基本不等式完整版(非常全面)96099

1、WORD格式实用标准根本不等式专题辅导专业资料整理WORD格式一、知识点总结1、根本不等式原始形式 1假设a, bR ，那么 a 2b22ab 2假设a, bR ，那么aba 2b 222、根本不等式一般形式均值不等式假设 a,b R *，那么 a b2ab3、根本不等式的两个重要变形 1假设a, bR*，那么abab22 2假设a, bR*a b，那么 ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 ab 时取“=4、求最值的条件：“一正，二定，三相等5、常用结论 1假设x0 ，那么x12( 当且仅当x1时取“

2、 =x12 (当且仅当x1 时取“= 2假设x 0，那么xx 3假设ab0 ，那么ab2( 当且仅当ab 时取“=baR ，那么ab (a b)222 4假设a, bab22 5假设a, b*1ababa 2b2R ，那么1122ab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab 时取“=6、柯西不等式 1假设a, b, c, d R，那么( a2b2 )(c2d 2 )( acbd) 2 2假设a1,a2, a3,b1, b2,b3R ，那么有：(a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2a3b3 )2（ 3设a1, a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数，那么有(

3、a12a22an2 ) ( b12b22bn2 )(a1b1a2b2anbn ) 2二、题型分析题型一：利用根本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式:ab 211ab2 、已知a, b, c为两两不相等的实数，求证：a 2b 2c2abbc ca3、abc1，求证：a2b2c2134、已知a, b, cR ，且ab c 1 ，求证：(1a)(1b)(1c)8ab c5、已知a, b, cR ，且ab c 1 ，求证：1111118abc6、2021年新课标卷数学理选修 4 5：不等式选讲设 a, b, c 均为正数,且ab c 1,证明:( )ab1a2b2c2bc ca; ()c

4、1.3ba7、2021年XX卷数学选修4 5：不等式选讲 ab0 ，求证:2a3b32ab 2a 2 b题型二：利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域 1y 3x212 2y x(4 x)2x专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准 3y x1 ( x 0) 4y x1 ( x 0)51xx2、x的最大值；，求函数 y 4 x 24x45题型三：利用不等式求最值一凑项1、x 2，求函数y 2x4题型四：利用不等式求最值二凑系数4的最小值；2x4时，求 y x(82x) 的最大值；1、当变式 1：x2 ，求函数4的最小值；y 2x42x变式 1：当时，求 y4x(8 2

5、x) 的最大值；变式 2：x2 ，求函数4的最大值；y 2x432x变式 2：设0 x4x(3 2x) 的最大值。，求函数 y2练习： 1、x51的最小值；2、假设0x 2 ，求yx(6 3x) 的最大值；，求函数 y 4 x 244x5专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准变式：假设 0 x4 ，求 yx(8 2x)的最大值；法二：15变式 1：a, b0, a 2b 2 ，求 t11 的最小值；3、求函数) 的最大值；aby2x 1 5 2 x(x22提示：平方，利用根本不等式变式 2：x, y0, 281 ，求xy的最小值；xy专业资料整理WORD格式变式：求函

6、数y4 x 311 4x( 3x11)的最大值；44变式 3：题型五：巧用“ 1的代换求最值问题1、a, b0, a 2b 1 ，求 t11变式 4：的最小值；ab法一：x, y 0 ，且119 ，求 xy 的最小值。xyx, y 0 ，且194 ，求xy 的最小值；xy专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准变式 5： 1假设x, y0 且2xy1，求11的最小值；变式：求函数 yx28 (x 1) 的值域；xyx1 2假设a, b, x, y R且ab1，求 xy 的最小值；xyx22、求函数y的最大值；提示：换元法2x5变式 6：正项等比数列an满足： a7a6

7、2a5，假设存在两项 am , an，使得aman4a114，求的最小值；mnx1变式：求函数 y的最大值；4x9题型六：别离换元法求最值了解题型七：根本不等式的综合应用x27x 101、log2alog 2 b 1 ，求 3a9b的最小值1、求函数yx 1( x1) 的值域；专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准2、2021XXa, b0，求112 ab 的最小值；变式 1：a,b0 ，满足aba b 3 ，求 ab X围；ab变式 1：2021XX如果a b 0，求关于 a, b 的表达0 ，111 ，变式 2：2021XXx, y式 a2112x2 y3的最小值

8、；求 xy 最大值；提示：通分或三角换元aba(ab)变式 2：2021XXXX诊断，当a 0, a 1 时，函数 ylog a ( x1) 1的图像恒过定点A ，假设点 A在直变式 3：2021XXx, y0 ， x2y2xy 1，线 mxy n 0mn求 xy 最大值；上，求 42 的最小值；3、x, y0 ， x 2 y 2xy8 ，求 x4 、2021年XX理设正实数 x, y, z 满足2 y 最小值；z 0 ,那么当xyx23xy4 y2取得最大值z时 ,212的最大值为xyz专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准A 0B1C9D 34提示：代入换元, 利

9、用根本不等式以及函数求最值2、xy z 0且11n恒成立，x yy zx z如果 nN ，求n的最大值；参考：4提示：别离参数，换元法变式：设 x, y, z 是正数，满足x 2 y 3z0，求 y2的xz最小值；变式： a,b0 满那么142 ，假设abc 恒成立，ab求 c 的取值X围；题型八：利用根本不等式求参数X围题型九：利用柯西不等式求最值0 ，且 ( x y)( 1a )1、二维柯西不等式1、2021XX检测x, y9R , 当且仅当ab；即 adbc时等号成立 )xy(a , b, c, d恒成立，求正实数 a 的最小值；cd假设 a, b, c, dR ，那么 ( a2b2 )

10、(c2d 2 )(ac bd ) 2专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准2、二维形式的柯西不等式的变式(1) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, d R , 当且仅当a b；即ad bc时等号成立 ) c d(2) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, dR , 当且仅当ab；即adbc时等号成立 )cd(3)(a b)(cd ) ( acbd )2(a , b, c, d0 , 当且仅当ab；即 adbc时等号成立 )cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0, 或存在实数 k ,使 ak时,等号成立)4、三维柯西不等式假设 a1,a

11、2 , a3, b1 ,b2 , b3R ，那么有：(a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2(ai , biR , 当且仅当a1a2a3时等号成立 )b1b2b35、一般n维柯西不等式设 a1 ,a2 , an与b1, b2 , bn是两组实数，那么有:222)( b 2b2b 2 )1122n n2(a1a2an12n(a b a ba b )(ai , biR , 当且仅当a1a2an时等号成立 )b1b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x, y, zR ，假设 x2y2z24，那么 x 2y2z 的最小值为时， ( x

12、, y, z)析： (x 2 y 2z)2( x2y 2z2 )12( 2)222 4936 x 2y 2z 最小值为6此时xyz12622212 2( 2)23 x2， y4433， z32、设x, y, zR ， 2x y 2z6 ，求 x2y 2z2的最小值 m ，并求此时x, y, z之值。Ans ：m4;( x, y, z) ( 4 ,2 ,4)3333、设x, y, zR ，2x3 y z 3 ，求 x 2( y 1)2z2之最小值为，此时 y析： 2x3y z 32x 3( y 1)z 0 4、2021年XX卷理a, b, c, a2b3c6,那么 a24b29c2的最小值是(Ans:12 )专业资料整理WORD格式文档