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1、二阶常系数线性非齐次微分方程(1) 高等数学在线开放课程目 录 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程01 二阶常系数线性非齐次微分方程解法二阶常系数线性非齐次微分方程解法02例题例题0301 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式( ) (1)ypyqyf x它所对应的齐次方程为0(2)ypyqy齐次微分方程解法（一）写出微分方程的特征方程特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根12()er xyCC x 12e(cossin)xyCx Cx 12ir ,r（二）求出特征方程的两个根（三）根据根的不同情况，写出微分

2、方程的通解:rp rq;20r ,r ;12r ,r12rrr121212eer xrxyCC02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则)(* xy)()(2211xyCxyCY)(*)()(*2211xyxyCxyCyYy是方程(1)的通解.定 理( )( )xmf xP xe1011( ) mmmmmP xa xa xaxa此时微分方程(1)成为( )( ) (3)xmypyqyf xP xe(1)设 不是特征方程的 根，即 . 设方程(3)的一个特解为 0 2qpxmxQye)(*分三种情形讨

3、论此式：(2)设 是特征方程的单根，即 设方程(3)的一个特解为 02 0 2pqp，xmxxQye)(*(3)设 是特征方程的重根，即 . 设方程(3)的一个特解为 02 0 2pqp，xmxQxye )(2*.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm( )( ) (3)xmypyqyf xP xe03 例题例1 求方程2 4 42xyyyxe的一个特解2440rr特征方程为由于1不是特征根，所以设特解为*2210()xyb xb xbe把它代入所给的方程得 222212109(129 )(269)2b xbb xbbbx2212109212902690bbbbbb比较系数得解得210284,92727bbb 122rr ，特征根是*2284()92727xyxxe故解22xx e例2 求微分方程 2 331yyyx的通解2230rr 特征方程为齐次方程的通解为312xxYCCee由于这里0不是特征根，所以设方程的特解为*10yb xb把它代入方程得1103( 23)31b xbbx 比较系数得11033231bbb解得1011,3b

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