnnnnpnppppCPCpBPBPpBPB则为至多发生一次的事件假设概型的概率计算公式由贝努里为至少发生一次的事件假设解251988年理工科考研题 设三次独立试验中, 事件A