专题03数列的解答题综合提升篇

1、专题三 数列的解答题以等差数列和等比数列综合题【背一背重点知识】1等差数列及等比数列的广义通项公式：；2一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列；3等差数列及等比数列前n项和特征设法：【讲一讲提高技能】1必备技能：涉及特殊数列（等差数列或等比数列）一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比；由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算两次”的思想解决问题2典型例题：例1【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列的前项和为，（I）求的值；（II）求数列的前项和【答案】（I）1；（II）【解析】【试题分析】

2、（I）利用化简已知得，这是一个等差数列，由此求得的通项公式，再利用求得，用等差数列的性质求出的值（II）由（I）求得是个等差数列，故用裂项求和法求得数列的前项和【试题解析】（II） 由（I）可得，所以所以，即【方法点晴】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等例2【2018河北沧州高三上学期教学质量监测】在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和【

3、答案】（I）；（II）当时，；当时，试题解析：解：（）设等差数列的公差为，则，解得数列的通项公式为（）数列是首项为1，公比为的等比数列，即当时，；当时，【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1或q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误【练一练提升能力】1【2018百校联盟TOP20一月联考（全国卷）】正项数列满足，数列为等差数列，（I）求证：是等比数列，并求的通项公式；（II）令，求数列的前项和【答案】（I）证明见解析，（II）【解析】试题

4、分析：（I）将条件整理可得，可得，从而证得数列是等比数列，求出后根据题意可得，进而求得（II）由（I）得，根据数列通项公式的特点，对数列求和时先分组，再分别用错位相减求和及公式求和可得结果试题解析：（I）由题可得，又， 数列是首项为，公比为3的等比数列 ， ，由题意得，解得（II）由（I）得，令 ，则，得所以2【2018四川绵阳南山中学高三二诊热身考试】已知等差数列中，公差，且成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）由题意可得解得即可求得通项公式；（II），裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以

5、存在，使得成立，即存在，使得成立求出的最大值即可解得的取值范围试题解析：（I）由题意可得即又因为，所以所以（II）因为，所以 因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立又（当且仅当时取等号）所以，即实数的取值范围是以求递推数列的通项公式和求和的综合题【背一背重点知识】1234求和方法：累加、累乘、裂项相消、错位相减【讲一讲提高技能】1必备技能：会由与的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列），进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n项的和2典型例题：例1【2018江西临川二中、新余四中高三1月联合考试】已知等差数列的前项和为，

6、数列是等比数列，满足，（I）求数列和的通项公式；（II）令，设数列的前项和，求【答案】（I） ；（II）试题解析：（I）设数列的公差为，数列的公比为，由，得解得，（II）由，得，则为奇数时，为偶数时， 【方法点睛】裂项相消法适用于形如（其中数列各项均不为零的等差数列，为常数）的数列，一类是常见的有相邻两项的裂项求和，如本题；另一类是隔一项的裂项求和，如或例2【2018广东珠海市高三3月质量检测】已知数列的前项和为，满足，（I）求数列的通项；（II）令，求数列的前项和【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）第（I）问，一般利用项和公式求数列的通项（II）第（II）问，一般利用错位相减求数

7、列的前项和试题解析：（I），-得， ，时，即时，数列是为首项，为公比的等比数列，（II） ，则， ， ，-得 = 【名师点睛】数列求和方法中有两类方法是对应于特定的数列，如是等差数列，是等比数列，则数列的前项是用错位相减法求得，数列的前项和是用裂项相消法求得特定的数列，特定的方法一定要记住【练一练提升能力】1【2018福建福州高三3月质量检测】已知等差数列的前项和为，且（I）求；（II）若，求数列的前项和【答案】（I）（II） 【解析】试题分析：（I）利用等差数列基本公式求得通项公式；（II）由可知，利用错位相减法求和或待定系数法求和试题解析：（I）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，解得所

8、以（II）由（I）知，所以，所以，所以，所以，解得，所以，所以2【2018河南濮阳市高三一模】已知数列是等差数列，（I）求数列的通项公式；（II）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和【答案】（I）；（II）（II）若数列为递增数列，则，所以，所以，所以，所以解答题（共10题）1【2018四川高三“联测促改”活动联考】已知数列满足：，（I）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（II）设，数列的前项和为，求证：【答案】（I）；（II）见解析【解析】试题分析：（I）由题意可得递推关系：，整理可得：，即是等比数列，结合首项可得，（II）结合（I）整理数列的通项公式可得：，裂项求和有试题解析：（I

9、）解：由知，代入得：，化简得：，即是等比数列，又，则，进而有（II）证明：由于，所以2【2018湖北武汉武昌区高三1月调研】已知数列的前项和（I）求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项和【答案】（I）；（II）【解析】【试题分析】（I）利用公式，可求得数列的通项公式（II）化简的表达式，由于它是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减法来求其前项和3【2018河南豫南九校高三下学期第一次联考】设正项等比数列，且的等差中项为（I）求数列的通项公式；（II）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的取值范围【答案】（I）（II）【解析】【试题分析】（I）利用基本元

10、的思想将已知转化为的形式列方程组解出，由此得到通项公式（II）化简，是个等差数列，求得其前项和为，利用裂项求和法可求得的值，代入不等式，利用分离常数法可求得【试题解析】（I）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，所以 （II）由（I）得，若恒成立，则恒成立，则，所以4【2018河北衡水中学高三上学期九模】已知在数列中，（I）求数列的通项公式；（II）若，数列的前项和为，求【答案】（I） （II）当为奇数时， ，当为偶数时， 【解析】试题分析：试题解析：（I）因为，所以当时，所以，所以数列的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列又，所以当为奇数时，；当为偶数时，所以（II）因为，所以讨论：当为

11、奇数时， ；当为偶数时， 5【2018河北邯郸高三1月教学质量检测】已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为（II）结合（I）的结论有，分钟求和可得试题解析：（）因为，故，得；设，所以，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故（）由（）可知，故6【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知是等比数列，满足，且（）求的通项公式和前项和；（）求的通项公式【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）由，令 可解得，从而可得的通项公式和前项和；（II

12、）结合（I）的结论，可得，从而得时，两式相减、化简即可得的通项公式试题解析：（） ，是等比数列，的通项公式为，的前项和（）由及得，时，的通项公式为7【2018上海浦东新区高三一模】已知等差数列的公差为2，其前项和（，）（I）求的值及的通项公式；（II）在等比数列中，令（），求数列的前项和【答案】（I） ；（II）【解析】试题分析：（I）由求得的值及的通项公式；（II）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可试题解析：（I）， （II），当时， ，当时，是偶数， ，8【2018湖南永州高三第二次模拟考试】在数列中，（I）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（II）令，求数列的前项和【答案】（I）

13、答案见解析；（II）【解析】试题分析：（I）可化为，由此数列构成首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；（II）由（I）可得，利用错位相减法可得数列的前项和试题解析：（I）由条件得，又时，故数列构成首项为1，公比为的等比数列从而，即（II）由得，两式相减得：， ，故9【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数的图象过原点，对，恒有成立，设数列满足（I）求证：对，恒有成立；（II）求函数的表达式；（III）设数列前项和为，求的值【答案】（I）证明见解析；（II）；(3)2018【解析】试题分析：（I）左右两侧做差，结合代数式的性质可证得，即对，恒有：成立；（II）由已知

14、条件可设，给定特殊值，令，从而可得：，则，从而有恒成立，据此可知，则(3)结合（I）（II）的结论整理计算可得：，据此分组求和有：试题解析：（I）（仅当时，取“=”）所以恒有：成立（II）由已知条件可设，则中，令，从而可得：，所以，即，又因为恒成立，即恒成立，当时，不合题意舍去，当时，即，所以，所以（III），所以，即10【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率（I）分别写出的值；（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；（III）求【答案】（I）；（II）；（III）【解析】试题分析：（I）由题意得经过1步不可能从点A回到点A，故；经过2步从点A回到点A的方法有