人教版九年级数学上册练习：小专题(五)二次函数与几何图形综合

1、小专题(五)二次函数与几何图形综合类型1利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题一点的坐标满足解析以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积.口针对训练口1 .(牡丹江中考)如图，抛物线y = ax2 + 2x+c经过点A(0 , 3), B( 1, 0),请回答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为 D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.2 .(延庆县一模)二次函数y = x2+mx+n的图象经过点 A( 1, 4), B(1 , 0), y =

2、 2x+b经过点B,且与二次函 数y= x2+mx + n交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP，x轴，垂足为点 P,交BD于点M ,求MN的 最大值.(1)求此抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一点 D,使得 DCA的面积最大，求出点 D的坐标.类型2二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决.24.(随州中考改编)如图，已知抛物线 y=1-(x+2)(x4)与x轴父

3、于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴父于点C, M为抛物线的顶点.求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(-2, n),求使MN + BN的值最小时n的值.15 .(广兀中考改编)如图，已知抛物线 y = m(x+2)(x m)(m>0)与x轴相父于点 A, B,与y轴相父于点C,且点A 在点B的左侧.(1)若抛物线过点 G(2, 2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ,使AH + CH最小，并求出点 H的坐标. 1 96 .如图，抛物线 y=2x2+bx + c与x轴父于A、B两点，与y轴父于点C,且OA = 2, OC=3.(1)求抛物线的解析式.

4、(2)点D(2, 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使彳BDP的周长最小，若存在,请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7 .(达州中考)如图，在平面直角坐标系中， 矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ZAOC 的平分线交AB于点D, E为BC的中点，已知 A(0, 4), C(5 , 0),二次函数y =1x2+bx+c的图象抛物线经过 A, C两点.(1)求该二次函数的表达式；(2)F, G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接 D, E, F, G构成四边形 DEFG ,求四边形 DEFG周长的最小值.参考答案c c /一、一 _ _ c=

5、 3?一,i a= - 1 ),，,、，、，1 .(1) .抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0 , 3), B( 1, 0), . J解得，抛物线的解析式为y=0= a 2 + c.c= 3.x2 + 2x + 3.(2)y=x2+2x+3=(x1)2+4, 抛物线的顶点坐标为 (1 , 4).，BE = 2, DE = 4. . . BD =qBE2+DE2 =275.2 .(1)二二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点 A( - 1, 4), B(1 , 0),1 m+ "解得卜 2' .二次函 |0= 1 + m+ n.|n= 3.数的表达式为 y=-x2-2x

6、+ 3.1. .1111112 一(2)y=2x+b 经过点 B,2x 1 + b=0.斛佝 b = 2;.y= x+2.设 M(m , 2m + 2),贝U N(m , -m - 2m + 3), . MN =m22m + 3( 1m+1) = m23m + 5=(m+'3)2 + J49. . MN 的最大值为 49.16a+4b-2=0, |a+ b2=0.2222416163.(1)二该抛物线过点 C(0 ,-2),设该抛物线的解析式为y= ax2+ bx- 2.将A(4,0), B(1 , 0)代入，得a= 2,解得此抛物线的解析式为 y = -1x2+|x-2.b=|.(2

7、)设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为2t2+ |t 2.过D作y轴的平行线交 AC于E.由题意可求得直线.1 11 2 I 11 2 _1,12AC 的解析式为 y=2x2.，E 点的坐标为(t, 2t 2). DE= 2t +2(2t2) = 2t +2t. .Sca="2X(一 + 2t)X4=t2 + 4t=(t 2)2+4.，当 t=2 时， DCA 面积最大.二. D(2 , 1).一 24 .(1)令 y= 0,得看(x + 2)(x 4)= 0,解得 x1= 2, x?= 4;令 x= 0,得 y=一虚. . A( 2, 0)、B(4 , 0

8、)、C(0 ,一小).,连接B' M与l的交点即(2)过点A( -2, 0)作y轴的平行线l,则点B关于l的对称点B' +8, 0),又M(1 ,解得;Mr一孤x b=- . 2.0 = 8k + b,为使MN + BN值最小的点.设直线 B' M的解析式为y=kx + b,则£ 9| -8V2=k+b,m.当 x=- 2 时，n=- 4V21-5 .(1)抛物线过点 G(2, 2)时，一m(2+2)(2m) = 2,解得 m = 4.11(2)m= 4,y=4仅+ 2)(x 4).令 y= 0,一4仅+ 2)(x 4) = 0,解得 xi= - 2, x2=

9、 4.则 A( 2, 0), B(4 , 0). . -2+4.一 ,一 抛物线对称轴为直线l: x=-2=1.令x=0,则y = 2,所以C(0, 2). B点与A点关于对称轴对称，连接BC, BC与直线l的交点便为所求点 H. B(4, 0), C(0, 2), .求得线段BC所在直线为y= 乂+2.当x= 1时，y332， H(1， 2)6.(1)由已知条件得 A(-2, 0), C(0, 3),代入二次函数解析式，得c= 3,.解得£-2-2b+ c= 0.b=2' .抛物线的解析式c= 3.41 2 , 1为y=? +2x+3.(2)连接AD ,交对称轴于点P,则P

10、为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx + t.由已知得* 2k + t" 解得卜5 2k+t=2.|j= i.直线 AD的解析式为 y = gx+1. 对称轴为直线 x =兴=；,将X=；代入y = ；x+1,得y=).，P(!，1). 22a 22242 44 c20+5b+c= 0,b=-,7.(1)将A(0, 4)、C(5, 0)代入二次函数y = -x2+bx + c,得,解得S 5 故二次函数的表达式为5c=4,/、l_c= 4.y=4x2-24x + 4.55(2)延长EC至E',使E' (= EC,延长DA至D',使D' A= DA ,连接D' E'交x轴于F点，交y轴于G点，GD = GD , EF=E' f (DG + GF+EF+ED)最小=D'曰