第一章 线性空间及线性变换

1、第一章第一章线性空间和线性变换线性空间和线性变换1.1 线性空间线性空间集合集合v集合集合: 作为整体看的一堆东西元素元素 子集子集 集合相等集合相等 运算运算交交 并并和和 Sa21SS 122121SSSSSS且21SS 21SS ,|2121SySxyxSS数域数域v数域数域: 如果一个数集中任意两个数的和、差、积、如果一个数集中任意两个数的和、差、积、商商(除数不为除数不为0)仍在该数集中仍在该数集中v常用数域有：有理数域、实数域、复数域常用数域有：有理数域、实数域、复数域v奇数集和偶数集不能形成数域奇数集和偶数集不能形成数域映射映射v映射：集合映射：集合S到集合到集合S的一个映射是指

2、一个法则的一个映射是指一个法则(规则规则)f: S S，对，对S中任何元素中任何元素a，都有，都有S中的元素中的元素a与之对应，记为：与之对应，记为： f(a)= a或或 a a。一般称。一般称a为为a的象，的象， a为为a的原象。的原象。v若若S = S，则称映射为变换。，则称映射为变换。v映射的相等：设有两个映射映射的相等：设有两个映射f : S S和和 g: S S，若对任，若对任何元素何元素aS都有都有 f(a)=g(a)则称则称f与与g相等。相等。映射的例子映射的例子v例子例子1：设集合：设集合S是数域是数域F上所有方阵的集合，则上所有方阵的集合，则 f(A)=det(A) 为为S到

3、到F的映射的映射。v例例2：设：设S为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运的多项式构成的集合，则求导运算：算：(f(t)=f(t) 为为S到到S的变换。的变换。映射的乘积映射的乘积v映射的乘积映射的乘积(复合复合)：若：若 f : S1 S2 和和 g: S 2 S3，则，则映射的乘积映射的乘积 gf 定义为：定义为： g f(a)=g(f(a)。v在不至混淆的情况下，简记在不至混淆的情况下，简记g f为为gf v映射的乘积满足结合律映射的乘积满足结合律, ,即即( (fg) )h= =f( (gh) )v映射的乘积不满足交换律映射的乘积不满足交换律, ,一般而言一般而言fgg

4、f线性空间的定义线性空间的定义v定义：设定义：设 V 是一个非空的集合，是一个非空的集合，K 是一个数域，在集合是一个数域，在集合 V 中定义两种封闭的代数运算中定义两种封闭的代数运算, 一种是加法运算，用一种是加法运算，用 + 来表示，来表示，另一种是数乘运算另一种是数乘运算, 用用 来表示来表示, 并且这两种运算满足下列八并且这两种运算满足下列八条运算律：条运算律：（1）加法交换律：）加法交换律：+= + （2）加法结合律：）加法结合律： (+)+= +(+)（3）零元素：）零元素：在在 V 中存在一个元素中存在一个元素0，使得对于任意的，使得对于任意的V 都都有有 +0 =（4）负元素）

5、负元素: 对于对于V中的任意元素中的任意元素都存在一个元素都存在一个元素 使得使得：+= 0线性空间的定义（续）线性空间的定义（续）（5）数）数1：对：对V，有：，有： 1= （6）结合律）结合律: 对对k,lK, V 有：有：(kl) = k (l )（7）分配律）分配律: 对对k,lK, V 有：有：(k+l) = k +l （8）数因子分配律）数因子分配律: 对对kK, , V 有：有：k (+)= k +k 称这样的集合称这样的集合 V 为数域为数域 K 上的线性空间。上的线性空间。v定理：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。定理：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。线性空间的

6、例子线性空间的例子例例1：全体实函数集合：全体实函数集合 RR构成实数域构成实数域 R上的线性空间。上的线性空间。例例2：复数域：复数域 C上的全体上的全体 mn 阶矩阵构成的集合阶矩阵构成的集合Cmn 为为 C 上上的线性空间。的线性空间。例例3：实数域：实数域 R 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 n 的多项式集合的多项式集合 Pn 构成实数域构成实数域 R上的线性空间。上的线性空间。例例4：全体正的实数：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意域上的线性空间：对任意 kR, a,bR+ kaakabba数乘运算

7、：加法运算： 例例5：R表示实数域表示实数域 R 上的全体无限序列组成的集上的全体无限序列组成的集合。即合。即线性空间的例子（续）线性空间的例子（续）, 3 , 2 , 1,| ,321iRaaaaRi则则 R 为实数域为实数域 R上的一个线性空间。上的一个线性空间。123123112233123123 , , ,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka 在在R中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 R上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是： 使得对于

8、使得对于 都有都有0,0,N ,m nNmnaaR线性空间的例子（续）线性空间的例子（续）例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合构成子集合构成 R上的线性空间。上的线性空间。 Hilbert条件是：级数条件是：级数 收敛收敛R21nna线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质u 基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。向量组的极大线性无关组；向量组的秩。v基本性质：基本性质： (1) 含有零向量的向量组一定线性相关；含有零向量的向量组一定线

9、性相关；(2) 整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；(3) 如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；(4) 向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；(5) 如果向量组（如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表出，那么向）线性表出，那么向量组（量组（I）的秩小于等于向量组（）的秩小于等于向量组（II）的秩；）的秩；例例1 实数域实数域

10、 R上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同为一组互不相同的实数。的实数。例例2 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同为一组互不相同的正整数。的正整数。例例3 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是线性相关的。是线性相关的。12,nxxxeee12,n 12,nxxx12,n 21,cos,cos2xx线性空间的基底与维数线性空间的基底与维数v 定义：定义：设设 V 为数域为数域

11、K上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 V 中存在中存在 n 个线性无关的向量个线性无关的向量 ，使得，使得 V 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性线性表出表出: 则称则称 为为 V 的一个基或基底；的一个基或基底； 为向量为向量 在基底在基底 下的坐标。此时我们下的坐标。此时我们称称 V 为一个为一个 n 维线性空间，记为维线性空间，记为 dimV=n。12,n 12,n 1122nnkkk12,n 12( ,)Tnk kk12,n 例例1 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 R3 中向量组中向量组与向量组与向量组 (1,0,0),(1,1,0),(

12、1,1,1)基底的例子基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)都是线性空间都是线性空间 R3 的基底，的基底，R3是是3维线性空间。维线性空间。例例2 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。 是是4维线性空间。维线性空间。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 2 2R2 2R基底的例子（续）基底的例子（续）例例 3 实数域实数域 R上的不超过上的不超过n次多项式的全体次多项式的全体Pn中的向中的向量组量组 与向量组与向量组都是都是 Pn 的基底，的基底，Pn的维数为的维

13、数为 n+1。 注意：注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线线性空间可以分为性空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间。目前，我们主要讨论目前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。21, ,nx xx21,2,(2) ,(2)nxxx基底的例子（续）基底的例子（续）例例4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。01

14、101111,11110110 1011111 1,0000101 1 1234A2 2R解：设向量解：设向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 1234(,)Tx x x x同一向量在不同的基下坐标不同同一向量在不同的基下坐标不同, 那它们那它们有什么关系呢有什么关系呢? 设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 n 维线性空间维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为的两组

15、基底，它们之间的关系为12,n 12,n 11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaaaa 将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 n 阶方阵阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵(可逆可逆)，那么上式可以写成，那么上式可以写成 1212,nnP 任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有，那么我们有V12,Tnx

16、 xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy该式被称为该式被称为坐标变换公式坐标变换公式。nnxxx2121,nnyyy2121,nnyyyP2121,于是有：于是有：12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1与向量组与向量组例例1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组2 2R为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的过渡矩的过渡矩阵，并求向量阵，并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式1234A1234, 1234, 123412342110333

17、1110333,12103331211333向量向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为12347412,3333xxxx利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx定义定义 设设 V 为数域为数域 F上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，W为为V的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称W为为V的一个的一个子空间子空间。例例1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一

18、个有限维线性空间 V，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间0 ,W , k lFklW以及线性空间以及线性空间V本身本身.线性空间的子空间线性空间的子空间例例2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称其的一个子空间，我们称其为为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。所含向量

19、的个数。例例3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 m nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。 的维数即为向量组的维数即为向量组 的秩，的秩， 的最大无关组为基底。的最大无关组为基底。例例4 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩阵矩阵集合，全体集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合

20、，全矩阵集合，全体体反对称反对称矩阵集合分别都构成矩阵集合分别都构成 的子空间的子空间V12,s 12,s 12,sspan n nRn nR12,s 矩阵的值域及核空间矩阵的值域及核空间定义定义: 设设A是是mn的一个实矩阵的一个实矩阵, ai表示表示A的第的第i个列向量个列向量, 称子空间称子空间spana1,a2,an为矩阵为矩阵A的的值域值域(列空间列空间), 记为记为R(A)定义定义:设设A是是mn的一个实矩阵的一个实矩阵, 称集合称集合x| Ax=0为为A的核空间的核空间(零空间零空间), 记为记为N(A)vdimR(A)+dimN(A)=n子空间的交与和子空间的交与和v两个子空间

21、的交两个子空间的交:v两个子空间的和两个子空间的和:v子空间交与和的性质子空间交与和的性质若若V1和和V2都是都是V的子空间，则的子空间，则V1V2和和V1+V2也是也是V的子空的子空间间.V1V2 = V2V1，V1+V2=V2+V1(V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+ dim(V1V2)1212:&VVVV 1212:,VVzxy x V y V 子空间的直和子空间的直和v在两个子空间在两个子空间V1和和V2的和空间的和空间V1+V2中中, 任一任一向量向量z可表示为可表示为xV1和和yV2例例

22、1: 在在R3中中, V1表示是由表示是由x1=(1,0,0)与与x2=(1,1,1)所生成的子空间所生成的子空间, 而而V2表示是由表示是由y1=(0,0,1)与与y2=(3,1,2)所生成的子空间所生成的子空间考察考察R3中的中的0向量向量, 它即可以表示为它即可以表示为0=0+0, 也可也可以表示为以表示为0=(2x1+x2)+(y1-y2)v一个向量的表示方法不唯一一个向量的表示方法不唯一v定义定义: 如果如果V1+V2中的任一向量只能唯一地表中的任一向量只能唯一地表示为子空间示为子空间V1的一个向量和子空间的一个向量和子空间V2的一个的一个向量的和向量的和, 则称则称V1+V2为为V

23、1与与V2的直和或直接的直和或直接和和, 记为记为v定理定理: 和和V1+V2为直和的充要条件为为直和的充要条件为 V1 V2=0v推论推论: 设设V1, V2是线性空间是线性空间V的子空间的子空间, 令令U= V1+V2, 则则U为为V1和和V2直和的充要条件为直和的充要条件为dimV1+dimV2=dim(U)21VV 1.2 线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵线性变换线性变换v定义：设定义：设V是数域是数域K上的线性空间，上的线性空间，T : VV 为为V上的映射，上的映射，则称则称T为线性空间为线性空间V上的一个变换或算子。上的一个变换或算子。v若变换满足：对任意的若变换满足：对任意的k

24、, lK和和,V，有，有)()()(TlTklkT则称则称T为线性变换或线性算子。为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：线性变换的基本性质：（1）T(0) = 0；（2）T(-x) = -T(x)；（3）线性相关的向量组的象仍然是线性相关的。）线性相关的向量组的象仍然是线性相关的。线性变换的例子线性变换的例子v例例1：R2空间上的如下变换空间上的如下变换 为线性变换（该变换还是正交变换）。为线性变换（该变换还是正交变换）。v例例2：设：设Pn为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运的多项式构成的集合，则求导运算：算：(f(t)=f(t) 为为Pn到到Pn的线性变换。的线性变换

25、。v例例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换： 为为V上的线性变换。上的线性变换。dtetffFtj)()(2121cossinsincosxxyy线性变换的值域和核线性变换的值域和核vV上的线性变换上的线性变换T的值域和核定义如下：的值域和核定义如下：R(T)= Tx |xVN(T)= x | Tx=0, xVv定理：线性空间定理：线性空间V的线性变换的线性变换T的值域和核都是的值域和核都是V的线性子的线性子空间，分别称为空间，分别称为T的象子空间和核子空间。的象子空间和核子空间。v定义：线性变换定义：线性变换T的象空间维数的象空间维数di

26、mR(T)称为称为T的秩，核空的秩，核空间维数间维数dim(N(T)称为称为T的亏。的亏。v可以证明，若可以证明，若V维数为维数为n，T的秩为的秩为r，则，则T的亏为的亏为n-r。例：实数域例：实数域 R上的不超过上的不超过n次多项式的全体次多项式的全体Pn中为线性空间，中为线性空间，求导运算的象空间为求导运算的象空间为Pn-1 ，核空间为，核空间为R。线性变换的运算线性变换的运算v零变换零变换T0：T0 x=0v变换的加法：定义变换的加法：定义 (T1+T2)x=T1x+T2xv负变换：定义负变换：定义 (-T)x=-(Tx)v数乘：定义数乘：定义 (kT)x=k(Tx)v定理：定理：V上所

27、有线性变换构成的集合在以上加法运算和数上所有线性变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。乘运算下构成线性空间。v单位变换单位变换Te：Tex=xv变换的乘法：定义变换的乘法：定义 (T1T2)x=T1(T2x)v逆变换：若逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换为一一对应，则可定义逆变换S=T-1, 满足满足(ST)x=(TS)x=x (对任意的对任意的x), 且有且有TT-1=T-1T=Tev变换的多项式：变换的多项式：f(T)=a0Tm+a1Tm-1+am-1T+amTe线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示v以下讨论均假设线性空间为以下讨论均假设线性空间为K上的有限维空间，并以

28、上标表示维数，上的有限维空间，并以上标表示维数，如如Vn、Wm等。等。v设映射设映射T为为Vn上的线性变换，上的线性变换， 为空间的基底，则为空间的基底，则 可以用该基底线性表示，即可以用该基底线性表示，即,21n,21nTTTnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111 写成矩阵形式写成矩阵形式nnnnnnnnaaaaaaaaaTTT2122221112112121,v对对Vn中的任意元素中的任意元素x，设，设x和和Tx的基底表示如下的基底表示如下nnxxxx2211 于是有：于是有：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa21212222111211

29、21,nnyyyTx2211nnTxTxTxTx2211nnxxxTTT2121, 得到：得到：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121v对对Vn上的线性变换上的线性变换T，在基底，在基底 下可以用矩阵来表示：下可以用矩阵来表示：,21nnnnnnnaaaaaaaaaAT212222111211v定理：设定理：设Vn上的变换上的变换T在基底在基底 下对应的矩阵为下对应的矩阵为A，则，则dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A) （由（由AX=0立即得到）立即得到）v单位变换对应单位矩阵单位变换对应单位矩阵v零变换对应零矩阵零变换对应零

30、矩阵v逆变换对应逆矩阵逆变换对应逆矩阵v两个变换的乘法对应于矩阵的乘法两个变换的乘法对应于矩阵的乘法v两个变换的加法对应于矩阵的加法两个变换的加法对应于矩阵的加法,21nv设设Vn上的线性变换上的线性变换T在两组基底在两组基底 和和 下对下对应的矩阵分别为应的矩阵分别为A和和B，两个基底之间的过渡矩阵为，两个基底之间的过渡矩阵为P，即：，即：,21n 于是于是,21nATTTnn,2121BTTTnn,2121Pnn,2121PTTTTTTnn,2121APn,21APPn121,即得即得APPB1v结论：相似矩阵表示相同的线性变换结论：相似矩阵表示相同的线性变换矩阵的运算矩阵的运算v零矩阵零

31、矩阵(对应零变换对应零变换)v矩阵加法矩阵加法(对应线性变换的加法对应线性变换的加法)v负矩阵负矩阵(对应负线性变换对应负线性变换)v数乘数乘(对应线性变换的数乘对应线性变换的数乘)v定理：所有定理：所有nm阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。下构成线性空间。v单位阵单位阵(对应单位变换对应单位变换)v矩阵的乘法矩阵的乘法(对应变换的乘法对应变换的乘法)v逆矩阵逆矩阵(对应逆变换对应逆变换)定义定义 设设T是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V的一个线性变换，如果的一个线性变换，如果对于数域对于数域F中的某个元素中的某个元素0，存在一个非零

32、向量，存在一个非零向量，使得，使得 那么称那么称0为为T的一个的一个特征值特征值，而，而称为称为 T 属于特征值属于特征值0的一个的一个特征向量特征向量。 取定取定V的一组基底的一组基底 ，设，设T在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵是是A，向量，向量在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是 ，那么我，那么我们有们有线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量0T,21nTnxxxX,21XAXTnn),(),(21021即得即得XAXT00求解特征值与特征向量求解特征值与特征向量v选定线性空间的一个基底，求线性变换选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基在此基底下对应的矩阵底下对应的矩阵A

33、；v求解矩阵求解矩阵A的特征多项式的特征多项式 的所有的所有根；根；v求出矩阵求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量；的每一个特征值对应的特征向量；v以以A的特征向量为坐标求出对应的特征向量。的特征向量为坐标求出对应的特征向量。)det()(AI 例例1 设设V是数域是数域F上的上的3维维线性空间，线性空间，T是是V上的一上的一个线性变换，个线性变换，T在在V的一个基的一个基 下的矩阵是下的矩阵是求求T的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解解：求：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。向量。123, 222214241A 所以所以A的

34、特征值是的特征值是 3 (二重二重)与与 -6。 对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：2222214241(3) (6)IA(3)0IA X210,201TT从而从而T的属于的属于 3 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是T属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 k1,k2不同时为不同时为0。 对于特征值对于特征值 -6，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：1122132,2 1 12212,kkk kK( 6)0IA X122T从而从而 T 的属于的属于 -6

35、 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 T 的属于的属于 -6 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 k 为数域为数域 F 中任意非零数。中任意非零数。3123223,kkK特征值与特征向量的相关性质特征值与特征向量的相关性质v特征子空间：线性变换特征子空间：线性变换T属于特征值属于特征值0的特征向量生成的子空的特征向量生成的子空间，记为间，记为 ，其中的非零向量为特征向量。，其中的非零向量为特征向量。v属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。vTr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。（方阵的对角线之和称为矩阵的迹

36、）。v相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。v相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。v任意任意n阶矩阵与三角矩阵相似阶矩阵与三角矩阵相似0Vv定义：定义： 已知已知 和关于变量和关于变量 x 的多项式的多项式 那么我们称那么我们称 为为 A 的的矩阵多项式矩阵多项式。v矩阵矩阵A是其特征多项式的零点，即设是其特征多项式的零点，即设 ， 则则1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC)det()(AI 0)(111IcAcAcAAnnnn最小多项式最小多项式v首项系数是

37、首项系数是1, 次数最小次数最小, 且以矩阵且以矩阵A为根的多项式为根的多项式, 称为称为A的最小多项式的最小多项式, 一般用一般用m()表示表示例例: 求矩阵求矩阵的最小多项式的最小多项式 031251233A最小多项式的性质最小多项式的性质v定理定理: 矩阵矩阵A的最小多项式的最小多项式m()可整除以可整除以A为为根的任意首根的任意首1多项式多项式, 且且m()是唯一的是唯一的v定理定理: 矩阵矩阵A的最小多项式的最小多项式m()与其特征多项与其特征多项式式()的零点相同的零点相同v定理定理: 相似的矩阵有相同的最小多项式相似的矩阵有相同的最小多项式矩阵可对角化的判定矩阵可对角化的判定v定

38、理定理: 设设T是线性空间是线性空间Vn的线性变换的线性变换, T在某一个基下在某一个基下的矩阵的矩阵A可以为对角矩阵的充要条件是可以为对角矩阵的充要条件是T有有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量v定理定理: n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为与对角矩阵相似的充要条件为A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.v推论推论: 如果如果n阶矩阵有阶矩阵有n个互不相同的特征值个互不相同的特征值, 那么它那么它与对角矩阵相似与对角矩阵相似例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？ 解解： 先求出先求出A的特征值的特征值311201112A231121112(1)(

39、2)IA于是于是A的特征值为的特征值为1=1，2 =2 由于由于1=1是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑征向量。下面我们考虑2 =2于是于是 即特征子空间的维数为即特征子空间的维数为1，从而，从而不可以相似对角化不可以相似对角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA不变子空间不变子空间v如果如果T是线性空间是线性空间V的线性变换的线性变换, V1是是V的子空间的子空间, 并并且对于任意一个且对于任意一个xV1, 都有都有TxV1, 则称则称V1是是T的不的不变子空间变子空间v取导数的变

40、换取导数的变换D是是Pn的一个线性变换，则的一个线性变换，则Pn-1是是D的的不变子空间不变子空间v线性变换线性变换T的属于的属于0的特征子空间是的特征子空间是T的不变子空间的不变子空间v不变子空间的交与和仍为不变子空间不变子空间的交与和仍为不变子空间v线性变换线性变换T的值域的值域R(T)和核和核N(T)都是都是T的不变子空间的不变子空间矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形vn阶矩阵阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是A有有n个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量v任何复矩阵与一任何复矩阵与一Jordan矩阵相似矩阵相似nnnPPPPPPA212121,sJJJAPP2

41、11kkkkJ11多项式矩阵多项式矩阵v形如形如 的矩阵称为多项式矩阵，其中的矩阵称为多项式矩阵，其中aij()是是的多项的多项式式v如果如果A=(aij)是数域是数域K上的上的 n阶矩阵阶矩阵, 则则A的特征的特征矩阵矩阵I-A就是一个特殊的多项式矩阵就是一个特殊的多项式矩阵)()()()()()()()()()(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA不变因子不变因子v对多项式矩阵对多项式矩阵A()进行初等变换，可以化为如下的进行初等变换，可以化为如下的标准形标准形 其中其中di()是首一多项式，且是首一多项式，且di() |di+1() i=1, 2, , s-1vdi(

42、) (i=1, 2, , s)称为称为A()的不变因子的不变因子00)()()(21sddd初等因子与初等因子组初等因子与初等因子组v把把A()的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子di()分解分解为不可约因式的乘积，这样的不可约因式为不可约因式的乘积，这样的不可约因式(连连同它们的幂指数同它们的幂指数)称为称为A()的一个初等因子的一个初等因子v初等因子的全体成为初等因子的全体成为A()的初等因子组的初等因子组求求Jordan标准形标准形v求特征矩阵求特征矩阵I-A的初等因子的初等因子v写出每个初等因子写出每个初等因子 对应的对应的Jordan块块v写出以这些写出以这些Jord

43、an块构成的块构成的Jordan标准形标准形smsmm)( ,)( ,)(2121imi)(iimmiiii111求求Jordan标准形的例子标准形的例子例：求矩阵例：求矩阵 的的Jordan标准形标准形 初等因子组为初等因子组为-2, (-1)2 A的的Jordan标准形为标准形为201034011A201034011AI2) 1)(2(000100011001100021.3两个特殊的线性空间两个特殊的线性空间Euclid空间（欧氏空间）空间（欧氏空间）v线性空间内积的定义线性空间内积的定义：设设V是实数域是实数域R上的上的n维线性空间，对维线性空间，对于于V中的任意两个向量中的任意两个向

44、量、, 按照某一确定法则对应着一个按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与实数，这个实数称为与与与的的内积内积，记为，记为(,)，并且要求内，并且要求内积满足下列运算条件：积满足下列运算条件：(1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 我们称带有这样内积的线性空间为我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间空间(欧氏空间欧氏空间)。当且仅当当且仅当=0时内积为零时内积为零例例1 在在Rn中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 ( , )1是是Rn上的一个内积，从而上的一个内积，从而 Rn成为一个成为一个欧氏空间。如果规定欧氏

45、空间。如果规定1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 21122( ,)2nnx yx ynx y 容易验证容易验证( , )2也是也是Rn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rn又成又成为另外一个欧氏空间。为另外一个欧氏空间。例例2 在在mn维线性空间维线性空间Rmn中，规定中，规定容易验证这是容易验证这是Rmn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rmn对于对于这个内积成为一个欧氏空间。这个内积成为一个欧氏空间。例例3 在连续函数构成的线性空间在连续函数构成的线性空间 Ca, b中，规定中，规定( , ):()TA BTr AB容易验证容易验证

46、(f, g)是是 Ca, b 上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Ca, b对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。( , ):( ) ( )baf gf x g x dx1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk Euclid空间的性质空间的性质有限维线性欧氏空间有限维线性欧氏空间v设实数域上有限维线性空间设实数域上有限维线性空间V的基底为的基底为 ，设设向量向量x与与y在此基底下的表达式如下在此基底下的表达式如下,21nnnxxxx2211nnyyyy2211 则则

47、x与与y的内积可以表示如下的内积可以表示如下),(),(11njjjniiiyxyxninjjijiyx11),(),(jiija令nnnnnnnnyyyaaaaaaaaaxxx2121222211121121 取取即即A为实对称矩阵，而且为实对称矩阵，而且(x,x)0表明表明A为正定的。为正定的。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211jiijjiija,a)(),(由性质性质：（：（1） 当且仅当当且仅当 时时 （2） （3） （4） 欧氏空间的度量欧氏空间的度量v定义：定义：设设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为义为0( , ) 0

48、0Rkkk| | ),( |例例1： 在线性空间在线性空间Rmn 中，证明中，证明证明：由于证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由内积基本性质为线性空间中的内积，由内积基本性质(4)得得证。证。例例2 设设Ca,b表示闭区间表示闭区间a,b上的所有连续实函数组成的线性上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的空间，证明对于任意的f(x), g(x)Ca,b，我们有，我们有证明：由于证明：由于 为线性空间为线性空间Ca,b上上的内积，由内积基本性质的内积，由内积基本性质(4)可得上式。可得上式。)()(| )(|TTTBBTrAATrABTrbababadxxgdxxfdxxgxf

49、22| )(| )(|)()(|badxxgxfxgxf)()()(),(定义定义：设设V为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量 的的夹角夹角定义为定义为 于是有于是有定理定理：, ,( ,)02 定义定义：在欧氏空间：在欧氏空间V中，如果中，如果 ，则称，则称 与与 正交。正交。定义定义： 长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量量 ，向量，向量 总是单位向量，称此过程为总是单位向量，称此过程为单位化单位化。( ,)0 ),(arccos:,0定义定义 设设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有零向量的向量组，如果 内

50、的任内的任意两个向量彼此正交，则称其为意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。正交的向量组。命题命题 正交向量组一定是线性无关向量组。正交向量组一定是线性无关向量组。定义定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为称此向量组为标准的正交向量组。标准的正交向量组。定义定义：在：在 n 维内积空间中，由维内积空间中，由 n个正交向量组成的基底称为个正交向量组成的基底称为正交基底；由正交基底；由 n个标准的正交向量组成的基底称为标准正交个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。基底。注意注意：标准正交基底不唯一。：标准正交基底

51、不唯一。 i i标准正交基底标准正交基底定理定理：向量组：向量组 为正交向量组的充分必要条件是为正交向量组的充分必要条件是向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是为标准正交向量组的充分必要条件是 i(,)0,ijij i1(,)0ijijijij 定理定理：由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量：由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。组，甚至是一个标准正交向量组。 设设 为为 n 维内积空间维内积空间 V 中的中的 r 个线性无关个线性无关的向量，利用这的向量，利用这 r 个向量构造一个标准正交向量组的步骤如个向量构造一个标准正交向量组的步骤

52、如下：下：第一步：第一步：11212211111111111,rrrrrrrr 容易验证容易验证 是一个正交向量组是一个正交向量组.12,r Schmidt正交化方法正交化方法12,r 第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个标准的正交向量组。是一个标准的正交向量组。例例1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1,1,3 3 3 再

53、单位化再单位化 11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即为所求的标准正交向量组。即为所求的标准正交向量组。123, 以上正交化方法以上正交化方法的结果与向量的的结果与向量的次序有关。次序有关。1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空间的一个标准正交基底。其解空间的一个标准正交基底。解解： 先求出其一个基础解系先求出其一个基础解系下面对下面对 进行正交化与单位化：进行正交化与单位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX例例2 求下面齐次线性方程组求下面齐次线性方程组1121221

54、11111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即为其解空间的一个标准正交基底。即为其解空间的一个标准正交基底。12, 欧式空间中子空间的正交性欧式空间中子空间的正交性v性质性质1 若向量组若向量组x1,x2,xm的每个向量均与向的每个向量均与向量量y正交，则正交，则x1,x2,xm的线性组合也与的线性组合也与y正交正交v性质性质2 设设V1为欧式空间为欧式空间Vn的子空间，向量的子空间，向量y与与V1正交的充要条件为正交的充要条件为y与与V1的每的每 一组基向量一组基向量正交正交v用用 表示欧式空间表示欧式空间Vn中所有与中所有与V1正交的向量

55、正交的向量集合，称为集合，称为V1的正交补空间或正交补的正交补空间或正交补v 是是Vn的一个子空间的一个子空间1V1Vv定理：任一欧式空间定理：任一欧式空间Vn为其子空间为其子空间V1及及V1的的正交补空间的直和正交补空间的直和v推论：设推论：设V1是欧式空间是欧式空间Vn的子空间，且的子空间，且V1的的维数为维数为m，则其正交补空间的维数为，则其正交补空间的维数为n-mv定理：对于任意定理：对于任意mn的矩阵的矩阵A，有，有mTTRANARANAR)()( ),()(nTTRANARANAR)()( ),()(定义定义： 设设V是一个是一个n维欧氏空间维欧氏空间, 是是V的一个线性变的一个线

56、性变换，如果对任意的换，如果对任意的 V都有都有正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵则称则称是是V的一个的一个正交变换正交变换。),()(),(定理定理： 线性变换线性变换是正交变换的充分必要条件是：是正交变换的充分必要条件是：任意的任意的 都有都有,V ( ( ),( )( ,) 证明：必要性，设证明：必要性，设是正交变换，是正交变换， ，则有，则有,V )()(),()()(),()(),()(),(2)(),(),(),(2),(),(于是有于是有充分性：取充分性：取 立即可得立即可得为正交变换。为正交变换。( ( ),( )( ,) 定义：定义：设设A为一个为一个 n 阶实矩阵，如果其

57、满足阶实矩阵，如果其满足AAT=ATA=I则称则称A正交正交矩阵矩阵，一般记为，一般记为AEnn。例：例：22022(1)10022022212333221(2)333122333cossin(3)sincos设设 ，那么，那么,n nA BE正交矩阵的性质正交矩阵的性质1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理： 设设 ARnn ，A是一个正交矩阵的充分必是一个正交矩阵的充分必要条件为要条件为A的的 n 个列（或行）向量组是标准正交个列（或行）向量组是标准正交向量组。向量组。定理定理：设：设V是一个是一个n维欧氏空间，维欧氏空间，是是V的一个线性的一个线性变换，那么下列陈述等价：变换，那么下列陈述等价：（1）是正交变换；是正交变换；（2） 将将V的标准正交基底变成标准正交基底；的标准正交基底变成标准正交基底；（3）线性变换在标准正交基下的矩阵表示为正交）线性变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。矩阵。定义定义： 设设V是一个是一个n维欧氏空间维欧氏空间, 是是V的一个线性变换，如果的一个线性变换，如果对任意的对任意的 都有都有对称变换与对称矩阵对称变换与对称矩阵则称则称是是V的一个的一个对称变换对称变换。)(,(),(定理定理： 线性变换线性变换是实对称变换的充分必要条件是：是实对称变换