向量组的线性相关与线性无关

1、向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a“a2,占亡Rn , kk?,«乏R ,称吊 +k a + Kat为aa?,，at的一 个线性组合。k【备注1】按分块矩阵的运算规则，Kc+k2a2 +ktat =(682,at) /。这*样的表示是有好处的。2. 线性表示设aa?,aRn， b Rn，如果存在K,k2,kR，使得则称b可由6旦，,4线性表示。kk2b二匕玄！卄2玄2 +，写成矩阵形式，即b = (ah,a2,aj * 。因此，b可:kJk2由ai,a2, "；at线性表示即线性方程组(ai,a2,a() *=b有解，而该方程组有解*当且仅当 r(ai,a2,at

2、) =r(ai, a?, ,a.b)。3. 向量组等价设ai, a2,at,bi,6,bs Rn，如果ai,a2, ； a中每一个向量都可以由bib, ,bs线性表示，则称向量组ai,a2,at可以由向量组bb?, ,b$线性表示。如果向量组ai,a?,at和向量组bb?,bs可以相互线性表示，则称这两个向 量组是等价的。向量组等价的性质：(i) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I

3、为aj, a2,ar，向量组II为d, b2, ,bs，向量组III为s c2, ,ct。t向量组II可由III线性表示，假设bjyqCk，j =12,s。向量组I可由向k 二s量组II线性表示，假设a：八Xjibj，i =12,r。因此，j4sstt sa = " xji bj = x Xji .二.ykjc = x (二.ykjxji )ck ， i =,rj 4j 4 k Ak j 4因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次， 同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4.

4、 线性相关与线性无关设务忌，,aRn，如果存在不全为零的数 匕出，,kR，使得则称aj,a2,at线性相关，否则，称aa?, ； a线性无关。按照线性表示的矩阵记法，aj, a2,6线性相关即齐次线性方程组有非零解，当且仅当，a2,at) ： t。aa?,a线性无关，即只有零解，当且仅当r(aj, a：,at) =t。特别的，若t = n，则玄皑，,a* Rn线性无关当且仅当口印忌 何)=n，当且仅当(aj, a2, a*)可逆，当且仅当 佝?,卫*)式0。例1.单独一个向量a，Rn线性相关即a=0，线性无关即a = 0。因为，若a线性 相关，贝U存在数k = 0，使得ka = 0，于是a =

5、 0。而若a=0，由于1，a二a=0，1 = 0 因此，a线性相关。例2.两个向量ab Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数kih，使得kiak2b = 0。匕匕不全为零，不妨假设=0，则a二-电b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨ki假设存在，使得a二 b，则a - b = 0 ,于是a, b线性相关。1、例3.0J1,|0线性无关，且任意x= x2e R3都可以由其线性表示，且表示1°丿1°丿X3丿方法唯一。事实上，5. 线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设a

6、g,aRn，其中有一个为零，不妨假设a0，则因此，ai, a2,at线性相关。(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2,at2,， Rn，印畑 ,at线性相关。存在不全为零的数ki,k2,k，使得这样，ki,k2,kt不全为零，因此，da,印，：i, j,厂s线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素， 所得到的 新向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2,aRn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量

7、fa'fa、(a 最后一个分量之后，成为1 , 2，,bt是同维的列向量。令幽丿卫丿 3丿则k1a1 k2a 亠ktat =0。由向量组a1, a2,at线性相关，可以得到ki = k?=k =0。结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设ai, a?,aRn为一组向量。必要性 若ai,a2,at线性相关，则存在一组不全为零的数 心匕，k，使得 ki,k2,k不全为零，设kj = 0,则充分性 若ai,a2,印中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设 a j 可以表示成ai,aj, a1,a(的线性组合，则存在一组数ki,kj,kj .仆

8、,kt， 使得也就是但&,kj，-1,kj 1,不全为零，因此，da,at线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。 若ai,a2, g Rn线性无关，b Rn，使得印总，a,b线性相关，则b可由ai,a2,at线性表示，且表示方法唯一。证明：ai,a2, ,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数 K,k2,KK彳，使得kt 1=0，否贝U kt 1 =0，贝U心耳-亠 亠Kat =0。由印,玄2,at线性无关，我们 就得到佥=%二二=0，这样，ki, k2,kt,kt .1均为零，与其不全为零矛盾！ 这样，因此，b可由a“

9、a2,，a线性表示。假设 b = x-ia-i ' x2a2xt = %印'y2a2ytat，贝U由da,at线性无关，有 为一 = x? - y?=人-= 0 ,即卩因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组 兀,at线 性表示，则表示法唯一。事实上，向量 b可由线性无关向量组 知,at线性表示， 即线性方程组 佝，,at)x = b有解。而q,at线性无关，即 g, ,at)=t。因此， 若有解，当然解唯一，即表示法唯一。(6)若线性无关向量组aa?,，at可由向量组Db, ,bs线性表示，则t_s。 证明：假设结论不成立，于是t s。

10、a1,a2 ,at可由d,b2,bs线性表示。假设% 'X?i印=为上 +X2® + +Xsibs = (0,b2,bs)*，*f<Xs1 丿X?2a? =Xi20十 +Xs2bs =54, ,bs) * ，*1兀2 .丿q =衲 X22展也mb, ©)XitX2t任取ki,k2,kt，则X12IIIxj由于X21*X22rfIIIX2tF+*+<XsiXs2HI Xst 丿为一个s t阶矩阵，而t s，因此，方程组%、必有非零解，设为 / ，于是+k2a2十十ktat = 0。因此，存在一组不全为*古零的数佥匕，,kt，使得k£i “2玄2爲

11、爲«印=0。因此，向量组玄勺忌，理 线性相关，这与向量组a1,a2, ,at线性无关矛盾！因此，t_s。 若两线性无关向量组ai, a2,at和b),b2, ,bs可以相互线性表示，则t = s。证明：由性质，t乞S，szt，因此，s=t。【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设ai,a2, ；at Rn， P为n阶可逆矩阵，则ag,at线性无关当且仅当Pai,Pa2,Pat线性无关。b可由印畑 ,at线性表示，当且仅当Pb可由Pai,Pa2, , Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明：由于P可逆，因此如此，结论得证！6. 极大线性无关组定义1设ai,

12、a2,at w Rn，如果存在部分向量组玄就，,a，使得ail, ai2, air线性无关；ai,a2,at中每一个向量都可以由 久耳?，,a线性表示；则称ai1, a2, ,air为aia?,色的极大线性无关组。【备注5】 设ai,a2,印 Rn，玄“旦，,ar为其极大线性无关组。按照定义，ai, a2,at可由引赳,air线性表示。但另一方面， a,电，,a也显然可以由ai, a2,at线性表示。因此，ai,a2, , a与a.,ai2,air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个， 但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之

13、间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质（7），向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的 秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组务?，,印线性无关，充分必要条件即其秩为t。 定义2设印,玄2,4乏Rn，如果其中有r个线性无关的向量aj2,a-，但没有 更多的线性无关向量，则称ah, ai2, ,air为a1,a2 -,at的极大线性无关组，而r为 a1, a2, , at 的秩。【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组

14、的意义。 一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果 a2,，现线性无关，且ai,a2,at中每一个向量都可以由 科，ai2,a线性表示，那么，ai,a2, ,a就没 有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为 d,b2,bs，s r。bi,d，,bs当然 可以由ah,ai2,ar线性表示，且还线性无关，按照性质（6），s兰r，这与假设矛 盾！另一方面，假设 引佝2,a#为ag,at中r个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取 印赴，,at中一个向量，记为b，则屯，軌，,ab线性相 关

15、。按照性质 ，b可有ai, ai2,a线性表示（且表示方法唯一）。【备注9】设向量组a,a2,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。 反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是 ai,a2,印的一个极大线 性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩证明：设A = (aij)ERm：xn , r(A)=r。将其按列分块为A =佝,a?,aj。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,为PA的极

16、大线性无关组，其个数为r，因此,ai,a2,线性无关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩 等于A的秩。将A按行分块，A=:，则AT =心4,5)，因此，按照前面的结论，A jbm丿的行秩为AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7. 扩充定理定理2设ai,a2,ar Rn，秩为r，玄兀，,ajk为其中的k个线性无关的向量，k乞r，则能在其中加入印?，,d中的(r-k)个向量，使新向量组为忌，,at的极大线性无关组。证明：如果k二r，则aai2,aik已经是知玄?，,at的一个极大线性无关组，

17、无须再 添加向量。如果k : r，则aai2,aik不是印旦，,at的一个极大线性无关组，于是， ai,a2,at必有元素不能由其线性表示，设为aik d，由性质，向量组 ai1 , ai2 ,aik , aik t 线性无关。如果k 仁r，则aii,ai2 -,aik,aikt已经是印旦，,印的一个极大线性无关组， 无须再添加向量。如果k+1vr，则a»,a2，a不是ai,a2,at的一个极大线性无关组，于 是，ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 ak 2，由性质，向量组 ai1, ai2,aik, aik 1, aik 2 线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得

18、到r个线性无关的向量为止。【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8. 求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a1,a2- ar Rn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。(1) 将a1, a2,d合在一起写成一个矩阵A =佝忌，aj ；(2) 将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为bnb12IIIbl,r4tIIIgn “0+b22III4b2r卜b2,r +IIIb2,nIAt+00+III卜brrbr,r 十IIIfbr,n=B， m 式0,i =1,2, ',r， r = r(A)0+0II