第三章向量组(修订版)

1、 第三章第三章 向量组向量组线性代数期中考试： 9月27日晚上7：00-8：30（可进入宣城校区教务办公室网站查询考试时间和具体考试地点3.13.1向量组的线性表示向量组的线性表示一一. .向量向量12,naaa 12(,).Tma aa 2 2、向量的线性运算、向量的线性运算（1 1）加减法；）加减法； （2 2）数乘）数乘 （参考矩阵的加减法和矩阵的数乘）（参考矩阵的加减法和矩阵的数乘） 123123234,345456 是是3 3个四维的列向量组个四维的列向量组. . 1234(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6)TTTT 是是4个三维的行向量组。个三维的行向量组

2、。 4 4向量组和矩阵的关系向量组和矩阵的关系123123234,345456 123, 123234345456 1234TTTT 对于列向量组对于列向量组对于行向量组对于行向量组1234(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)(4,5,6)TTTT 123234345456 反过来看：反过来看：即矩阵的即矩阵的特殊分块特殊分块5 5、非齐次方程组的向量表示、非齐次方程组的向量表示1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb nnxxx 1212, nnxxx 1122 齐次线性方程组的向量表示齐次线性方程组的向量表示nnmmmnnaaaxaaaxaaax

3、11121121222212000 nnxxx1212,0 nnxxx11220 二、向量组的线性表示二、向量组的线性表示（以列向量为对象）（以列向量为对象）例如：例如：12321101,2 ,1,31123aaab 则则 b 能由能由123,aaa线性表示线性表示.事实上解方程组事实上解方程组112233x ax ax ab 123123123202323xxxxxxxxx 即解方程组即解方程组得得所以，所以，122baa 123111210 xxcx 定理定理1:12,m 12(,)mA Axb 有解，其中有解，其中 向量向量 b可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 三三. . 向量组的

4、等价向量组的等价【注注】向量组能向量组表示的矩阵表示向量组能向量组表示的矩阵表示BA3.23.2向量组的线性相关性向量组的线性相关性一.定义123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) .TTTeee 1231,2,3,2,3,4,3,5,7;TTT 相关相关相关相关无关无关1 答答案案：事实上n 维向量组维向量组 线性相关线性相关m ,21定理定理:0Ax 有有非非零零解解, , mA ,21 其其中中推论：推论： n 维向量组维向量组 线性无关线性无关m ,210Ax 只只有有零零解解, , 12,mA 其其中中例例: ),(,),(,),(:742520111321 已已知知

5、试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的的321, 21, 线性相关性线性相关性.解：设解：设1122330 xxx即即123102012401570 xxx 系数行列式系数行列式1021240157 齐次线性方程组有非零解，所以向量齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关线性相关123, 向量向量12, 对应分量不成比例，所以线性无关。对应分量不成比例，所以线性无关。二二. .相关定理相关定理( (或结论或结论) )12,s 12,t 12,s 【结论结论9 9】若向量组若向量组可由可由且且则则,st 线性表示，线性表示，线性相关。线性相关。（课本（课本P86性质性质3.7）12,s

6、 12,t 12,s 【结论结论1010】若向量组若向量组可由可由且且则则,st 线性表示，线性表示，线性无关，线性无关，（课本（课本P86推论推论3.1）【结论结论1111】两个线性无关的等价向量组必有相同两个线性无关的等价向量组必有相同向量的个数。（向量的个数。（课本课本P86推论推论3.2）【例例3】讨论向量组讨论向量组的线性相关性。的线性相关性。1231322 ,2 ,0354 相关相关无关无关112223313, 证明：向量证明：向量线性无关。线性无关。123123101(,)(,) 110011 因因1011100011 证：证：123, 故故线性无关。线性无关。并且并且能能不能不

7、能3.3向量组的秩与极大线性无关组向量组的秩与极大线性无关组一、定义和性质一、定义和性质向量组向量组 12:,mA 12(,)mR 的秩也记作的秩也记作证：只需证明证：只需证明 A中的任意中的任意 r+1个向量都线性相关。个向量都线性相关。12112(,)(,)rrRRr 121,r 设设 为为 A中的中的 r+1个向量，个向量，由由(2)知，这知，这 r+1个向量能由个向量能由 A0 线性表示，故线性表示，故因此，这因此，这 r+1个向量线性相关。个向量线性相关。等价定义的证明：等价定义的证明：注注:（4）向量组）向量组 A能由最大无关组线性表示。能由最大无关组线性表示。（3）向量组的）向量

8、组的最大无关组最大无关组一般一般不是唯一的不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（6）秩为）秩为r的向量组中任意的向量组中任意r个线性无关的向量都是它的个线性无关的向量都是它的最大线性无关组。最大线性无关组。例如：在向量组例如：在向量组 中，中， 1231010 ,1 ,1000 12, 首先首先线性无关，又线性无关，又123, 线性相关，线

9、性相关，所以所以12, 是一个极大无关组。是一个极大无关组。还可以验证还可以验证23, 也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。vB中最高阶非零子式所在的列向量对应A中的列向量即为向量组的极大线性无关组v继续将矩阵作初等行变换化为行最简形，v则利用行最简形，可将其余向量由最大无关组线性表示。v原理：对矩阵进行初等行变换不改变其列向量组的线性相关性。例：向量组例：向量组12345( 7, 2,1, 11) ,(1, 1,5,8)(3,1, 1,4) ,(5,3, 7,0) ,( 4, 2,1, 11) 求向量组的秩和一个极大无关组。求向量组的秩和一个极大无关组。解：解：7135421132151

10、711184011 1517121132713541184011 12345(,)A 1517109111003644430637770 151710911100000300000 125, 是一个极大无关组。是一个极大无关组。()3R A （3 3）两个等价向量组的最大无关组等价）两个等价向量组的最大无关组等价. .证：矩阵证：矩阵 A 经过初等行变换变为行最简形经过初等行变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，所以，A的秩的秩 A的列向量组的秩的列向量组的秩同理，同理，AT 的秩的秩 AT 的列向量组的秩的列向量组的

11、秩A 的行向量组的秩的行向量组的秩但是，但是， A 的秩的秩 AT 的秩，所以结论成立的秩，所以结论成立 10104011030001300000 BAAB3.4 3.4 向量空间向量空间【注注】向量空间必含零向量向量空间必含零向量一、向量空间的定义一、向量空间的定义是是是是是是不是不是是是（称为（称为解空间解空间）【注注】等价的向量组所生成的向量空间是相等的等价的向量组所生成的向量空间是相等的. .( (课本课本P91P91例题例题3 3） 二、生成空间二、生成空间 三、向量空间的基、维数与坐三、向量空间的基、维数与坐标标 1 1、基、维数、基、维数【注注】基给定后，求一个向量的坐标基给定后，求一个向量的坐标 就是求非齐次线性方程组的解。就是求非齐次线性方程组的解。2 2、坐标、坐标T 011132 ,244P 答答案案：【注注】显然过渡矩阵一定是可逆矩阵显然过渡矩阵一定是可逆矩阵定理（课本定理（课本P94P94定理定理3.53.5）3.5 3.5 标准正交向量组标准正交向量组（2 2） 内积的性质内积的性质(1) , , ;