高等数学讲义(基础班)

1、第一章 求极限极限的定义： （唯一性、局部保号性、局部有界性）若，则有f(x)>0。极限存在的充要条件：求极限的方法1. 四则运算 若，则(1).(2). (3).若，则 若，不存在，则一定不存在，不一定存在。例：若存在，则，都存在或者都不存在。若，则一定存在。2. 函数的连续性f(x)在是处连续的。初等函数在其定义域内都是连续的。2 / 15两个重要的极限：， （证明过程）3. 洛必达、泰勒公式 （求未定式 ）以上指数形式用对数转化，即=若不存在，也不是，则一定不存在。设f(x)在有定义且在出有n阶导数，则，有 n阶具有皮亚诺余项的泰勒公式特别是x=0时，f(x)为n阶具有皮亚诺余项的

2、麦克劳林公式。此时f(x)多为n阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至3阶。4. 用等价无穷小替换等价无穷小概念：若，则f(x)为无穷小。无穷小的比较：高阶、低阶、等阶、同阶不存在且不是无穷大也不是无穷小，因为、x不能比较无穷小的性质：(1).则(2).，则若，则有整体因式相乘除时可以用等价无穷小替换，局部因式相加减或乘除时，不能替换。常用的等价无穷小：5. 夹逼定理 （数列、函数）若，满足，则有若f(x),g(x),h(x)在满足，,则。6. 利用定积分的某些数列和的极限f(x)在Ca，b上连续或f(x)在Ca，b上有有限个第一类间断点或f(x)在Ca，b上单调，则必存在，且若a=0，b=

3、1，则7. 用导数的定义求极限8. 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。若收敛，则。二、间断点类型1.f(x)在内无定义2. f(x)在有定义,但不存在 3. f(x)在有定义,且存在，但存在，则为第一类间断点（可信间断点、跳跃间断点）；否则为第二类间断点（无穷间断点、震荡间断点）。第二章 导数1. 导数的概念：舍f(x)在有定义，若存在，则f(x)在x处可导记作几何意义：切线方程 法线方程可微：若f(x)在U()有定义，若；若，则f(x)在x=出可微分，记作，即可导必可微，可微必可导。微分的含义：表示曲线f(x)过，点切线纵坐标的增量，且2. 运算(1).基本初等函数的求导公式(2).导数的

4、四则运算(3).复合函数的求导法则若对u可导，对x可导，则对x可导，且(4).隐函数的求导 (5).参数方程的求导 设(6).反函数的求导 （(7).变上限积分函数的求导公式（定理）变上限积分函数的求导：设f(x)在a，b上连续，则变下限积分函数的求导：设f(x)在a，b上连续，则3. 定理的证明：高等数学（上） 掌握全部给出证明过程的定理的证明。(1).罗尔中值定理(2).拉格朗日中值定理(3).柯西中值定理(4).具有拉格朗日余项的型的n阶泰勒中值定理设f(x)在有（n+1）阶导数，则，有 其中特别当时，具有拉格朗日余项的麦克劳林式数学（一）中最多展开至2阶（余项为3阶），常用的是展开至1

5、阶（余项为2阶），且展开点多为4. 应用驻点、拐点、极值点、最值点（了解与上述点的关系）使的点为驻点。拐点：设f(x)在连续，若f(x)在的两侧凹凸性改变则为拐点。极值点具有局部性，即局部极大值或局部极小值。可导函数的极值点一定是驻点（极值点可取在不连续处）设f(x)存在2阶导数，则拐点处的，拐点可以存在在的点渐近线：若或，则是f(x)的一条铅直渐近线，或者,则都是水平渐近线。若，且。若若，且。那么都是其斜渐近线。当x的相同变化（）时，发f(x)的水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。莱布尼茨公式复杂函数的驻点、拐点、极值点的确定，可以通过计算取得，也可通过观察取特值，如0，1.第三章1.原函数的

6、概念：已知f(x),都有的一个原函数。存在原函数的函数的特点：连续函数一定存在原函数f(x)的原函数有无穷多个任意两个原函数只相差一个常数f(x)的原函数可以表示为F(x)+C2.不定积分 f(x)的全体原函数都被称作f(x)的不定积分，记作（）不定积分的性质：+c3.定积分设f(x)在a，b上有界，在a，b间插入n-1个点将a，b分成n段其中最大的长度，若有存在，则(1).定积分的几何含义：(2).积分不等式 a. b. c. 估值定理(3).定积分的中值定理(4).设f(x)在-a，a上连续则有a.b.设f(x)是以T为周期的连续函数，则c.3.反常积分a.被积函数无界b.无上限c.中间点无界d.无下界4.运算a.牛顿-莱布尼茨公式b.分部积分c.换元积分（换元积分必须注意积分区间的转换）5.理论a.定积分中值定理b.变上下限积分函数的求导定理c莱