二次函数因动点产生的面积问题典型例题

1、二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)（1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个图1 思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2O

2、C2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值满分解答（1）b，点B的横坐标为2c（2）由，设E过点E作EHx轴于H由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH所以因此所以当C、D、E三点在同一直线上时，所以整理，得2c23c20解得c2或（舍去）所以抛物线的解析式为（3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F直线BC的解析式为设，那么，所以SPBCSPBFSPCF因此当P在BC下方时，PBC的最大值

3、为4当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5综上所述，0S5若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有11个考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）当P在BC下方，S4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点例 2、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到三角形ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB

4、AB的面积是ABO面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质图1思路点拨1四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，可以转化为四边形PBOB的面积是ABO面积的3倍2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形3过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形满分解答（1）AOB绕着原点O逆时针旋转90，点A、B的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(2, 0)，设解析式为ya(x1)(x2)，代入B(0, 2)，得a1所以该抛物线的

5、解析式为y(x1)(x2) x2x2（2）SABO1如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3如图2，作PDOB，垂足为D设点P的坐标为 (x，x2x2)所以解方程x22x23，得x1x21所以点P的坐标为(1，2)图2 图3 图4（3）如图3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线考点伸展第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单所以甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么

6、点E的坐标为(1，2)而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的4倍因此点E就是要探求的点P例 3、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说

7、明理由图1思路点拨1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因为PC/EO，所以ACPAEO因此将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值为（3）当SPCDSPCB910时，；当SPCDSPCB109时，图2考点伸展第（3）题的思路是：PC

8、D与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比而，BM4m当SPCDSPCB910时，解得当SPCDSPCB109时，解得例 4、如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系

9、分两种情况讨论满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图4（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上当SAMN4SAMP时，MN4MP如图

10、3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时考点伸展在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图5 图6例5、如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式

11、；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图1思路点拨1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理满分解答(1)如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE如图3，当E在AB上

12、时，把y1代入可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入可知，点E的坐标为，AE，BE此时SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2设菱形DMEN的边长为m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重叠部分菱形DMEN的面积为 图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱

13、形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示 图5 图6 图7例 6、如图1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求出最大值（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由 图1 备用图思路点拨1第（1）题求得的

14、AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点2第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断满分解答(1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，(2) 如图2，当F在AC上时，在RtAEF中，所以如图3，当F在BC上时，在RtBEF中，所以当时，的最大值为；当时，的最大值为因此，当时，y的最大值为 图2 图3 图4(3)ABC的周长等于12，面积等于6先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，AF6x，x的变化范围为3x5因此解方程，得因为在3x5范围内（如图4），因此存在直线EF将ABC的周

15、长和面积同时平分考点伸展如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，BE5x，BFx1因此解方程整理，得此方程无实数根例7、如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点

16、P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 图1 图2思路点拨1过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础2求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备3不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是345，灵活运用方便解题4根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系满分解答（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度（2）过点B作BEy轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H在RtABE中，BE8，AE1046，所以AB10由ABEBCF，知BFAE4，CFBE6所以EF8614，CH8412因此点C的坐标为（14，12）（3）过点P作PMy轴于M，PN轴于N因为PM/BE，所以，即因此于是设OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为010因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，OPQ的面积最大此时P的坐标为(，)（4）当或时