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文档简介

1、WORD格式实用标准根本不等式专题辅导专业资料整理WORD格式一、知识点总结1、根本不等式原始形式 1假设a, bR ,那么 a 2b22ab 2假设a, bR ,那么aba 2b 222、根本不等式一般形式均值不等式假设 a,b R *,那么 a b2ab3、根本不等式的两个重要变形 1假设a, bR*,那么abab22 2假设a, bR*a b,那么 ab2总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当 ab 时取“=4、求最值的条件:“一正,二定,三相等5、常用结论 1假设x0 ,那么x12( 当且仅当x1时取“

2、 =x12 (当且仅当x1 时取“= 2假设x 0,那么xx 3假设ab0 ,那么ab2( 当且仅当ab 时取“=baR ,那么ab (a b)222 4假设a, bab22 5假设a, b*1ababa 2b2R ,那么1122ab特别说明:以上不等式中,当且仅当ab 时取“=6、柯西不等式 1假设a, b, c, d R,那么( a2b2 )(c2d 2 )( acbd) 2 2假设a1,a2, a3,b1, b2,b3R ,那么有:(a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2a3b3 )2( 3设a1, a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数,那么有(

3、a12a22an2 ) ( b12b22bn2 )(a1b1a2b2anbn ) 2二、题型分析题型一:利用根本不等式证明不等式1、设a,b均为正数,证明不等式:ab 211ab2 、已知a, b, c为两两不相等的实数,求证:a 2b 2c2abbc ca3、abc1,求证:a2b2c2134、已知a, b, cR ,且ab c 1 ,求证:(1a)(1b)(1c)8ab c5、已知a, b, cR ,且ab c 1 ,求证:1111118abc6、2021年新课标卷数学理选修 4 5:不等式选讲设 a, b, c 均为正数,且ab c 1,证明:( )ab1a2b2c2bc ca; ()c

4、1.3ba7、2021年XX卷数学选修4 5:不等式选讲 ab0 ,求证:2a3b32ab 2a 2 b题型二:利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域 1y 3x212 2y x(4 x)2x专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准 3y x1 ( x 0) 4y x1 ( x 0)51xx2、x的最大值;,求函数 y 4 x 24x45题型三:利用不等式求最值一凑项1、x 2,求函数y 2x4题型四:利用不等式求最值二凑系数4的最小值;2x4时,求 y x(82x) 的最大值;1、当变式 1:x2 ,求函数4的最小值;y 2x42x变式 1:当时,求 y4x(8 2

5、x) 的最大值;变式 2:x2 ,求函数4的最大值;y 2x432x变式 2:设0 x4x(3 2x) 的最大值。,求函数 y2练习: 1、x51的最小值;2、假设0x 2 ,求yx(6 3x) 的最大值;,求函数 y 4 x 244x5专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准变式:假设 0 x4 ,求 yx(8 2x)的最大值;法二:15变式 1:a, b0, a 2b 2 ,求 t11 的最小值;3、求函数) 的最大值;aby2x 1 5 2 x(x22提示:平方,利用根本不等式变式 2:x, y0, 281 ,求xy的最小值;xy专业资料整理WORD格式变式:求函

6、数y4 x 311 4x( 3x11)的最大值;44变式 3:题型五:巧用“ 1的代换求最值问题1、a, b0, a 2b 1 ,求 t11变式 4:的最小值;ab法一:x, y 0 ,且119 ,求 xy 的最小值。xyx, y 0 ,且194 ,求xy 的最小值;xy专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准变式 5: 1假设x, y0 且2xy1,求11的最小值;变式:求函数 yx28 (x 1) 的值域;xyx1 2假设a, b, x, y R且ab1,求 xy 的最小值;xyx22、求函数y的最大值;提示:换元法2x5变式 6:正项等比数列an满足: a7a6

7、2a5,假设存在两项 am , an,使得aman4a114,求的最小值;mnx1变式:求函数 y的最大值;4x9题型六:别离换元法求最值了解题型七:根本不等式的综合应用x27x 101、log2alog 2 b 1 ,求 3a9b的最小值1、求函数yx 1( x1) 的值域;专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准2、2021XXa, b0,求112 ab 的最小值;变式 1:a,b0 ,满足aba b 3 ,求 ab X围;ab变式 1:2021XX如果a b 0,求关于 a, b 的表达0 ,111 ,变式 2:2021XXx, y式 a2112x2 y3的最小值

8、;求 xy 最大值;提示:通分或三角换元aba(ab)变式 2:2021XXXX诊断,当a 0, a 1 时,函数 ylog a ( x1) 1的图像恒过定点A ,假设点 A在直变式 3:2021XXx, y0 , x2y2xy 1,线 mxy n 0mn求 xy 最大值;上,求 42 的最小值;3、x, y0 , x 2 y 2xy8 ,求 x4 、2021年XX理设正实数 x, y, z 满足2 y 最小值;z 0 ,那么当xyx23xy4 y2取得最大值z时 ,212的最大值为xyz专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准A 0B1C9D 34提示:代入换元, 利

9、用根本不等式以及函数求最值2、xy z 0且11n恒成立,x yy zx z如果 nN ,求n的最大值;参考:4提示:别离参数,换元法变式:设 x, y, z 是正数,满足x 2 y 3z0,求 y2的xz最小值;变式: a,b0 满那么142 ,假设abc 恒成立,ab求 c 的取值X围;题型八:利用根本不等式求参数X围题型九:利用柯西不等式求最值0 ,且 ( x y)( 1a )1、二维柯西不等式1、2021XX检测x, y9R , 当且仅当ab;即 adbc时等号成立 )xy(a , b, c, d恒成立,求正实数 a 的最小值;cd假设 a, b, c, dR ,那么 ( a2b2 )

10、(c2d 2 )(ac bd ) 2专业资料整理WORD格式文档大全专业资料整理WORD格式实用标准2、二维形式的柯西不等式的变式(1) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, d R , 当且仅当a b;即ad bc时等号成立 ) c d(2) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, dR , 当且仅当ab;即adbc时等号成立 )cd(3)(a b)(cd ) ( acbd )2(a , b, c, d0 , 当且仅当ab;即 adbc时等号成立 )cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0, 或存在实数 k ,使 ak时,等号成立)4、三维柯西不等式假设 a1,a

11、2 , a3, b1 ,b2 , b3R ,那么有:(a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2(ai , biR , 当且仅当a1a2a3时等号成立 )b1b2b35、一般n维柯西不等式设 a1 ,a2 , an与b1, b2 , bn是两组实数,那么有:222)( b 2b2b 2 )1122n n2(a1a2an12n(a b a ba b )(ai , biR , 当且仅当a1a2an时等号成立 )b1b2bn题型分析题型一:利用柯西不等式一般形式求最值1、设x, y, zR ,假设 x2y2z24,那么 x 2y2z 的最小值为时, ( x

12、, y, z)析: (x 2 y 2z)2( x2y 2z2 )12( 2)222 4936 x 2y 2z 最小值为6此时xyz12622212 2( 2)23 x2, y4433, z32、设x, y, zR , 2x y 2z6 ,求 x2y 2z2的最小值 m ,并求此时x, y, z之值。Ans :m4;( x, y, z) ( 4 ,2 ,4)3333、设x, y, zR ,2x3 y z 3 ,求 x 2( y 1)2z2之最小值为,此时 y析: 2x3y z 32x 3( y 1)z 0 4、2021年XX卷理a, b, c, a2b3c6,那么 a24b29c2的最小值是(Ans:12 )专业资料整理WORD格式文档

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