线性代数课件-3.2n维向量讲解

1、§ 3 2 n维向量"=（“I，“2,，“）。厂称为n维向量，其中q称为该向量的第i个分董常用于表示向量的字符:%0,八abcouwy例如 P = (1234)四维行向量=A-4r尸=；四维列向量=bm n ” = 3& = a一般地：若“=(4|卫2,勺)，P =则 a = 0： 0 = a'【例1】对mxn线性方程组aux +anx2 + + 4比兀” =/?i知“ +°小+ + %心=""间 *1 +4,”2兀2 + + °mX“ =叽若0=J.G=J f=J是方程组的一个解fc做n维列向量一 6 解向量0丿p/

2、方程组的常数项可构成m维列向量 %丄p卫曲对系数矩阵取ai =（s卫小卫仙）一n维行向量12m）俨、则A可视为由m个n维行向量构成，且是sm维列向量则A可视为由n个m维列向量构成,(j=12 .n)且几0)两个特殊向量：:分量全为零的向量称为零向量，记为00、即 0= (0, 0, 0) or o =01（）丿向量°的负向量 对向量,丿，称 向量，-a”）为向量 4的负向量.记为W例如：向量a = (1, 2, 3,-4)的负向量为-a=H,-2,-3, 4)二、向量的运算“a代定义33两个n维向量«= ": " h：若 q （1 = 1,2,n）则称两

3、向量相等，记为口 =卩1 向量的加（减）法:规定 «-/? = a + (-/?)Z、6a.+-b=“2 2 an n 、一 b.丿 4"叽?飞、°| +人对a =八 b、规定a2 + h2、叫丿1"0、例如«231-1则 a + “ =327,<0；<4?3、向量运算的性质设a、f3、y为n维向量，k、t为实数，则(1) 仪 + /? = /? + a(2) 少 + (0 + 尸)=(<z + 0) + 了(3) «? + () = a(4) a, + (a) 0(5) (k + /)« = ku + t

4、u(6) k(a + Q) = ka + kp(7) kta = kta)改书P|00【例2】 已知四维向量务，5，0满足关系3a, - 2(a2 +“) = 0Jl'34 a.=-102i 一 2><5 J解：由- 2(® +“)= 0 SE 3at - 2az -2/ = 03a, - 2a, = 2卩匸fi =.V6-1702-2i 一3 ?< 58丿°| 5 - 、 匕- /、”4叫h.a2 a i+Y. SifVi +、 + +J(!“+ + 屮+m 4 "疵?勺4彳axM =»,则钳 +嗨 + + 【例3 （）】对线

5、性方程组 如尽小+ “M =氏 2lXl °12X2 +hl线性方程组的向雄表达式： XlCtl +、三4 + - +xn cxn = P或匕巧 + + Otnxn= P三.向量间的线性关系1.线性组合（线性表示）1）概念例如，对同维数向量0,如若a2 =ka称°，.性表例如：务弔鬥:J 则=8所以仪2可由內线性表示证明:【例3】证明任一个n维向升山都可由n维向量组1P、00 6 1 化0<b°,线性表示.要沁为凰»+ A划 + .1 ¥*=4冋+02%+ + £”所以，取Ai=fl,山之力，斤“之渺则有a =匕刍+ k2e2

6、+knen 成立 即向量a可由向量组®、5、®线性表示 | 6S，运1n维单位向量组【例4】零向量是任意向量组的线性组合 因为：对任意向量组0,2, 都有0 = 00 +0-a2 + + ()%”即取k= k2=.= 1=0,则有()=kxa. + k2a2 + + kmatn 成立故零向量是任意向塞组a|a“Q, “的线性组合 或零向量可由任意向量组a|、a,、a,”线性表示【例5】向量组C|,勺，, ”中的任意一个 向量«；(/ = 1,2,?«)都可以由这个向 量组线性表示证明：a = 1 ai 4-0 a2 +0-a3 H0-a,a2 =0-&#

7、171; +l-a2 +0q +() a”+皿2 +0%t +0%,即 (xi = Oj +0*(x. | +Iy +O*tz| +0a川所以，e可由e，s，%”线性表示(/ = !,2, ,/«):向量”不能由向量组“吩心线性表示4 不存在一组数匕,心.,心，使得0 = kg -k2a2 +&” 成立对任意一组数k宀如+5+也工0【例（色）】设证明G不能由久亿线性表示证明：对任意实数«我2,有M +纠土、Ha所以a不能由久d线性表示补充性 "可由向量组0|,°2,心 线性表示 <"=向量方程 /? = xla1 + x2a2 +

8、 H-xnan有解证明：=> 设网由知色，线性表示： 则存在匕，心，匕，使P =-k2a2 + +*” 成立即向量方程：P =+ x2a2 + 4- xnan < Mu若向量方程：p - XjtZj +吃勺+ + £%有解: 则存在匕，心,匕，使P =k2a2 +R”a”成立即网由知5，心“线性表示/ / 1 5如2“22nb2，旳=异a员= 5丿kfl«2；少贰的向量组的线性组合判别法:分析：设务二向量卩可由向量组內心心线性表不U-向量方程P = xa x2a2 + + x“a”有解+心2 + + 3"X” =ba2lXl +22X2 + +。2”兀

9、,=h2 有解ST +%£ + + %£ =hm/ _ 、«|” 5 92 :an 厂,a聘= '卩b2 al 丿JW押7、已知6T| =判断0能否由內心.、线性表示的方法： 第一步: 设 0 = xal + x2a2 + +xnan 第二步：将0, av a“a“的分量袖入，得一线性方程纟d :111 +al2X2 + + 6.X“ =Sa21x)+022*2 + + 4曲=b2a,nX +°炳2“2 + "祕 © =叽第三步：用消元法解线性方程组结sJ若方程组有解：西由WS，线性表示 如此1若方程组无解:0不能由內,勺,g

10、”线性表示【例6】问0能否由线性表示解:设 0 二 X" + x2(x2 + x3a34T+ .r:!=U + 2x2 + 3xy 2a( + 3x2 + xv<=>2I/23 +心 +2gxl + 2x2 + 3xy =2.V + 3.v2 + .v,=3y + x2 + 2xy =12 3 0、1 2 3 011 0 7 8 Irl 0 0 n10 0 1由"2 314T0 d -5 4T0 1 - 5 4 j ->0 -1 0 -10 10!1312 2,0-5-720 0 18 -18.10 0 1 -1o 0 1 J解得X=l X2=l X3=-

11、l 即有0 =务+如-如所以"能由WSS线性表示【例7】设有三维向量耳1 A1、a、=1 11 + 2S =f：L11 >J久丿(1 ) “可由(x(x2>(xy线性表示，且表达式唯一(2 ) “可由线性表示，但表达式不唯一 (3 ) 0不能由內,住，8线性表示(I + x2 + xy = 0< .v( +(1 + 2)x2 +x% = 2X| +x2 +(1 + 2)x3 = x2解：设 0 = X。 +X2CX2 +6<巧0 I + " II艮卩 k =x, I +.r,+x, I(1 + 2)Xj + x2 + ©、 + (I + A

12、)x2 + x3Z + 心 + (1 + x).¥3>(1 + x).Vj + .v2 +=0 卩+ x2(x2 + X36T3<JZZ> " + (丨 + +.vx = 2xt + x: +(1 + 2)a = Z21 + 2 1 1因为 |4|= 11 + 2 I =22(2 + 3)111 + A(l)当2工ol丄2工-3时，|4|工0,方程组有唯一解即唯一存在一组数热人人，使P = +k2CX2 +比3心3 成立此时0对由円心2,5线性表示，且表达式唯一(1 + 2)q + x2 + v& = 0 卩=X0 + X2(X 2 +屯8&quo

13、t; +(1 +X)X2 + Ax = Zxt + x2 + (1 + 2)斗；=才UA11因为 |A|=rI1"I=A2(A + 3)1Il + Z(2)当A = 0时，原方程组为：pXj + x2 += 0X +七+.0 =() 口 斗+£+大3=0无穷多解Xj +心+心=0即存在无穷多组W使0 = kCX +k2OC2成立此时"川由线性表示，但表达式不唯一二、向量的运算"|*两向量相等：两个n维向量«=班 x S f “I 土纽、a2 土 hl "土若比=勺(i = 12M)则a = 0向量的加减法：a土卩=g、向量的数乘：畑=

14、0、叽三、向量间的线性关系他,斗+如心+仏几 7I、线性方程组 內+“沁+“" 7的向量表达式:axxx a2x2 + +a”£=02、向量岁可由向量组內宀，,线性表示 <=>存在一组数处，心,，匚，使得 卩=5 +也 +也 成立向虽:方程P = xax +x2a2 +x”a“有解3、任一个n维向量一“：都可由n维单位向量组线性表示。且 a = d|£ + a2e2 + + an£n4、零向量是任意向量组的线性组合5、向量组冬心2,，%”中的任意一个向量S（/ = 12,加）都可以由这个向量组线性衣示。6、已知Qss、J的分量，判断严I否由c

15、tj ,cx2,，a,”线，性表示：步骤:1）设 处也+也+也2）代入各向量的分量，得一线性方程组3）川消元法解该方程组，若方程组有解则0可由弘如,线性表示若方程组无解，则0不能由弘®，“线性表示2、线性相关、线性无关做向量方程+ x2a2 + xmam = 0 ( 37) 荀存在-组不全为零的数化人，也 使得方程kxax + k2a2 + kmam = 0成立 则称向量组片幻，心”线性相关 若方程组(3.7)=£ = =兀” =0时成立，则称向量组匕,a?，a线性无关。16对向量组a,=2 a,=4O例如:纠-a： +0佝=0取= 2,2 = -1，上3 = 0 ，则存在

16、匕,上2，丘3不全为零' 使心Qi+饥8+*S 成立，所以0, av如线性相关当k,心不全为零时即方程Arp +k2a2 =0仅当心=k2 =0时成立 因此內，勺线性无关向量组apa2,-« ,a性相关存在一组不全为零的数匕,处，九， 使方程斤心4-k2(X2 + + &” =0成立=方程久何+ x2a2 +xmam = 0有非零解 向量组e ,a儀性无兴C方程匕w +匕巴H卜匕“ =0当匕=k2 = = &阳=0&t成立PI03,定义3.7Pl 4-x2a2 +* =0仅有零解思考题：1、-个向航组不是线性相关就足线性无关。02、对向蛀组,若不存在组

17、不全为零的数人,匕,，此 使方程如+也+心.=0成立，则厲心,线性无关丁3、对向吊组几冬.,若对任一组不全为零的数人也出,都H kial + A,(z, +*0> 则 or,tz2,« 线性无关 E4、对向量组aa2,-,am ,若当=2 =w =0时，方程切+&还+山冬=0成立,则©a，心线性无关 5、设匕,咛 是一个向量组.匕*2,匚是一组不全为零的数，若 ka + t/Xj + +kmam 0则血,8，,乞”线性无关5T【例8】证明：n维单位向量组5®，心线性无关 要证：方程k& +匕£?+“;=0仅有冬醉证明：设有一组数心,

18、他,，心，使得匕斫+心勺+広£“=°成立1=>点冋+(£三+ tk店亍k、00 L1 ()Or00= t2即方程也+也2+ + %. =°仅有零解 所以11维单位向量组£心、心线性无关【例9】证明：由一个向量a构成的向量组线性相关的充要条件是a = o证明： =已知向量组必戈性相关设« = （«, an） 则存在一组不全为零的数k,即k*0 ,使ka = O成立<=> 若 a =(),取 k=l *0 ,即 c =()则方程ka =0成立因此由向最Q构成的向量组线性相关 故向量Q构成的向量组线性相关的充要条件是