沪科版九年级数学上册期末复习考点 第24章 圆知识归纳与题型突破（17类题型清单）

第二十四章圆知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记圆的有关概念定义注意弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦直径经过圆心的弦叫做直径弧、半圆、优弧、劣弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条胡都叫做半圆；（3）小于半圆的弧叫做劣弧；（4）大于半圆的弧叫做优弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧等圆能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等二、垂径定理及其推论1、垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦.2、垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.三、弧、弦、圆心角之间的关系1、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；2、推论（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等；3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.四、圆周角1、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2、圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径.3、“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.五、圆内接多边形1、圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.六、点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系2、确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.七、直线和圆的位置关系八、切线的相关知识1、切线的判定（1）判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）判定方法a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、切线的性质（1）性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的性质a.切线和圆只有一个公共点;b.圆心到切线的距离等于半径;c.圆的切线垂直于过切点的半径;d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用);e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).3、切线长定理（1）切线长定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.九、三角形的外接圆1、三角形的外接圆 经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.2、三角形的外心(1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心 (2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于 其外接圆的半径. 3、三角形外接圆的作法作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可十、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心3、三角形内心的性质三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.十一、弧长和扇形面积1、弧长公式l=2、扇形面积S=0303题型归纳题型一圆的基本概念辨析例1.（2024九年级上·全国·专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．当圆绕它的圆心旋转89°57D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个巩固训练1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．大于半圆的弧叫做优弧B．长度相等的两条弧叫做等弧C．过圆心的线段是直径D．直径一定大于弦2.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（）A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径C．AD=BDD．弦AB把圆分成两条弧，其中ACB是劣弧题型二利用垂径定理求平行弦问题例2．（2023九年级上·全国·专题练习）已知⊙O的直径为20cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则AB与CD巩固训练1．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是．2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD

之间的距离为cm．题型三利用垂径定理求同心圆问题例3.（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，A．点D B．点E C．点F D．点G巩固训练1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．题型四利用弧、弦、圆心角的关系求解例4.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，BD为⊙O的直径，连接AD，若AD=8，则AC的长为．巩固训练1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，弦AB的弦心距为OF．

（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为．（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为．2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是°．3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆O中，点C在半圆O上，点D在直径AB上，将半圆O沿过BC所在的直线折叠，使BC恰好经过点D．若BC=10，BD=1，则半圆O的直径为题型五利用弧、弦、圆心角的关系求证例5.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．求证：AC=BD．巩固训练1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在⊙O中，AC=BC，于点D，CE⊥OB于点E．(1)求证：AD=BE．(2)若AD=DO，r=3，求CD长．2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE=AB，连接BD，ED．(1)求证：BD=ED．(2)若∠ABC=60°，AD=5，求⊙O的半径，3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是AC的中点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC．(1)求证：EB=EF；(2)求证：BE(3)求CE的长．题型六求圆弧的度数例6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE=40°，则BD的度数是（

）A．70° B．110° C．40° D．70°或110°巩固训练1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E=30°，∠AOC=100°，则BD的度数是（

）A．70° B．50° C．40° D．30°2．（2023·福建·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，AC=2AB，∠ABC=38°，连接OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（A．108° B．109° C．110° D．112°3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是⊙O的两条弦，且AB=AC，点D,P分别在BC和AC上，若∠BDC=150°，则∠APC的度数是（

）A．105° B．110° C．120° D．150°题型七利用圆周角定理求角度例7.（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知⊙O的半径OA=1，弦AB的长为2，若在⊙O上找一点C，则∠BCA=°．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OAB=25°，则∠ACB的度数为°．2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE．若，则∠DOE=°．3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知AC是⊙O的弦，点B在⊙O上，连接OA，OC，OB，∠BOC=40°．（1）如图①，当AC=BC时，∠OAC=（2）如图②，当AC∥OB时，∠AOC=°；（3）如图③，当AC=OB时，∠AOB=°．题型八利用圆内接四边形的性质求角度例8.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2AB，则∠ADC的度数为°．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠E=130°，则∠C的度数为°．2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长交⊙O于点E，连接，若∠A=100°，∠E=60°，则∠OCD的大小为°．3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于．题型九利用圆周角定理的推论进行探究证明例9.（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求CD的长．巩固训练1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，∠C=90°，且OD∥AC，OD与BC交于点E．(1)求证：E为BC的中点．(2)若BC=10，，求AB的长度．2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形ABCD是半径为r的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足∠CFE=45°．(1)求证：直线直线CE；(2)若AB=DG．①求证：△ABC≌△GDE；②若半径r=2,CE=3，求四边形ABCD的周长．3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接交CD于点G，CG=AG，连接AC．(1)求证：AC∥DF；(2)①_____°；②若AB=12，由①中结论求GD的长．题型十切线的性质和判定的综合应用例10.（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）A．20° B．40° C．50° D．60°巩固训练1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=1A．43 B．477 C．32．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．连接OB，当OA=3，OC=1时，则线段BD的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．63．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且，则线段AE的长是（）A．245 B．5 C．194 题型十一利用切斜长定理求解例11.（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，AD、AE是⊙O的切线，D、E为切点，BC与⊙O相切于点F，分别交AD、AE于点B、C．若△ABC的周长为16，则切线长AD为（

）A．6 B．7 C．8 D．无法确定巩固训练1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若，OC=6cm，则BE+CG等于（）A．7cm B．8cm C．9cm2．（22-23九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（

）．A．12 B．13 C．14 D．183．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°题型十二利用切线长定理求证例12.（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，点A在⊙O外，AB,AD分别与⊙O相切于点B，D，AD,BO的延长线相交于点C，⊙O交BC于点E，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接EF．(1)求证：∠BAO=∠F；(2)若AD=65，CD=35，求⊙O巩固训练1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作射线l⊥AB，点P为l上一个动点，点C为⊙O上异于点A的一点，且PA=PC，过点B作AB的垂线交PC的延长线于点D，连接AD．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若AP=4BD，求sin∠2．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，△ABC的内切圆切三边于点D，E，F，过F作BC的平行线交DE的延长线于点G，求证：FH=GH．3．（23-24九年级下·北京·期末）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．(1)求证：OE=1(2)若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长．题型十三圆的综合问题例13.（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接，且PD=PE，延长交BA的延长线于点F．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，PE=72，cos∠PFC巩固训练1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD=2∠DAF．

(1)求证：CF是⊙O切线；(2)若AF=10，sinF=22．（2023·湖南永州·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC=∠BDA，点E在DA的延长线上，点A在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．

(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)若AC=6,BD=5,AC>CD，求(3)若DE⋅AM=AC⋅AD，求证：BM⊥CE．3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，

(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=2，，求AD的长；(3)在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．题型十四三角形的周长、面积与内切圆半径的关系例14.（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D,E分别为BC,AC上的点，且DE为⊙O的切线．

(1)若∠C=40°，求∠AOB的度数；(2)若，求△CDE的周长．巩固训练1．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．1．（2024·湖北武汉·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=20，，CA=13，则下列说法不正确的是（

）A．∠EDF=∠A B．∠EOF=∠B+∠CC． D．OE=143．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）圆O1内切于正三角形△ABC，半径为R，圆O2与圆O1及AB，AC均相切，圆O2的半径为r，则A．4 B．2 C．3 D．5题型十五三角形内切圆与外接圆综合例15.（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．巩固训练1．（2024·上海·模拟预测）已知△ABC的内心为O，AO=3(1)如果△ABC的外心也为O，求证：△ABC为等边三角形，并尺规作线段AO；(2)延长AO交边BC于E，求证：ABBE=AC2．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．(1)求证：∠BAD=∠CBD；(2)求证：BD=ID；(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．3．（21-22九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；(2)求证：DE=DB．题型十六正多边形与圆的综合例16.（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM,CM．(1)求证：BM=CM；(2)连接OB、OM，求∠BOM的度数．巩固训练1．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．(1)求点O到AB的距离；(2)求正六边形ABCDEF的面积．2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与点C重合）．

(1)求∠BPC的度数；(2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积．题型十七弧长与扇形面积例17.（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，则S1A．23π−93 B．35 C．巩固训练1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=144°，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，若⊙O的半径为1，则BC的长为（

）A． B．π5 C．π4 D．2．（2024·山西晋中·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，以边AC为直径作半圆交边AB于点D．以点B为圆心，边BC长为半径作CE交边AB于点E，则图中阴影部分的面积为（A．5π−43 B．56π−23 C．3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°．若⊙O的半径为5，则DC的长为（）

A．133π B．109π C．

第二十四章圆知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记圆的有关概念定义注意弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦直径经过圆心的弦叫做直径弧、半圆、优弧、劣弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条胡都叫做半圆；（3）小于半圆的弧叫做劣弧；（4）大于半圆的弧叫做优弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧等圆能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等二、垂径定理及其推论1、垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦.2、垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.三、弧、弦、圆心角之间的关系1、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；2、推论（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等；3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.四、圆周角1、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2、圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径.3、“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.五、圆内接多边形1、圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.六、点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系2、确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.七、直线和圆的位置关系八、切线的相关知识1、切线的判定（1）判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）判定方法a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、切线的性质（1）性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的性质a.切线和圆只有一个公共点;b.圆心到切线的距离等于半径;c.圆的切线垂直于过切点的半径;d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用);e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).3、切线长定理（1）切线长定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.九、三角形的外接圆1、三角形的外接圆 经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.2、三角形的外心(1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心 (2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于 其外接圆的半径. 3、三角形外接圆的作法作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可十、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心3、三角形内心的性质三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.十一、弧长和扇形面积1、弧长公式l=2、扇形面积S=0303题型归纳题型一圆的基本概念辨析例1.（2024九年级上·全国·专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．当圆绕它的圆心旋转89°57D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个【答案】C【分析】此题考查了圆的轴对称性质和圆的旋转不变性，解题的关键是掌握以上知识点．根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解．【详解】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确；B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；C、当圆绕它的圆心旋转89°57D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确．故选：C．巩固训练1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．大于半圆的弧叫做优弧B．长度相等的两条弧叫做等弧C．过圆心的线段是直径D．直径一定大于弦【答案】A【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点．根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意；B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意；C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意；故选：A．2.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．【详解】解：直径是弦，故①正确，半圆是弧，故②正确，半径相等的圆是等圆，故③正确，同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误，平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误，正确的各数为3，故选：C．3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（）A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径C．AD=BDD．弦AB把圆分成两条弧，其中ACB是劣弧【答案】B【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定AD=BD，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断．【详解】解：A．线段AB，AC都是⊙O的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径，所以B选项符合题意；C．当点D为AB的中点时，AD=BD，所以C选项不符合题意；D．ACB为优弧，所以D选项不符合题意．故选：B．题型二利用垂径定理求平行弦问题例2．（2023九年级上·全国·专题练习）已知⊙O的直径为20cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则AB与CD【答案】2或14【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=8cm，CF=DF=6cm，则利用勾股定理可计算出OE=6cm，OF=8cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点O不在AB与【详解】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图

∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE=BE=1CF=DF=1在Rt△OAE中，在中，OF=CO当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=8+6=14cm当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF−OE=8−6=2cm故答案为：2或14．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．巩固训练1．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102∴；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，

过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．【答案】17或7/7或17【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF=12AB=12×24=12，CE=12CD在Rt△CEO中，OE=OC同理，OF=OA故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案为：17或7．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD

之间的距离为cm．【答案】7或17/17或7【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直径为26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF-OE=7②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直径为26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF+OE=17故答案为：7或17．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．题型三利用垂径定理求同心圆问题例3.（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】B【分析】根据图形作线段AB和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．【详解】解：如图作线段AB和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证；（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt△COE中，利用勾股定理即可求出【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE−CE=BE−DE，∴AC=BD；（2）解：连接OC、OA，如图，

∵AC=3，BC=5，∴AB=3+5=8，∴AE=4，∴CE=AE−AC=4−3=1，∴在Rt△AOE中，OE∴在Rt△COE中，OC∴10，即小圆的半径r为103．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为17【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE−CE=BE−DE,∴AC=BD.（2）解：连接OC,OA，如图2，∵，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE−AC=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得在Rt△COE中，由勾股定理可得∴OC=17，即小圆的半径r为17【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．题型四利用弧、弦、圆心角的关系求解例4.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，BD为⊙O的直径，连接AD，若AD=8，则AC的长为．【答案】8【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=AC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACB=30°，接着根据圆周角定理得到∠ADB=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出AB，从而得到AC的长．【详解】解：为劣弧BC的中点，AB=AC∴AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=1∴∠ADB=∠ACB=30°，∵BD为⊙O的直径，，则BD=2AB在Rt△ABD中，∴AB=3∴AC=8故答案为：83巩固训练1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，弦AB的弦心距为OF．

（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为．（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为．【答案】45°6【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系；（1）连接OA,OB.证明△AOF和△BOF都是等腰直角三角形即可；（2）延长AO交⊙O于点G，连接BG，则OF是△ABG的中位线，可以求出BG=6，然后根据垂直证明∠CAD=∠BAG,，根据圆周角相等则所对的弦相等得到CD=BG=6．【详解】如图1，连接OA,OB.

∵OF是弦AB的弦心距，∴OF⊥AB，∴AF=BF.∵AF=OF,∴△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，∴∠AOF=∠BOF=45°,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=90°,∴∠ADB=1（2）如图2，延长AO交⊙O于点G，连接BG，则OF是△ABG的中位线，

∴BG=2OF．在Rt△AOF中，由勾股定理得OA∴BG=6.∵AC⊥BD，∴∠CAD+∠ADB=90°．∵AG是⊙O的直径，∴∠BAG+∠G=90°.∵∠G=∠ADB,∴∠CAD=∠BAG,∴DC∴CD=BG=6．2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是°．【答案】38【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系，连接OC，由垂径定理得出BC=BD，由弧与圆心角的关系得出∠COB=∠BOD，再由圆周角定理得出【详解】解：如图，连接OC，，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，∴BC=∴∠COB=∠BOD，∵∠A=26°，∴∠COB=2∠A=52°，∴∠BOD=52°，∴∠D=90°−∠BOD=38°，故答案为：．3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆O中，点C在半圆O上，点D在直径AB上，将半圆O沿过BC所在的直线折叠，使BC恰好经过点D．若BC=10，BD=1，则半圆O的直径为【答案】4【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键．利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程a+122−【详解】解：如图，点O为圆心，过点C作CH⊥AB交于点，连接AC、OC、CD，∵在半圆O中，点C在半圆O上，点D在直径AB上，将半圆O沿过BC所在的直线折叠，使BC恰好经过点D，∴CD和AC是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于∠ABC，∠ACB=∠CHB=90°，∴CD和AC所对的圆心角也相等，∴CD=∴，又∵CH⊥AB，BC=10，BD=1∴设AH=DH=a，则BH=a+1，AB=2a+1，AO=BO=CO=ABOD=BO−BD=a+1OH=DH−OD=a−a−∵CH∴a+1整理得：2a2a−3a+3∴2a−3=0或a+3=0，解得：a1=3∴半圆O的直径AB=2×3故答案为：4．题型五利用弧、弦、圆心角的关系求证例5.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．求证：AC=BD．【答案】见解析【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出AB+AD=【详解】证明：∵AB=CD，∴AB=∴AB+即BD=∴BD=AC．巩固训练1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在⊙O中，AC=BC，于点D，CE⊥OB于点E．(1)求证：AD=BE．(2)若AD=DO，r=3，求CD长．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接OC，AC，BC，先证明，再证明△COD≌△COE，进一步可得答案；（2）求解OA=OC=3，AD=DO=32，结合【详解】（1）证明：连接OC，AC，BC，∵AC=BC，∴AC=∴，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵OC=OC，∴△COD≌△COE，∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE；（2）解：∵AD=DO，r=3，∴OA=OC=3，AD=DO=3∵，∴CD=C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE=AB，连接BD，ED．(1)求证：BD=ED．(2)若∠ABC=60°，AD=5，求⊙O的半径，【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质；（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD=∠ECD，再证明△ABD≌△CED即可得到BD=ED；（2）连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则，根据已知条件得到∠ABD=∠CBD，AD=CD=5，求得∠F=30°，根据直角三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵D是弧AC的中点，∴AD=∴AD=DC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵，∴∠BAD=∠ECD，∵CE=AB∴△ABD≌△CEDSAS∴BD=ED；（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则，∵D是弧AC的中点，∴AD=∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=5，∵∠ABC=60°，∴，∴∠F=∠DBC=30°，∴DF=2CD=10，∴⊙O的半径123．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是AC的中点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC．(1)求证：EB=EF；(2)求证：BE(3)求CE的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠DCF=∠DFC，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得∠DBE=∠EFB，即可证明EB=EF；（2）根据题意可得AD=CD，则∠DBA=∠DBC，再证明∠ABE=∠ECB，即可证明（3）过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，利用等弧所对的圆周角相等证明△BCH是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：∵DF=DC，，∵∠DCF=∠DBE，∠DFC=∠EFB，∴∠DBE=∠EFB，∴EB=EF；（2）证明：是AC的中点，∴AD=，∵∠DBE=∠EFB，∴∠DBE−∠DBA=∠EFB−∠DBC，即∠ABE=∠ECB，∴AE=（3）解：过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，由（2）可知AE=∴AE=BE=2∴∠ACE=∠BCE=45°，在等腰直角三角形BCH中，CH=BH=22在Rt△BEH中，∴CE=CH+EH=32【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．题型六求圆弧的度数例6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE=40°，则BD的度数是（

）A．70° B．110° C．40° D．70°或110°【答案】D【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键．【详解】如图，∵，∴∠1=∠2，∵∠COE=40°，∴∠1=∠2=1∵弦CE∥AB，∴∠AOE=∠2=70°，∴∠BOD=∠AOC=∠COE+∠AOE=110°∴BD的度数是110°；如图，∵，∴∠C=∠E，∵∠COE=40°，∴∠C=∠E=1∵弦CE∥AB，∴∠AOC=∠C=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°∴BD的度数是70°；综上可知：BD的度数是70°或110°，故选：D．巩固训练1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E=30°，∠AOC=100°，则BD的度数是（

）A．70° B．50° C．40° D．30°【答案】C【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，连接OB、OD、AC，由三角形内角和求∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC，∠EAO+∠ECO=180°−∠E−∠OAC+∠OCA，∠AOB+∠COD=180°−∠OAB+∠OBA+180°−【详解】解：如图，连接OB、OD、AC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=80°，∴∠EAO+∠ECO=180°−∠E−∠OAC+∠OCA∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=2×70°=140°，∴∠AOB+∠COD=180°−∠OAB+∠OBA∴∠BOD=360°−∠AOC−∠AOB+∠COD∴BD的度数为40°，故选：C．2．（2023·福建·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，AC=2AB，∠ABC=38°，连接OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（A．108° B．109° C．110° D．112°【答案】B【分析】连接OB，OC由已知条件求得∠AOB，由OC=OB，得∠OCB=∠OBC，继而求得∠AMC=∠OMB=109°，再根据三角形内角和性质，即可求得∠AMC．【详解】如解图，连接OB，OC，∵∠ABC=38°，∴∠AOC=2∠ABC=76°．∵AC=2∴∠AOB=1∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=1∴∠OMB=180°−∠AOB−∠OBC=180°−38°−33°=109°，∴∠AMC=∠OMB=109°．故选B．【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的关键．3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是⊙O的两条弦，且AB=AC，点D,P分别在BC和AC上，若∠BDC=150°，则∠APC的度数是（

）A．105° B．110° C．120° D．150°【答案】A【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半．根据圆内接四边形对角互补求得∠BAC的度数，即可求得BC的度数，进而求得AB的度数，ABC的度数，则∠APC的度数即可求解．【详解】解：在圆内接四边形ABCD中，∠BAC=180°−∠BDC=180°−150°=30°，则BC的度数是60°，又∵AB=AC，∴AB的度数=AC的度数=1∴ABC的度数是150°+60°=210°，∴∠APC=1故选：A．题型七利用圆周角定理求角度例7.（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知⊙O的半径OA=1，弦AB的长为2，若在⊙O上找一点C，则∠BCA=°．【答案】45°或135°．【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出∠AOB=90°，分别在优弧AB和劣弧AB取点C1和，连接AC1，，，，则∠BC1A=45°，然后根据圆内接四边形的性质可求出【详解】解：∵，AB=2，∴OA∴∠AOB=90°，如图，分别在优弧AB和劣弧AB取点C1和，连接AC1，，，，∴∠BC∵四边形AC∴∠BC∴∠BC故答案为：45°或135°．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OAB=25°，则∠ACB的度数为°．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理.根据等腰三角形的性质由OB=OA得∠OBA=∠OAB=25°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOA=130°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠BOA=180°−25°−25°=130°，∴∠ACB=1故答案为：65．2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE．若，则∠DOE=°．【答案】56【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接CD，由BC为直径，得到∠BDC，∠ADC，然后根据三角形内角和定理得到∠ACD，最后利用圆周角定理即可得到答案．【详解】解：连接CD，如图∵BC是⊙O的直径∴∠BDC=90°，则∠ADC=90°∴∠ACD=180°−∠ADC−∠A=180°−90°−62°=28°∴∠DOE=2∠DCE=2×28°=56°故答案为：56．3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知AC是⊙O的弦，点B在⊙O上，连接OA，OC，OB，∠BOC=40°．（1）如图①，当AC=BC时，∠OAC=（2）如图②，当AC∥OB时，∠AOC=°；（3）如图③，当AC=OB时，∠AOB=°．【答案】70100100【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质即可求解；（2）根据平行线的性质及等腰三角形的性质即可求解；（3）先证明△AOC为等边三角形，即可求解．【详解】解：（1）∵AC=∴∠AOC=∠BOC=40°，∵OA=OC，∴∠OAC=180°−∠AOC故答案为：70；（2）∵AC∥OB，∴，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，则∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=100°，故答案为：100；（3）∵AC=OB，OA=OC，∴，即：△AOC为等边三角形，∴，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=100°，故答案为：100．题型八利用圆内接四边形的性质求角度例8.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2AB，则∠ADC的度数为°．【答案】120°【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，连接OA，由BC是⊙O的直径，BC=2AB，证明△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠ABO=60°，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，连接OA，∵BC是⊙O的直径，BC=2AB，∴OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABO=60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴，∴∠ADC=120°，故答案为：120°．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠E=130°，则∠C的度数为°．【答案】100【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．连接BD，先根据圆内接四边形的性质求出∠ABD的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出∠BAD的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∠E=130°，∴∠ABD=180°−130°=50°．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=50°．∴∠BAD=180°−2×50°=80°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C=180°−80°=100°．故答案为：100°2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长交⊙O于点E，连接，若∠A=100°，∠E=60°，则∠OCD的大小为°．【答案】50【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到∠EBC=90°，求出∠BCE，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．【详解】解：∵是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，又∠E=60°，∴∠BCE=90°−∠E=30°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，∴，∴∠OCD=∠BCD−∠BCE=50°，故答案为：50．3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于．【答案】64°/64度【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出∠ABC=64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．【详解】解：∵∠AOC=128°，∴∠ABC=64°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°−64°=116°，∴∠CDE=180°−∠ADC=64°．故答案为：64°．题型九利用圆周角定理的推论进行探究证明例9.（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接AC，根据BC=CD，推出∠BAC=∠EAC，根据CD=CE，得到∠E=∠CDE，根据圆内接四边形性质得到∠B=∠CDE，得到∠B=∠E，结合AC共用，推出△ABC≌△AECAAS，得到；（2）证明BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°，根据，得到AE=AB=8．根据勾股定理得到BD=45，根据等腰直角三角形性质即得CD=210【详解】（1）证明：如图，连接AC．∵BC=CD，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE，∴∠B=∠E，在△ABC与△AEC中，∠B=∠E∠BAC=∠EAC∴△ABC≌△AECAAS∴；（2）解：如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，由（1）可得．∵，∴AE=AB=8．∴在Rt△ABD中，在Rt△BCD中，【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．巩固训练1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，∠C=90°，且OD∥AC，OD与BC交于点E．(1)求证：E为BC的中点．(2)若BC=10，，求AB的长度．【答案】(1)见解析(2)AB=【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．（1）根据直径的性质可得∠C=90°，根据平行线的性质可证OD⊥BC，根据垂径定理即可得证；（2）设圆O的半径为x，在中用勾股定理建立方程，求解即可．【详解】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，，∴∠C=90°，∵OD∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BE=CE，即E为BC的中点；（2）解：设圆O的半径为x，则OB=OD=x，OE=x−3，BE=1在中，，∴x2解得x=17∴AB=2x=342．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形ABCD是半径为r的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足∠CFE=45°．(1)求证：直线直线CE；(2)若AB=DG．①求证：△ABC≌△GDE；②若半径r=2,CE=3，求四边形ABCD的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②7+2【分析】（1）在⊙O中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD=45°，结合已知在△CFE中根据三角形内角和定理可求得∠FEC=90°；（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC=∠GDE，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得∠ACB=∠GED，结合已知即可证得△ABC≌△GDEAAS②在⊙O中由r=2，可得AB=4，结合题意易证DA=DB，在Rt△ABC中由勾股定理可求得，由①可知易得BC+CD=DE+CD=CE【详解】（1）证明：在⊙O中，∵AD∴∠ACD=∠ABD=45°，即∠FCE=45°，在△CFE中，∵∠CFE=45°，∴∠FEC=180°−∠FCD+∠CFE即直线直线CE；（2）解：①四边形ABCD是半径为r的⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠GDE=180°，∴∠ABC=∠GDE，是⊙O的直径，，由（1）可知∠GED=90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE∠ACB=∠GED∴△ABC≌△GDEAAS②在⊙O中，r=2，，是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△∴DA即2DA解得：，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=3，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=4+22【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接交CD于点G，CG=AG，连接AC．(1)求证：AC∥DF；(2)①_____°；②若AB=12，由①中结论求GD的长．【答案】(1)见解析(2)①60；②【分析】（1）根据CG=AG得到∠CAG=ACG，再根据圆周角定理得出∠AFD=∠ACD，进而得到∠AFD=∠CAG，即可求证；（2）①由题意可得OD=OA=12AB=6，DF=12，证明△ACE≌△ODEASA，得到AC=OD=6，AE=OE=12OA=3②利用勾股定理求出CE=AC2−AE2=33，进而得到【详解】（1）证明：∵CG=AG，∴∠CAG=∠ACG，∵∠AFD=∠ACD，∴∠AFD=∠CAG，∴AC∥DF；（2）解：①∵AB=12，∴OD=OA=12AB=6∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠ODE，在△ACE和△ODE中，∠ACE=∠ODECE=DE∴△ACE≌△ODEASA∴AC=OD=6，AE=OE=1∴cos∴∠CAE=60°∴∠C=30°∴∠AOD=2∠C=60°；②根据勾股定理可得：CE=A则CD=63∵∠ACG=∠GFD，∠CAG=∠GDF，∴△ACG∽△DFG，∴AGDG∵CG=AG，∴AGDG=CG∴DG=2【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键．题型十切线的性质和判定的综合应用例10.（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）A．20° B．40° C．50° D．60°【答案】C【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键．由等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B=20°，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到∠OAP=90°，由直角三角形的性质即可求出∠P的度数．【解答】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠B=20°，∴∠AOP=∠B+∠OCB=40°，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠P=90°−∠AOP=50°．故选：C．巩固训练1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=1A．43 B．477 C．3【答案】D【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆切线的判断和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，正切定义，是解决问题的关键．连接BD，ED，根据平行线性质得到∠ABD=∠BDC，证明AB是⊙D的切线，根据为⊙D的切线，得到BC⊥DE，AB=BE，证明Rt△ABD≌Rt△EBDHL，得到∠ABD=∠DBC，得到∠BDC=∠DBC，得到BC=CD，根据ABCD=13，设【详解】解：如图，连接BD，ED，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵为⊙D的切线，∴BC⊥DE，AB=BE，∵BD=BD，∴Rt△∴∠ABD=∠DBC，∴∠BDC=∠DBC，∴BC=CD，∵ABCD∴设AB=BE=a，则BC=CD=3a，∴CE=BC−BE=2a，∴DE=C∴tanC故选：Ｄ．2．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．连接OB，当OA=3，OC=1时，则线段BD的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可证得BD为圆O的切线；设BD=x，则OD=x+1，在Rt△OBD中，根据勾股定理得出【详解】解：连接OB，

∵OA=OB，DC=DB，∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，∵AO⊥OD，∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，则BD为圆O的切线；解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，在Rt△OBD中，O即32解得x=4，∴线段BD的长是4．故选：B．3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且，则线段AE的长是（）A．245 B．5 C．194 【答案】A【分析】连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF=5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．【详解】解：连接OD，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin，在Rt△AEF中，∵sin故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．题型十一利用切斜长定理求解例11.（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，AD、AE是⊙O的切线，D、E为切点，BC与⊙O相切于点F，分别交AD、AE于点B、C．若△ABC的周长为16，则切线长AD为（

）A．6 B．7 C．8 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了切线长定