小升初 几何专项

1、小升初几何专题 几何（一） 平面图形一、 知识地图 二、 基础知识小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。1、等积变形。等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底高2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：1直线平行于，可知；反之，如果

2、，则可知直线平行于。（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特别地，我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。平行四边形的对角线平分它的面积3共边定理：若和的公共边所在直线与直线交于，则；4共角定理：在和中，若或，则。5过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。 6E为矩形ABCD内部的任意一点，则；当E落在矩形的某条边上时，也成立。特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。2、五大模型。我们把学习中经常

3、遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。 S1S2 =ab ；拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的= 鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解

4、决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ； S的对应份数为（a+b）2梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性质_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A_S1_S2_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A ； S1S2=a2A2 所谓

5、的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：1相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。3相似三角形周长的比等于它们的相似比。4相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。5特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中位线我们有这样一个结论：三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。梯形

6、的中位线长等于它上下底边之和的一半。6那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。c：三边分别对应成比例的三角形相似。注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SEGCBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SFGCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于

7、，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。3、计算过程中连接辅助线的四个原则。几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：1 把四边形或者多边形变为三角形，例如：2 连接等分点，例如：3 构造模型，例如： 4做高线，构造直角三角形三、经典透析【例1】（）如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_。审题要点： 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余

8、的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。详解过程：解：连结AE、BF、CD（如上右图） 由EB=2BC，得SABE=2。同理可得SAED=2SBEF=2SCBF =6。 SCFD =3SACD =3。 所以 SDEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。【例2】（）设，如果三角形的面积为19平方厘米，那么三角形

9、的面积是_平方厘米。审题要点：和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。解：SABC=(+) SABC+19专家点评：这是2004年小学数学奥林匹克A卷的，其实竞赛题不一定都是很难，尤其是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来说，图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，除了，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。【例3】（）四边形的对角线与交于点（如图）所示。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍。审题要点：在本题中四边形ABCD为任意四边形，且

10、出现SABD：SBCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。详解过程：解法一：解法二：专家点评：本题是2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做垂直于H，于，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=CO。【例4】：（）如下图所示，AEEC12，CDDB14，BFFA13，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是_。 审题要点：四边形A

11、FHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。 详解过程：以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。解： 如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。如上图，我们设BFHx，则AFH3x；设AHEy，则CEH2y；于是有ABE4x+y ACF3y+3x有，则9x，所以x；如下图，我们设AEGa，则CEG2a；设CDGb，则BDG4b； 于是有ACD3a+b BCE2a+5b有，则13a，所以a；这样，AFHGABEBFHAEG。专家点评： 求四边形，可

12、由三角形的面积减去三角形的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组分别解得。 解法二：BH：HE=SBFC：SEFC=（）=12 所以SBFH=SABE（）=（）= 同理： AGGD=SABESBDE=（）=58所以，SAGE=SADC（）=（）= AGAD=5（5+8）=513所以，S四边形AFHGSABESBFHSAEG=专家点评： 本题解法二应用的考点比较多，基本解题思路和解法一差不多，都是由SFHG= SABE- SBFH- SAEG得出，而解法二首先应用蝴蝶定理，先求线段BH与HE

13、的比例关系，再利用鸟头定理解出及，最后求出S四边形AFHG。比解法一略显简洁，而且计算上也比较方便。注意考点： 鸟头定理和蝴蝶定理的应用【例5】（）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=FC。求阴影部分面积。审题要点：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根据相似三角形定理 CGCF=CICH=13 又CH=HB CICB=16即BICB=（6-1）6=56SBGE=。专家点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积。【例6】（）ABCD是

14、平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米。审题要点：题目中出现E、F分别为边的中点， 可以考虑应用中位线定理。解：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD。可得 SAED=S平行四边形ABCD 对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，DOED= BD BD=23OEED=（ED-OD）ED=（3-2）3=13所以 SAE0=S平行四边形ABCD=72=6SADO= 2SAEO=12。同理可得SCFM=6，SCDM=12。所以 SABC- SAEO- SCFM=24于是 阴影部分的面积=24+12+12=48专家点评： 这道题是2

15、000年小学数学奥林匹克竞赛A卷中的一道题。连接EF，BD，根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出O，M分别是其所在线段的三等分点，由此求出SAEO及SCFM，最后得出阴影部分的面积。注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。【例7】（）如图，矩形ABCD被分成9个小矩形，其中5个小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为。审题要点：矩形被分割成9个小矩形，马上可以联想到矩形等积变形的两个重要结论。解：矩形PFMD中，矩形OHND的面积等于243=8/3矩形ABCD中，矩形IBLH的面积等于（1+2）（16+4）（8/3）=45/2所以 矩形ABCD的面积=1+2+4+16+（

16、8/3）+（45/2）=289/6专家点评：本题是南京市第三届兴趣杯的原题，难度不大，主要是考察对矩形等积变形两个重要结论之一： “过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。”的应用。先求出矩形OHND的面积，再求出矩形IBLA的面积，而矩形ABCD的面积由矩形OHND和矩形IBLA以及题目中所给的其他4个已知矩形的面积和求得。读者可以自行通过求各边比例方法进行验证，进一步加深对定理的理解。【例8】（）如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD=2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平

17、方厘米。审题要点：阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和，而E、F又是梯形两腰的中点，连接EF，对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。解法一：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，连接EF，则EF=（a+2a）=a；所以 ABEF=a a=23，EFDC=a2a=34；所以h1=h=h；h2=h=h； 阴影部分=SEFM+SEFN=ah+ah=ah即ah=54，ah=140梯形ABCD的面积=（1+2）ah=ah=140=210（平方厘米）专家点评：阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和，根据梯形的面积公式，求出两个三角形的高和底，进一步求出梯形面积，思考方法很简单，但要注意计算的准

18、确性。解法二：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，连接EF，则EF=（a+2a）=a；所以 ABEF=a a=23，EFDC=a2a=34；所以h1=h=h；h1=h=h；所以SEFMSEFN= h1 h1=hh=75根据梯形中的面积关系，得下图。因为9x9y=xy=75且x+y=549=6（平方厘米）所以x=6=3.5（平方厘米），y=6-3.5=2.5（平方厘米）；所以梯形ABCD的面积=3.525+2.549=210（平方厘米）。专家点评：连接EF以后，我们也可以把它看成是两个梯形叠放在在一起，应用模型三梯形蝴蝶定理，可以确定各个小的三角形之中的比例关系，应用比例即可求出梯形A

19、BCD面积。注意：应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算。【例9】（）如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。求阴影面积与空白面积的比。审题要点：题目中阴影部分不规则，但是有边的倍比关系，BE=EC，CF=2FD可以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。解法：连接CG，CH，AC交BD于O，设SBEG=a，根据燕尾定理SBEG=SEGC=SABG=SAGC SDHF=SCFH=SAHD=SACH 又因为SAGC=SACH 所以SBEG=3SDHF SAGO=SCGO=SABG SAOH=SHOC=SAHD所以SABCD=4SABO=4（a+2a）=12a阴影面积：SBEG+ SAG

20、H+ SDFH=a+2.5a+0.5a=4a空白面积：12a-4a=8a 所以阴影面积与空白面积的比4a8a=12另解：设SBEG=a，则SECG=SGCO=SAGO=a, SABG=2a;设SHFD=b,则SHFC=2b,设SHCO=x,则SAHO=SHCO=x=专家点评： 连接CG，CA，CH，构造模型五，应用燕尾定理，分别求出三个阴影三角形面积，再求出平行四边形ABCD的面积，用四边形面积减去三个阴影三角形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。注意：本题考点：燕尾定理的应用。拓展训练： 1、（宁波小学数学竞赛1999），如图所示，已知三角形中，连结、BZ和，三条线段分别

21、交于，。若（面积是1平方米，那么阴影的面积是多少平方米？初级提示： 连接AM2，BM3，CM1。深度点拨： 设、的面积分别为，分别解出，全解过程： 连结，。设、的面积分别为，得 所以有 同理有 AEB=+=+4=+=3+3= 阴影部分面积为 2、如图，四边形的面积是66平方米，求四边形的面积。初级提示：连接DB、AC，构造模型一。深度点拨：找出四边形ABCD与四边形EFGH的面积关系。全解过程： 连接。设， 又， 同理， 连接AC，同理， （平方米）。 3、如图，在梯形ABCD中，ADBE=43，BEEC=23，且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是 平方厘米。初级提

22、示：应用模型一求出三角形ABD的面积深度点拨：求出三角形BCD的面积全解过程： ADBEEC=869， -=-=10，=10，=40。 4、如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 。 初级提示：将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接深度点拨：应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积全解过程：解法一：设任意一个梯形（如图），上底为a，下底为b，则阴影部分的面积可以表示为S1、S2、S3的和，而S3S4=S1S2=（S1+S3）（S2+S4）=ab，同理S1S3

23、=S2S4=ab，所以：S1S2S3S4=a2ababb2，所以阴影部分的面积等于。连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到了，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的，阴影部分的面积为，解法二：取特殊值，使得两个正方形中心相重合，由上右图可知，A、B、C、D均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积是。5、如图所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2、3、4，问四边形ADFE的面积是多少？ 初级提示：连接AF，构造模型一深度点拨：应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形

24、AFD和三角形AFE的面积全解过程：设SAFD=a，SAFE=b 2a=3+b 4b=3（2+a） a= b= S四边形ADFE=a+b= 6、如图，在ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？初级提示：连接CD，构造模型一深度点拨：SDCF=SDCA=2 SFCE=SBCF= SDEC=SDCB=1全解过程： 解法一：SDCF=SDCA=2 SFCE=SBCF= SDEC=SDCB=1 SDEF=SDCF+SFCE+SDEC=解法二：本题还可以用共角定理“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比

25、”。 在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，又；同理可得： 7.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。初级提示：三角形AHB和三角形DHF相似深度点拨：作OE垂直AD，交AF于O全解过程：根据三角形相似的性质 ABDF=AHHF=53又因为E为AD中点OEDF=12所以ABOE=103 AGGO=103所以AG=AO=8.在边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；求四边形ABGD的面积。初级提示：连接EF、BD深度点拨：应用梯形蝴蝶定理全解过程：等腰梯形四部分面积比为1339所以等腰梯形的面积=所以得9、

26、如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。 初级提示： 构造梯形蝴蝶定理。深度点拨：SAMG： SAGB： SMCG： SGCB=1224全解过程： 梯形AMCB中各个三角形面积比 1224 阴影面积占梯形面积（2+2）/（1+2+2+4）= 本题还可有其他解法（如下）解法二：连结、，设与交于，。 又 =x 得，又，所以，。 。解法三：做 则， 连接 又 解法四：与等底等高 作， 设 解法五： =+=+=10：（07年仁华学校试题）已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲S乙=18，a与b是两个正方形的边长，求ab=？ 初级提示：连接EO，AF，应用燕尾定理。深

27、度点拨：做OMAE，ONEF，全解过程：如图，根据燕尾定理：SAOF SAOE=ba （1）， SAOF SFOE=ab （2）所以 SAOE SFOE=a2b2 作OMAE，ONEF， AE=EF， OMON= a2b2 SAOD SHOF=a3b3=18 ab=12几何（二） 曲线图形一、 知识地图二、 基础知识小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。1组合图形的面积在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不规则的变为规则的，把不可求的变为可以求的，把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中

28、，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。在求解组合图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们所熟知的图形。1、 加减法把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。2、 割补法把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。3、 旋转平移法。图形的一部分通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。4、 重叠法要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积

29、，这种方法称为重叠法。5、 比例法把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例法。2图形旋转的问题在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下，我们所能遇到的有以下两种问题：1、求图形一边扫过的面积在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动，首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动，旋转停止后，这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。2、求图形扫过的面积在求图形一边扫过的面积的基础之上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他

30、部分就可以很容易的找到整个图形扫过的部分。3几个特殊问题1、活动范围的问题让我们先来看看下面几个问题：A、假设茫茫的草原上有一个木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊能吃到的草的面积是多大？B、草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？C、羊圈建成了，羊在平时被栓在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊这个时候能吃到的草的面积是多大？你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊所能吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一

31、类问题重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情景，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。2、滚硬币的问题请你一起动手来做一做：把两个一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个延着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己自转了多少周？注意观察，滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。这也是一切硬币滚动类问题的特点。常见的还有齿轮，滑轮等。经典回顾【例1】（）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正

32、方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（取3.14。）审题要点：整个图形由正方形和半圆组成。P为中点，则PD=PC，要 求阴影部分的面积，可以考虑我们前面讲的几种方法。解法一：阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）（三角形+梯形） =（1010+552）-1552+（5+15）52 =51.75专家点评：阴影面积的“加减法”。因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形。解法二： S1=小正方形-圆=55-55上面阴影面积=三角形APE-S1=1552-55+55下面阴影面积=三角形Q

33、PF-S2=1052-（55-55）所以阴影面积=（1552-55+55）+（1052-55+55）=51.75专家点评：面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思路出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2、圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积。解法三： 半叶形S1=圆-小正方形=55-55上面阴影面积=三角形ADP+S1=1052+55-55下面阴影面积=三角形QPC+S2=552+55-55阴影面积=（1052+55-55）+（552+55-55）=51.75专家点评：面积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2. 圆，这样可以考虑把阴影面积切成几

34、个我们会算的规则图形。这道题是迎春杯真题。【例2】（）如图，ABCG是47的长方形，DEFG是210的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ 审题要点：要求两个三角形的面积之差，题目没有给出可以直接求出两个三角形面积的条件，那么我们只能考虑应用差不变原理。解法一： GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=362-32=3。专家点评：加减思想的应用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本题的解题关键。公共部分要与两个三角形都可以构成规则可

35、求的图形才可以。解法二：GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4，DE=2 知道BCDE=CMDM 所以CM=2，MD=1。阴影面积差为：422-122=3专家点评：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM。这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得。另外本题还可以构造如下解法，如图：解法三：连接BD【例3】（）求右图中阴影部分的面积。（取3）审题要点：ABC可以看出为等腰直角三角形。解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可，其中、面积相等

36、。易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边AB的长度未知。单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下右图所示，则、部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10。两个四分之一圆的面积和为150，而、部分的面积和为1/21010=50，所以阴影部分的面积为150-50=100（平方厘米）。解法二：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。专家点评：本题考点 旋转平移法。图形通过旋转，得到阴影部分的面积=半圆的

37、面积-等腰直角三角形的面积。【例4】（）如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，AOB=COD=EOF=90。求阴影部分的面积。审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。解法：设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOI的面积=所以大弓形的面积： SGJI小弓形的面积：SFJE所以，总阴影面积=（138-64.125）3=221.625（平方厘米）专家点评： 本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中等长的弧所对的弦也是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实三个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都可以。基

38、本上还是加减思想的应用。总阴影面积=每块阴影面积3=（大弓形小弓形）3关键在于大弓形中三角形的面积。总结：本题考点 加减法。【例5】（）如图，ABCD是一个长为4，宽为3。对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向 旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（取3）审题要点：要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如右图： 因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米。2、研究AB边的情况。在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧

39、线之间，见右图中阴影部分： 下面来求这部分的面积。观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A,B,C,面积扇形ACA,面积一扇形BCB,面积 ；3、研究AD边扫过的图形。由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积为：专家点评：本题是祖冲之杯竞赛的一道试题。旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的。先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚。最后你会发现，所有数据要么

40、直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有。 我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。【例6】（）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。 审题要点：阴影部分可以看作一个整体，那么大圆由四个阴影部分组成。 解法：把阴影看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形 所以 阴影面积大圆面积=14 设小圆半径为x，则大圆半径为2x 阴影周长=小圆周长+小圆周长+小圆周长+大圆周长 =小圆周长+大圆周长 =2x+22x =x 大圆周长=22x=4x 所以 周长之比=x 4x=78专家点评：应用图形比例关

41、系求解图形，也是整体考虑问题思想的典型代表。【例7】（）如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆弧长的，求阴影部分面积？（=3）审题要点：图中上半部分的三个阴影图形并非真正的扇形，所以不能用扇形面积公式来解，只能应用加减法，把图形分解。那么每个阴影部分面积等于1/3半圆面积减去一大一小两个相似三角形面积。解法：ABO为等边三角形又AMB=120度MAE=30度 BAM=30度 BMA为等腰三角形即根据正三角形性质 得BM=2EMBE=22+11=33（cm）阴影部分面积=3（4040-2033-2011） =3（800-330-110） =3360=1080（

42、平方厘米）专家点评：应用加减法，把图形化为我门常用的图形来解题是这道题的关键所在。另一个难点是如何求出三角形的高，其实M，N，P分别是它们所在正三角形的中心。中心将其所在线段分为两部分的比为12，知道这一性质，便可应用面积公式求出阴影面积。【例8】（）如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（=3）审题要点：首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围为一个菱形+两个半圆，两个半圆即一个整圆。 实际绿

43、化面积=大圆面积-（菱形+小圆面积+2哨所面积）解法：可以看出菱形面积为2倍的哨所面积，菱形面积=242.5=85 实际绿化面积=2020-（85+1010+242.5） =1200-（85+300+85） =1200-470=730（平方米）专家点评：本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范围为两个5/6圆减去其重合部分，即一个菱形+一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解。【例9】（）如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：这枚硬币自身转动了多少圈？审题要点：注意硬币滚动时圆心的轨迹。解法一：当硬币在长方形的一条边之内滚

44、动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180-60-60=60。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120。当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360-60-60-90=150。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300。长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边。1208+3004=2160，所以这枚硬币转动了2160，即自身

45、转动了6圈。解法二：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2即滚动了一周。对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在“角”上的转动，一是在“边”上的滚动。抓住关键方法：圆心轨迹长度2=自身转动圈数。专家点评：此题来源于小学数学ABC。圆运动的轨迹分两种，一种所谓的“跨圆”运动；另一种所谓的“绕圆”运动。掌握“跨圆”运动一次30+60+30=120度；“绕圆”一次180度。角上4次“绕圆”，边上12次“跨圆”，这样结果便一目了然。拓展训练1、如图，四边形是平行四边形，高CH=4cm, 、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影部分面积是多少平方厘米？初级提示： 深度点拨： =104=

46、40() 全解过程： =- =(2-)-(-2) 2、下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；请计算图中两个阴影图形的面积比。初级提示： 左图阴影可用加减法 即正方形面积减去4个边上的三角形面积。深度点拨： 右图阴影面积可先看小正方形里的阴影面积为2个小三角形面积之和，而每个小三角形面积恰好是它所在直角三角形面积的三分之二，只要求出直角三角形面积，阴影面积便不难求出了，直角三角形面积为大正方形面积的十六分之一。全解过程： 左图阴影面积=正方形面积-4个等腰三角形面积 =11-41 =1-= 右图阴影面积=8个小三角形面积 =8（） =8=

47、所以 左：右=：=3：2 3、（2004第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛3），如图，在平行四边形中，已知三角形、的面积分别是73、100，求三角形的面积。初级提示：+=深度点拨：全解过程：4、下图中除大圆外，所有的弧线都是半圆，且，图中有上、下两块阴影区域，如果上面的阴影区域面积为100平方厘米，那么下面的阴影域面积为_平方厘米。初级提示：分析题意本题用割补法。深度点拨：阴影面积可分为四部分，分别求之。全解过程：设AB=1，则AC=3，AD=6，AE=10，DE=4，CE=7，BE=9。 上块阴影面积=（S半圆AE-S半圆AD）+S半圆DE=（1/225-

48、1/29）+1/24=8+2=10 下块阴影面积=（S半圆AC-S半圆AB）+（S半圆BE-S半圆CE） =（1/29/4-1/21/4）+（1/281/4-1/249/4）=+4=5因为上块阴影面积=100 所以下块阴影面积=505 如图，1=15，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分面积？初级提示：连接AO，AB，作BC的垂线AD交BC于D深度点拨：SABC=SABE全解过程： 则ACO=OAC=15ACO=150, AOB=30=1023.14=5所以 阴影部分面积=50-（-25）=（平方厘米）6、五环图由内径为4cm，外径为5 cm的5个圆环组成，其中

49、阴影部分的面积都相等。已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个阴影部分的面积。初级提示：注意重叠部分。深度点拨：五个圆环总面积-五环面积=阴影面积全解过程：5（55-44）=45=141.3141.3-122.5=18.818.85=2.357、（04年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取3）初级提示：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成，即两半圆加扇形环。深度点拨：扇形面积可由半径为4+2、圆心角为90度的大扇形减去半径为4、圆心角为90度的小扇形。全解过程：第一部分是半径为6厘米、中心角为90度的扇形减去半径为4厘米、中心角为90度的扇形，面积为；第二部分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3。所以扫过的面积为15+3=18平方厘米