高等数学龙文教育

1、高等数学讲义 第一章 函数 极限 连续§函数1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合。集合具有确定性和互异性。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：aA，否则就说a不属于A，记作：aA。 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R集合的表示方法列举法和描述法集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包

2、含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作AB。、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。即A A、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集

3、合的基本运算、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作AB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即ABx|xA，或xB。、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作AB。即ABx|xA，且xB。、补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。即CUAx|xU，且x A。区间与邻域区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区

4、间在数轴上的表示闭区间axba，b开区间axb（a，b）半开区间axb或axb（a，b或a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：此时引入+即正无穷大，-即负无穷大(-，+)：表示全体实数，也可记为：-x+(-，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-xb；a，+)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：ax+；、邻域：设与是两个实数，且0.满足不等式x-的实数x的全体称为点的邻域，点称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。函数 （先引入映射）、函数的定义：1.引例（半径的例子）对于每一个xD，按照对应法则f，总有唯一的确定的y与之相对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记为f（

5、x）。注意：1，函数是由对应法则，定义域确定的。当判断两个函数是否相等时，只需要判断对应法则和定义域。 例子：是否是相同的函数； 2，函数的值域是由定义域和对应法则确定的。2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如是一个分段函数，它有两个分段点，x1和x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。3.隐函数形如y=f(x)有函数称为

6、显函数，由方程F（x，y）=0确定的yy(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。4.反函数如果y=f(x)可以解出是一个函数（单值），则称它为f(x)的反函数，记以。有时也用表示。二、基本初等函数1.常值函数yC（常数）2.幂函数 （常数）3.指数函数 （a0，a1常数）（e2.7182，无理数）4.对数函数 （a0，a1常数）常用对数 自然对数 5.三角函数 6.反三角函数 基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。7.复合函数设定义域U定义域X，值域U*如果，则是定义在X上的一个复合函数，其中u称为中间变量。3、函数的简单

7、性质、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有f(x)M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，有 ，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇

8、函数的图形关于原点对称。、函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。重点一：定义域的求解一：常规题型(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合 （3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）y=x0 （6）一些初等函数的定义域，例如对数函数的真数为正，底数大于0不等于1例1；例2：例

9、3：求函数的定义域 求函数的定义域。 求的定义域。二，复合函数求定义域的几种题型题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围课堂练习：5.函数的图形对称于（ ）.A: ox轴；B: 直线y=x；C: 坐标原点; D: oy轴6.函数是（ ）.A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数.7.函数是（ ）.A: 偶函数； B: 奇函数； C: 单调函数； D: 有界函数8.下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）.A: ;B: ;C: D: ;（难点的题）设的定义域为（）求的定义域课下练习：§1.2极限1.数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数(不论其

10、多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。数列的有界性：对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。定理：若数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列  1，-1，1，-1，(-1)n+1，  是有界的，但它是发散的。2. 函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取

11、1内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，若对于任意给定的正数(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式 的一切x，所对应的函数值都满足不等式               

12、                   那末常数A就叫做函数当x时的极限，记作：b):自变量趋向有限值时函数的极限。常见的作为结论的极限 3.函数极限基本性质定理1（极限的惟一性）设，則。定理2（极限的不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后，有（注：当情形也称为极限的保号性）定理3（极限的局部有界性）设，则当变化一定以后，有界的。定理4设，则（1）（2）（3）（4）（5）例：求解答：例：求此题如果

13、像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。解答：注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。4. 函数极限的存在准则定义：如果x仅从左侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：注：只有当xx0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在xx0时有极限二、无穷小量1.无穷小量定义：若，则

14、称为无穷小量（注：无穷小量与的变化过程有关，当时为无穷小量，而或其他时，不是无穷小量）2.无穷大量定义：任給，当变化一定以后，总有，则称为无穷大量，记。3.无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大量，则为无穷小量，若为无穷小量且，则为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系 其中5.两个无穷小量的比较设，且(1)，称是比高阶的无穷小量，记以称是比低阶的无穷小量，(2) ，称与是同阶无穷小量。(3)，称与是等价无穷小量，记以6.常见的等价无穷小量 当时（为实常数）。7.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则2. 两个

15、准则准则1 单调有界数列极限一定存在。（1）若（为正整数），又（为正整数）则存在且（2）若（为正整数），又（为正整数）则存在且准则2 （夹逼定理）设若，则3.两个重要公式公式1 公式2 ；例：求解答：令，则x=-2t，因为x，故t，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x时，若用t代换1/x，则t0.4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换专升本考试常用的等价无穷小 当时sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx ，例：1.求例： 2.求 5.用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时（为实常数）6.洛必达法则法则1设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或

16、）则 （或）法则2设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）7.利用导数定义求极限基本公式：8.利用定积分定义求极限基本公式： 9.其他综合方法10.求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限【例1】设，求【例2】设，求.解特例：（1）求解例2中取，可知原式（2）【例3】求.【例4】设l是正整数，求.【例7】求下列各极限（1）（多种解法 有理化，等价，罗比达）二、用两个重要公式【例1】求。【例2】求下列极限（1）（2）【例3】求下列极限（1）（2）四、用定积分定义求数列的极限【例1】求.解五、用洛必达法则求极限1.“”型和“”型.【例1】求.【例2】

17、求.解若直接用“”型洛必达法则1，则得（不好办了，分母x的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令，于是(“”型)2. “-”型和“0·”型.【例1】求.六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换【例2】求.【例3】求.七、用泰勒公式求极限【例1】求.八、用导数定义求极限【例1】设，求.九、求分段函数的极限【例1】求下列函数在分段点处的极限【例2】求.十、求极限的反问题【例1】设，求a和b.§1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1.函数在点处连续定义1设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量（初值为）趋近于0时，相应的函数改变量也趋近

18、于0，即或则称函数在点处连续。函数在点处连续也可作如下定义。定义2设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数在点处连续，此时有定义3设函数，如果，则函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。2.函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1.函数的间断点的定义如果函数在点不连续，则称为的间断点。2.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点

19、设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的连续性1在区间连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用