二阶常系数线性齐次微分方程

1、二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解结构方程解的性质与通解结构二、二阶常系数线性齐次微分二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为) 1 ( )()()(xfyxQyxPy0)(xf)2( 0)()(yxQyxPy称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程(3) 0qypyy为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程)4( )0)( )(xfxfqypyy/

2、为二阶常系数线性非齐次微分方程.定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.)()(2211xyCxyCy一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构证，的解，所以都是方程因为0)()()( 0)()()( )3()(),( 22211121xqyxpyxyxqyxpyxyxyxy的左端，得代入方程将)3()()(2211xyCxyCy，0 )()()( )()()( )()( )()( )()( 22221111221122112211xqyxpyxyCxqyxpyxyCxyCxyCqxyCxyC

3、pxyCxyC.)3()3()()( 2211的解所以它是方程，满足方程即xyCxyCy 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程, 02yyy容易验证： 都是它的解.由定理11.1 知xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.xxxxCCCCCee )2(e2e2121问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足

4、什么条件时，)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解就必定是方程(3)的通解.)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有)0)()( )()(221112xykxykkxyxy或成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.

5、例如，例1中 是线性相关的， 是线性无关的.xxxyxye2)(e)(21与xxxyxxye)(e)(13与定理11.2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则),( )()(212211为任意常数CCxyCxyCy就是方程(3)的通解. 02 e)(e)( 221的解，并写出它的通解都是微分方程与验证yyyxyxyxx，及分别求导，得及对xxxxxxxyxyxyxyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它们分别代入所给方0e2e2e4 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都

6、是原方程的解与故xxxyxy例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解常数，xxxxyxy3212eee)()( ，是线性无关的两个特解与xxxyxy221e)(e)( .,ee 2 .1121221是任意常数其中，得原方程的通解为由定理CCCCyxx二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法)( e为常数ryrx把 代入方程(3)，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为.24 22, 1qppr，是两不相等的实根与24 ,24 , 04 (1)2221

7、212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21与于是都是方程(3)的解，且常数，xrrxrxryy)(121212eee即 线性无关.因此方程(3)的通解为xrxryy21ee21与(6) ).,( ee212121为任意常数CCCCyxrxr2 04)2(21212prrrrqp是两相等实根与时，当于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且xry1e1常数，12yy，设)(e12xuyxr，整理都得代入方程及，将)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr. 0)()2(1211uqprrupru02 0 )5(2

8、 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成为，xrxy1e2取u=x，于是得方程(3)的另一个特解xrxryy21ee21与线性无关，方程(3)的通解为(7) ).,( e )( ee 212121111为任意常数即，CCxCCyxCCyxrxrxr，其中，是一对共轭复根与时，当024 ,2 i ,i 04 )3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy与 ,sinicosei是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21写为，将yyxyyyxyyyxxsinei 21c

9、ose21212211，再由定理11.1可知，函数也是方程(3)的解，且,tancosesine21常数xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为21yy 与求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:0qypyy02qprr两个不相等的实根21rr 特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21) sin cos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的实根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解为，0322 rr 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，满足初值条件求微分方程tttssststs，有两个相同实根21 21 rr例4，特征方程为，原方程化为041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解为，求导，得将上式对2222ee )1