圆锥曲线专题中比例定值问题

1、圆锥曲线专题中比例定值问题在解析几何定值问题中，比例思想一直都是一种比较重要的数学思想方法，本文将通过 几个难度较大的例子来深入讨论探究这一思想，给予读者另一面的思考.另外，比例的对象之问如果确实毫无关系，也可以通过将对象进行条件转换，再进行拆分过程.在比例问题中，我们需要灵活运用题中给予的各种条件和限制，将比例问题最终转换成坐标点的横(纵)坐标 点的比值问题.一、面积相比例1:如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0),过点F的直线交抛物线于 A B两点，点C在抛物线上，使得 MBC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q ,且Q在点F右侧记AFG , ACQG 的面积为 S

2、i,S2 .(1)求p的值及抛物线的标准方程；(2)求息的最小值及此时点G的坐标.S2分析：这是一道2019年浙江的解几真题，本题看似必须求解 出F、G、Q三点坐标，但经过思考后会隐隐觉得重心是其中的突 破点，而重心的两个知识点是：将 ABC的面积三等分；G(x1 +X2+X3,yi+y2+y3) 33 . .FGl注意性质可有Sgb=S&gc又FG|,GQ为这两个三角形的底，所以G转化为AAGB与MGC的高之比.由此可以绕过看似必求又很难求的三个点， 大大简化运算.充分反映了命题的 方向“多考一点想，少考一点算”，完美体现了直观想象的数学素养.解：(1) y2=4x ; (2)设 A

3、(Xa"a) ， B(XbNb) , C(Xc,y。)由 G 为重心知 S&gb = S&gcS.A F G . S；： B F G S；： A g' QS. 小A -yB) GFG Q( Ay -cyFG _ yA ycGQ| va -yB设 1AB ： x =my+1 代入 y2 =4x得 y2 -4my -4 =0 yA + yB = 4m , yA , yB = -4Va -Vb =4而2 +1 , Va =2jm2 +1 +2m 由 Vg = 0 知 Va + Vb + Vc =0 yc =-4mS.Afg_ _ Va Va 7c _ 2( m2 1

4、 m) (22 m2=1=6m)S.Cgq-yc Va - Vb4m4 . m2 1(Jm2 +1 + 3m)(Jm 2+1 + m) m 4 1 + 4m Jm 孕 1 + 3m4m m2 14m、m2 1二五Z.13-m= 1 122”学4m243一 2 一一8m2 24 2 八=2334m 4 . m2 12当且仅当 m2+1 =3m2时即m = ±工时取.2二、线段比问题大部分的线段比的题目都可以用直参来完成，但也有部分题目用横纵的坐标比更加简单 简捷.22例2:设椭圆C:1+冬=1(abA0)过点M(后1).且左焦点为F1 (-72,0) a b(1)求椭圆C的方程；(2)

5、当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q.满足ap| ,QbI =|Aq| ,IpbI，证明：点Q总在某定直线上.分析：这是08年安徽最后一道题目，直参运算量 大，费时费力，但用横纵坐标之比将其转换为韦达定 理来解决简单快捷.分析：(1)略(2)设1丫 kx( T 什/ 4k 1Q(x, y ), A(xA,yA ),B(xB,yB )不妨假设点a在点B的右侧.x2 °k2x22k(4k1)x+(4k-1)2 / Z1 k2x 2 -(4k-1)2 / 八=1(+)x -k(4k -1)x+ -1 1 = 042, '42，'，1

6、2 一(4k -1)2 1_ _ _Xa +Xb=k(4k),Xa% =2. 由"AP QBBP及三角形相似可知,1k1kI,r-， 4242其横坐标之差也对应满足已知式.(Xp -Xb)(Xa -x) =(Xp -Xa)(Xa Xb)(4 -Xb)(Xa - x) = (4 -Xa)(X -Xb)k(4k -1) °(4k -1)-2 k(4k -1)-二 4(xA +xB) -8x -2xaxb +x(xa +xb) =0 4xx- -8x -2- +2 x = 01k21k2k21T T r-424224,2x 3k 二4fx4k - 3 14k(4k-1)-4k(4

7、k-1)+4k-1-2+k(4k-1)-2-4k2x=0 x = -2x 3代入 l 方程中得 y =(x-4)+1 = -(2x+3)+1 = 2x+24 -x点评：直接用弦长公式AB = J1 + k2X1-X2求各线段长亦可以.2例3.已知椭圆C:与十 a=1(a >b>0)的离心率为1 ,且椭圆C上的点到其焦点的距离的最 b2小值为1.(1)求a,b的值;(2)过点P(3,0)作直线l交C于A, B两点,求MOB面积S的最大值;设Q为线段AB上的点，且满足APPBAQQB证明：点Q的横坐标为定值.分析：(1)略(2) SgB =S3p-S OBP -222设 1AB : x

8、 = my + 3 代入+ =143一4 22 一3(my 3) 4y =123 (m2 y2 6m y 9 ) 4y = 1 23m2 y2 4y2 18my 15 = 0(3m2 4)y2 18my 15=0 二(18m)2 -4 15(3m2 4) 018my1y2=一中，y1 y2153m2 4218m 2“(15 43m2 4y1 一 y =-24 -9m2 -15,3m 4令 f (x)23x 4.=2239x 一15 三3设 “。乂)B(x2,y2)AP 3-x1 AQ x0 -x1PB -3-x2 - QB - x2 -x0(3 -玉收-x°) =(3 -X2)(x0

9、 -为)X2(3 -x1)x0(3 -x2)x0= (3 - x1)x2(3 -x2) x1= 3x2一 x1x23x1-x1(6 - (x° , X2) x0 = 3( x1 , X2 )-2 x .X?4.3(x1 x2) -2x1 x2 x0 =6 -(为 x2)3k2 -1o2k23 r -21 k-十一-1 k2.6 () - 2k431 k2_ + 436k2 _6k2 2 _ 2 _ 4322 ="3 = 3-2k2 -2k2 -322点评：求题（2）利用横纵比，（2）利用角色转换，可节省大量计算时间例4.已知椭圆xr+=1（a>bA0）的离心率为 ,F

10、1,F2是椭圆的左、右焦点，设椭圆短轴 a b2的一个顶点为A,且AAF1F2的面积为6.（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F1作斜率为k的直线，设l于椭圆交于P、Q两点，与y轴交于点R,且PF1 =|QR,求 k2 的值.2解：(1) ;y2 =1 (2)设 l : y = k (x + y/3),由 |PF1 = QR 知 PR = QF1又 RtAPRA, RtAQBP ,/FQD =NPRA /. RtAPRA - RUQBF . . AR =|QBy =k(x .3)x2_4 v2 一+k2(x2 +2瓜+3) -1=0士+ y2=14.4£ k2)x223k2x2 3k2

11、一1一°2、3k2X1 x2 = - 1k243k2 -1x1 x2 =-1 k24199 . ： =12k4 -4 (k2)(3k2-1) 04x1 -x221212k4(3k2 7)(4 k2) 412 212(1k2)2(1k2)441 k214由AR = QB知Xi2412k 1 =3 (k k 2±X1 =X2 + B . X1 +X2 +73 = 02k2 =J +k2441 2133k k ( )”216k2例5:如图，AABC的三个顶点A, B, C在抛物线E合，直线AB的斜率为k (k =0 ,(1)若直线BC与y轴相交于点(2)若点Q为抛物线E的焦点,k

12、24y上,1且k #±-),且与x轴相父于点 21 o 13r - 4:3：- 416 _2 3-P,M (0, 2),直线AC与y轴相交于点是否存在直线AB,11使得，+PAPB线AB的方程；若不存在，请说明理由.AQ|xa|BQ2x -4 kx-8(2)Q(0,1)1 AQAPXaXB-2'=0 ,x - 4k1PAIab： y = kx 2,Iac ：y =kx-1x+ 4 = 0 Xb Xc =心，Xa Xc分别代入PQBQAp| AQ=6, BQxp - xa Xp - Xaxa. 1二4,-Xb-XbXaXbXP 一 XAXP 一 XBIab ： y =kx 1AP + AQAP.AQ APXaXp -Xa-.而26A, B, C都不与原点重与y轴相交于点Q.N(0,-1),求四的值;BQPQ陪存在，求出直2x = 4y|ap|+|aqAP + AQ + BQAP|AQ I+ 1BQ|BQ11二 4旦1-XbXaXp -XaXbXb Xp 一 XaXb2XP - XP ( XAXB ) XA XB12,XP =, x -4kx -4=0k,，1、八，、4k (-1)-2 (-4).4 811-42 4k - 42 4 - 4k2kk20 k2N=6 产、(Xa Xb)Xp -2Xa Xb,-二 4XP -XP(XA XB ) XA