2014届高三数学总复习 课时提升作业(五十一) 第八章 第五节 椭 圆 文

1、课时提升作业(五十一) 第八章 第五节 椭 圆一、选择题1.(2013·商洛模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于()(A)12(B)22(C)2(D)322.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)x24+y23=1(B)x216+y212=1(C)x24+y2=1(D)x216+y24=13.(2013·马鞍山模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为()(A)32(B)34(C)22(D)234.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段A

2、N的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线5.(2013·宜春模拟)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()(A)22(B)33(C)12(D)136.(能力挑战题)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是()(A)x220+y219=1(B)x29+y28=1(C)x25+y24=1(D)x23+y22=1二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心

3、为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-43,则PF1F2的面积是.9.分别过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.三、解答题10.(2013·南昌模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-3,0)和F2(3,0)的距离之和为4.(1)求曲线C

4、的方程.(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.11.(2013·淮南模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为32.(1)求椭圆C的方程.(2)过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-425,求直线l的方程.12.(2013·九江模拟)已知点P是圆F1:(x+3)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段P

5、F2的中垂线与PF1交于M点.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KHx轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.答案解析1.【解析】选B.由题意得2a=22b,即a=2b.又a2=b2+c2,所以有b=c,a=2c,得离心率e=22.2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2.又e=ca=12,c=1,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的标准方

6、程为x24+y23=1.3.【解析】选A.先将x2+4y2=1化为标准方程x21+y214=1,则a=1,b=12,c=a2-b2=32.离心率e=ca=32.4.【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.5.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,b2a)或(-c,-b2a),因为F1PF2=60°,那么2cb2a=3,2ac=3b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为33.6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P,

7、使得|PF1|+|PF2|最小时的椭圆方程.【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F(-3,2),设点P为直线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF|+|PF2|FF2|=25.取等号时离心率取最大值,此时椭圆方程为x25+y24=1.7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).e=22,ca=22.根据ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22,所以椭圆方程为x216+y28=1.答案:x216+y28=18.【解析】由已知F1(-3,0),F2

8、(3,0),所以直线PF2的方程为y=-43(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=52或x=6519(因为x<3,故舍去),又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16×(52)2+25y2=400,解得y=23,SPF1F2=12|F1F2|·y=12×6×23=63.答案:639.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,

9、又b2=a2-c2,有c2<a2-c2,即2c2<a2,亦即:c2a2<12,0<ca<22.答案:(0,22)10.【解析】(1)根据椭圆的定义,可知曲线C的轨迹为椭圆,其中a=2,c=3,则b=a2-c2=1.所以曲线C的轨迹方程为x24+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),若OA·OB=0,则x1x2+y1y2=0.y1=kx1-2,y2=kx2-2,y1y2=k2x1·x2-2k(x1+x2)+4.(1+k2)x1x2-2k(x1+

10、x2)+4=0.由方程组x24+y2=1,y=kx-2得(1+4k2)x2-16kx+12=0.=162k2-4×12×(1+4k2)>0,k2>34,则x1+x2=16k1+4k2,x1·x2=121+4k2,代入,得(1+k2)·121+4k2-2k·16k1+4k2+4=0.即k2=4,k=2或k=-2,满足式.所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.因为离心率e=ca=32,所以c=3.故b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为:x2

11、4+y2=1.(2)直线l:y=kx+2,由y=kx+2,x2+4y2=4,消去y可得(4k2+1)x2+82kx+4=0,因为直线l与椭圆C相交于P,Q,所以=(82k)2-4(4k2+1)×4>0,解得|k|>12.又x1+x2=-82k4k2+1,x1x2=44k2+1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),因为线段PQ的中点横坐标是-425,所以x0=x1+x22=-42k4k2+1=-425,解得k=1或k=14,因为|k|>12,所以k=1,因此所求直线l:y=x+2.12.【解析】(1)由题意得,F1(-3,0),F2(3,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=23,点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=23,则短半轴b=a2-c2=4-3=1,椭圆方程为:x24+y2=1.(2)设K(x0,y0),则x024+y02=1.|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ=x02+(2y0)2=2,Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),直线AQ的方程为y=2y0x0+2(x+2).令x=2,得D(2,8y0x0+2).又B