第六章脉冲响应函数

1、第6章脉冲响应函数的辨识6.1辨识问题的提法下图所示，、将作用在系统上的一切随机干扰和噪声，用一个作用于系统输出的等效随机干扰源v(t)来代替。其中，输入信号u(t)是过程的运行操作信号 是可以直接观测的确定性变量；yu(t)是过程的实际输出，是不能被观测到的；y(t) 是过程的观测输出，混有随机噪声 v(t)由此可以提出辨识问题：在已知输入、输出的观测量u(t)、y(t)以及tf ( tf可以根据脉冲响应过渡历程时间的先验知识作粗略估计)的情况下，要求估计出脉冲响应函数g(t)。下面介绍两种辨识脉冲响应函数的常用方法：相关分析法和最小二乘法。6.2用相关分析法辨识脉冲响应函数相关函数是基于一

2、种统计的描述，是由输出信号y(t)同其余变量之间的关系确定脉冲响应函数。假定噪声v(t)是一个零均值平稳随机过程，并与u(t)不相关,且过程是线性时不变的、因果性的系统，过程的未知脉冲响应函数为g(t)，则过程的输入、输出和脉冲响应函数之间的基本关系如下：yu(t)二 0 g(t - )u( )d(6.1)tfy(t)g(，;: )u( ) v(t)(6.2)把变量t用t 代换，得tfy(t+O= g“Qu(t+v(t(6.3)由于已经假设v(t)与输入信号u(t)不相关，因此对应的相关系数RuvC)"，是可得维纳-霍夫方程。tfRuy()二 0 g( ')Ruu(t - J

3、d'(6.4)若将(6.4 )离散化，得到离散型 Wiener-Holf方程：N J(6.5)(6.6)(6.7)Ruy(k)八 g(i)Ruu(ki J0式中.Vt为g(t)的采样周期，N i二tf ；io -M /Ruu (k)=' u(i-k)u(i)i ±1Ry(rio -M 1' u(i -k)y(i)i 土M为足够大的整数，i o为计算起点6.3用最小二乘法辨识 脉冲响应函数假定对连续信号u(t)和y(t)以氏为周期进行采样，当t足够小时，u(t)和y(t)在采样期间可看成是常数。在dt，并令 g(k.：t).：t =h(k.：t)时，有N Ay(

4、kit)=' h(iit)u(kit - i =t) v(k=t)(6.8)i =0将观测数据代入，可形成 m+1线性方程组，写成矩阵方程形式：y = Uh v(6.9)定义误差矢量为：v 二 y - Uh(6.10)要求指标函数J相对于h达到最小：J 二vTv =(y -Uh)T(y -Uh) (6.11)其定义为一个矢量函数I?，使得由于干扰噪声引起的误差的平方和最小。可直接得到最小二乘估计h:I?( UTU)-1UTy(6.12)6.4最小二乘辨识与相关分析法辨识的关系已知脉冲响应的最小二乘估计为：?( UTU)-1UTy (一UTU)"一 UTy) = Fd (6.1

5、3)m + 1m+1假设输入输出序列；u(k)1, fy(k)?是平稳的和遍历的随机序列，由m个数据构成输入自相关函数Ruu(k)，输入输出的互相关函数关系为 Ruy(k)，贝U1 io mRuu(k)u(j)u(j -k) (6.14)m+1 j 占1 io mRuy(k)= - u(j-k)y(j) (6.15) m + 1 其中io为任意正整数，表示在时间序列中相关函数计算的起点。相关分析法辨识具有最小二乘估计的性质，最小二乘的解也可以建议起离散型Wiener-Holf 方程。6.5激励信号的选择选择激励信号是为了提高辨识精度和缩短辨识时间。1随机白噪声作激励信号白噪声的相关函数为：Ru

6、u()=；"、(.)(6.16)其中，()为Kronecke函数，匚2为白噪声的方差。采用白噪声作为激励信号的相关分析方法辨识过程的脉冲响应函数的结构图如下：v(t)图中T -进为采样周期，q2为方差2随机信号作为激励信号用随机信号作为激励信号计算互相关函数 Ruy(k),理论上要用无限长时间的 观测数据。为了减少时间，可用“周期性的随机信号”，即伪随机信号作为激励 信号。u(t)在(0，T)时间内为白噪声，在此时间以外是周期函数，相关函数的计 算如下：1 nT1 T血=lim 0 u(t)u(t )dt °u(t)u(t )dt (6H7) nHnT 0T o伪随机信号u

7、(t)的自相关函数Ruu( )不需要在无穷大时间内计算，只需在一个周 期为T内计算。类似可得：0 g( ') T 0 u(t)u(t 叽)dt d'1 T o u(t)y(t )dt (6.佝用这样的信号作为激励信号，可得Ruy0 g( )Ruu( -)d' rfh(.) Vh(. T)(6.19)若 T> tf，当 t _T 时，有 h(t) 0，则Ry( ) =()(6.20)-6 -# -3随机二位式序列(PRB$作激励信号目前实际使用最多的是所谓伪随机二位式序列 (PRBS)。其中，最大长度二 位式序列，简称“ M序列”。由自相关函数定义，可以计算出“ M

8、”序列的自相关 函数：aNmNm 1N M一1)：t. (6.21)可以看出，如果-t 0，且N M “ 时，“ M序列”的自相关函数就接近于伪随 机白噪声信号的自相关系数。6.6用伪随机二位式序列(PRBS辨识脉冲响应函数假设输入、输出信号的采样周期与“ M序列”的时钟脉冲同步，即 t相同, 且令“ =1。取“M序列”的长度Nm为Nm 二 N (6.22)-# -根据周期函数的相关函数计算公式和离散化相关函数计算公式, 刻为i。二k，即可得到并取起点时1"NMk -Nm 1' u(i -k)u(i)i 士(6.23)Ruy(k Nm4 k Nm d1' u(ik)y(i) (6.24)i主-7 -RUk)才k = iN m ；i =0,1,.,计算“序列”的自相关函数fa2,a2N mk 二 iN m ；i 二0,1,.,(6.25)-# -# -式中a为“M序列”的幅值。11 1Nm-1N M由于© = a2N m丄1N M1nM(6.26)并由Nm二N，可得到脉冲响应序列_21 . n Ruy(0)11 2 . 1aaaRuy(1)J 1 . 2一；Ruy(N -1)_h?的计算公式:(6.27)-# -# -令