第五章 控制系统稳定性分析-1

1、第五章控制系统的稳定性分析第五章控制系统的稳定性分析5.1控制系统稳定性的基本概念5.2控制系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据5.4乃奎斯特稳定性判据5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.1 控制系统稳定性的基本概念控制系统稳定性的基本概念n稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。n 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。定的前提下进行。n控制理论的基本任务(之一)n 分析系统的稳定性问题分析系统的稳定性问题n 提出保证系统稳定的措施提出保证系统稳定的措施 一稳定性的基本概念和定义设一线性定常系统原处于某一平衡状

2、态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 aFbc5.2系统稳定性的充要条件G(s)H(s)+C(s)R(s)系统传递函数)()()()(1)()(sRsCsHsGsGsGcsjwsjwsPsZssCkjrlilljmii1)()()(111)sincos()(110twFtwDeeBAtcllllrltkjtpjlj一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？ssR1)(分析单位阶跃函数 )sincos()(110twFtwDeeBAtcllllrltkjtpjl

3、j瞬态分量参考输入稳态分量对于输入为阶跃信号的系统要使其稳定，必有： Atct)(lim若 为正，则 发散系统 ljp,)(limtct0l输出为等幅振荡过程属于临界稳定状态 sjwsjwsPsZssCkjrlilljmii1)()()(1110jpKjjtBAtc00)(lim系统进入一个新的平衡状态属临界稳定状态 系统稳定的充要条件：闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面 如果上式稳定则必有 为负才能成立 ljp,对于输入为阶跃信号的系统要使其稳定，必有： 0)(limAtct工程中常用判断系统稳定性的方法：(1)劳斯赫尔维茨判据（RothHurwitz） (2) 奈魁斯特稳定判据(3)

4、对数稳定判据 (4) 根轨迹法5.3代数稳定性判据1 劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 充要条件稳定判据 令系统的闭环特征方程为)553(000122110 aaSaSaSaSannnnn如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值（ai0)（）特征方程式的各项系数均为正值（即ai0)553(000122110 aaSaSaSaSannnnn（）将各项系数，按下面的格式排列劳斯表102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaa

5、aaSaaaaSnnnn 计算sn-2行以下系数的规律：每行都是由该行上边两行的数算得，等号右边的二阶行列式中，第一列是上面两行中的第一列的两个数，第二列是被算数的右上肩的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数3120111aaaaab5140121aaaaab121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中1.1.如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在式的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的

6、。的左半平面，相应的系统是稳定的。2.2.如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在等于该特征方程式的根在S S的右半平面上的个数，相应的系的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。统为不稳定。（）劳斯稳定判据 例已知一调速系统的特征方程式为例已知一调速系统的特征方程式为0103 . 25175 .41423SSS试用劳斯判据判别系统的稳定性试用劳斯判据判别系统的稳定性解：列劳斯表解：列劳斯表401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；该

7、表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半的右半平面。平面。已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为 0)1 (16705175 .4123KSSS求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。解：列劳斯表解：列劳斯表)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：必须全为正值。可得：0)1 (

8、16700)1 (2 .40517KK9 .111K劳斯判据特殊情况劳斯判据特殊情况 1.1.劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。各项不等于零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不系统为不稳定稳定如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属示该方程中有一对共轭虚根存在，

9、相应的系统也属不稳定不稳定是以一个很小的正数来代替为零的这项是以一个很小的正数来代替为零的这项解决的办法解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列已知系统的特征方程式为已知系统的特征方程式为02223SSS试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。由于表中第一列由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表2)(022110123SSSS0例：例：已知特征方程为已知特征方程为 判别系

10、统的稳定性。判别系统的稳定性。 0126322345sssss解：系统各项系数均大于解：系统各项系数均大于0 0 列写劳斯表：列写劳斯表：S4S5S3S1S2S01236210()3/20(6-3)/1m1m=1.5-2/(6-3)1.5(6-3)/-第一列含有负数，系统不稳定第一列含有负数，系统不稳定 2.劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。解决的办法解决的

11、办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。反的实根或共轭虚根。相应的相应的系统为不稳定系统为不稳定一个控制系统的特征方程为一个控制系统的特征方程为 0161620128223456SSSSSS列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS2,2jj显然这个系统处于临界(不)稳定状态。 16122)(24sssFssdssdF

12、248)(30) 4)(2( 2) 86( 216122)(222424sssssssF劳斯判据的应用为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线方程中是否有根位于垂线右侧。右侧。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。azass1代入原方程式中，得到以代入原方程式中，得到以 1sa01sas稳定判据能回答特征方程式的根在稳定判据能回答特征方程式的根在S S平面上的分布情况，而不能确定平面上的分布情况

13、，而不能确定根的具体数据。根的具体数据。解决的办法解决的办法设设实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离虚轴有左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。一定的距离。用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右半平面上，并检验有几个根在垂线1S的右方。的右方。 解：列劳斯表 42 .121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。1sa0-1令1 ZS代入特征方程：代入特征方程：04) 1(3) 1(10)

14、1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在1S的右方。的右方。列劳斯表列劳斯表12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。的右方。041310223SSS已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答 )(sR)(sCsKt）（10) 5(20sss)(sGc1)(sGc时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统是否稳定？ ssKsGpc) 1()(时，闭环系统的稳定条件是什么？时，闭环系统的稳定条件是什么？ 1.2.闭环系统的

15、闭环系统的特征方程为特征方程为0205015020)10)(5(23SSSSSS排劳斯表排劳斯表 20152075020155010123SSSS 第一列均为正值，第一列均为正值，S S全部位于全部位于左半平面，故左半平面，故 解：解：1. 系统稳定1)(sGcssKsGpc) 1()(开环传递函数 )10)(5() 1(20)()(2SSSSKsGsGpc闭环特征方程为闭环特征方程为 0) 1(20)10)(5(2SKSSSp020205015234ppKSKSSS列劳斯表pppppppKsKKKKsKKsKsKps2015/ )20750(2015201520750201520750020

16、15205010912342.利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。个可调参数对系统稳定性的影响。 欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 0pK 5 .37020750ppKK020525015152075001520750)151520750(20pppppKKKKK5 .26pK5 .260pK5.2.2赫尔维稳定茨判据赫尔维稳定茨判据(Hurwitz stability criterion)系统稳定的条件：系统的特征根全部位于复平面的左半系统稳定的条件：系统的特征根全部位于复平面的左半部分部分

17、条件：条件：（）特征方程式的各项系数全部为正（）特征方程式的各项系数全部为正（）将特征方程式各项系数排成的行列式各阶主（）将特征方程式各项系数排成的行列式各阶主子式大于子式大于0 0设系统特征方程为设系统特征方程为 00111asasasannnn行列式排列如下：行列式排列如下： 13223142531000000000000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn计算各阶主子式：计算各阶主子式：011na02312nnnnaaaa0n 各阶主子式均大于各阶主子式均大于0 0，则方程无正根，系统则方程无正根，系统稳定。稳定。 例：例：已知系统的特征方程如下：判别系统稳

18、定性已知系统的特征方程如下：判别系统稳定性0516188234ssss列写列写n n阶行列式阶行列式51810016800518100168n08101281811682 01728168051810168308690518100168005181001684 各阶主子式均大于各阶主子式均大于0 0，系统稳定，系统稳定 前面介绍的前面介绍的代数代数稳定性判据，都是基于系统的状态方稳定性判据，都是基于系统的状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程上采用系程、微分方程、传递函数等参数模型。工程上采用系统的统的频率特性频率特性等实验数据来分析、设计系统。等实验数据来分析、设计系统。1932193

19、2年，年，美国美国BellBell实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这种方法是种方法是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳定性稳定性，称为，称为奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，或称为映射定理。角原理，或称为映射定理。5 5. .4 4 奈奈奎奎斯斯特稳定判据特稳定判据ss)(sFF001s2s3s)(1sF)(2sF)(3sF(a)(b)图4.5 从S平面到F平面的映射关系 4.1 幅角原理幅角原理 设设F(S)

20、F(S)为一单值复变函数，其零极点图如图为一单值复变函数，其零极点图如图(a)(a)所示。所示。在在S S平面上取一封闭曲线，记为平面上取一封闭曲线，记为 ，要求，要求 不通过不通过F(s)F(s)的任一极点和零点。设的任一极点和零点。设 包围了包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个个极点。记极点。记 在在F F平面上的映射为平面上的映射为 ，因为，因为F(s)F(s)为一单为一单值复变函数，所以，值复变函数，所以， 是惟一的，也是一个封闭曲线，是惟一的，也是一个封闭曲线，如图如图(b)(b)所示。所示。FssssF幅角原理幅角原理：ssFF若若 包围了包围了F(s)F(s)

21、的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，当个极点，当s s顺顺时针沿时针沿 取值时，取值时， 绕绕F F平面的原点的圈数平面的原点的圈数N N为：为： N=Z-PN=Z-P 其中其中 的参考方向为顺时针方向的参考方向为顺时针方向. .F当当 顺时针绕顺时针绕F F平面的原点平面的原点|N|N|圈时，圈时，N0;N0;当当 逆时针绕平面的原点逆时针绕平面的原点|N|N|圈时，圈时，N0N0; ;F当当 不绕平面的原点时，不绕平面的原点时，N=0N=0FC(s)R(s)G(s)H(s)闭环传递函数为闭环传递函数为)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了保证系统稳定，特征方程为了保证系统稳定，

22、特征方程0)()(1sGsH的全部根，都必须位于左半的全部根，都必须位于左半s平面平面。充要条件充要条件)()(sHsG的极点和零点可能位于右半的极点和零点可能位于右半s平面，但如果平面，但如果闭闭环传递函数的所有极点均位于环传递函数的所有极点均位于左半左半s平面，则平面，则系统系统是稳定的。是稳定的。 虽然开环传递函数虽然开环传递函数kjjmiiPsZssHsG11)()()()(系统开环传递函数系统开环传递函数)()(1)()(sHsGsGsGc闭环特征方程闭环特征方程 kjjkjjmiiPsPsZssHsG111)()()()()(1系统闭环传递函数系统闭环传递函数为了应用幅角原理分析系

23、统稳定性，需要进行下列几项为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几项工作。工作。1 1）取）取F(s)=1+G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征方程在右特征方程在右半平面有没有半平面有没有零零点点。下面将幅角原理应用于稳定性分析。下面将幅角原理应用于稳定性分析。A.A.当当G(s)G(s)与与H(s)H(s)没有零、极点对消时，没有零、极点对消时，F(s)F(s)的零点就是的零点就是系统的全部闭环极点或特征根，系统的全部闭环极点或特征根，F(s)F(s)的极点就是系统的的极点就是系统的开环极点；开环

24、极点；B.B.当当G(s)G(s)与与H(s)H(s)存在零、极点对消时，存在零、极点对消时，F(s)F(s)的零点加上的零点加上对消掉的开环极点，就是系统的全部闭环极点。对消掉的开环极点，就是系统的全部闭环极点。下面先讨论下面先讨论G(s)G(s)与与H(s)H(s)没有零、极点对消的情况，导出奈没有零、极点对消的情况，导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明G(s)G(s)与与H(s)H(s)有零、有零、极点对消时的处理方法。极点对消时的处理方法。2 2）选择）选择 包围整个右半包围整个右半S S平面平面sSs0(a)(b)图4.6 奈氏路径RSs0R0r

25、选择包围整个右半选择包围整个右半S S平面平面, ,如图如图(a)(a)所示所示, ,称为称为奈氏路径奈氏路径. .因为因为 不能通过不能通过F(s)F(s)的任一零点和极点，所以，当开环的任一零点和极点，所以，当开环传递函数传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)在原点存在极点时，选择在原点存在极点时，选择奈氏路径奈氏路径如图如图( (b b) )所示。所示。s根据根据幅角原理幅角原理，若，若 包围了包围了F(s)F(s)的的P P个极点，即有个极点，即有P P个开个开环极点在右半平面环极点在右半平面, ,绕平面的原点绕平面的原点N N圈，则系统有圈，则系统有Z Z个闭环个闭环极点在右半极点

26、在右半S S平面平面 : sZ=PZ=P+ +N N 显然：若Z=0，则系统稳定，否则系统不稳定逆时针顺时针NNN3)3)F(s)F(s)平面平面变换到变换到G(s)H(s)G(s)H(s)平面平面F(s)=1+G(s)H(s),F(s)=1+G(s)H(s),将将F(s)F(s)平面的虚轴向平面的虚轴向右右平移平移1 1个单位个单位, ,就就是是G(s)H(s)G(s)H(s)平面平面,F(s),F(s)绕绕F F平面的原点平面的原点N N圈等价于绕圈等价于绕G(s)H(s)G(s)H(s)平面的平面的点点( (-1-1，j0j0) )N N圈。因此，可以得到下列结论：圈。因此，可以得到下列

27、结论：若若 包围了包围了F(s)F(s)的的P P个极点，即有个极点，即有P P个开环极点在右半个开环极点在右半S S平平面，面， 绕绕G(s)H(s)G(s)H(s)平面的（平面的（-1-1，j0j0）点）点N N圈，则系统有圈，则系统有Z=N+Z=N+P P个闭环极点在右半个闭环极点在右半S S平面平面sF4 4）G(s)H(s)G(s)H(s)平面变换到平面变换到 平面平面)()(jHjG下面考察下面考察 的无穷大半圆部分在的无穷大半圆部分在G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的映射平面上的映射. .s 的无穷大半圆上的点可以表达为的无穷大半圆上的点可以表达为: :sjRsRelim则

28、无穷大半圆部分在平面上的映射为则无穷大半圆部分在平面上的映射为: :mnemnabeRabasasabsbsbsHsGmnjnmmnjmnnmRsnnmmsjRjR)()(Relim0101Relim0)lim()()(上式表明，上式表明， 的无穷大半圆部分在的无穷大半圆部分在G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的映射平面上的映射为为G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这一点与平面上的原点或者实轴上的一点，而这一点与频率特性频率特性 在在 的映射重合。因此的映射重合。因此 在平面在平面G(s)H(s)G(s)H(s)上的映射，就是上的映射，就是 . . s)()(

29、jHjGs)()(jHjG当开环传递函数当开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)在原点存在极点时，则取在原点存在极点时，则取前述前述图图( (b b) )所示奈氏路径，这时奈氏曲线应再加上小半圆的映射。所示奈氏路径，这时奈氏曲线应再加上小半圆的映射。奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应)()(jGjH与)()(1jwGjwH在右半在右半s s平面内的零点数和极点数联系起来的判平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法不必求出闭环极点，便可判断系统据。这种方法不必求出闭环极点，便可判断系统的稳定性。的稳定性。 )()(1jwGjwHImReGH平面(-1

30、,j0)若闭环系统稳定则有：若闭环系统稳定则有：Z=0 (Z=P+N)（1）闭环系统稳定的充要条件是：奈氏曲线）闭环系统稳定的充要条件是：奈氏曲线逆时逆时针针包围（包围（-1，j0）点的圈数）点的圈数N=P （2）若开环稳定的情况下（）若开环稳定的情况下（P=0）则闭环系统）则闭环系统稳定的充要条件是稳定的充要条件是N=P=0，即奈氏曲线不包围，即奈氏曲线不包围（-1，j0）点；若）点；若NP则闭环系统不稳定，则则闭环系统不稳定，则闭环右极点为：闭环右极点为：Z=P+N w：-+变化变化2应用奈氏判据注意事项应用奈氏判据注意事项 确定开环右极点数目确定开环右极点数目P时，开环极点若在虚时，开环

31、极点若在虚轴上则按左极点处理（积分环节出现）轴上则按左极点处理（积分环节出现） 若开环频率特性的奈氏曲线刚好通过若开环频率特性的奈氏曲线刚好通过(-1,j0)点，这种情况表明闭环极点位于虚轴上，系统属点，这种情况表明闭环极点位于虚轴上，系统属于临界稳定状态，列入不稳定系统于临界稳定状态，列入不稳定系统 N为开环频率特性奈氏曲线包围为开环频率特性奈氏曲线包围(-1,j0)点圈数时，点圈数时，根据根据奈氏曲线穿过负实轴方向的奈氏曲线穿过负实轴方向的不同不同，有不同结果，有不同结果(-1,j0)ReIm正穿越正穿越 (-1,j0)ReIm负穿越负穿越 负负穿越：奈氏曲线由上而下（沿逆时针方向）穿过穿

32、越：奈氏曲线由上而下（沿逆时针方向）穿过(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴（点左侧的实轴（N N- -表示）表示） 正正穿越：奈氏曲线由下而上（沿顺时针方向）穿过穿越：奈氏曲线由下而上（沿顺时针方向）穿过(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴（点左侧的实轴（N N+ +表示）表示） 穿越：开环奈氏曲线穿过穿越：开环奈氏曲线穿过(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴（有正负）点左侧的实轴（有正负）半次穿越：若奈氏曲线始于或终止于半次穿越：若奈氏曲线始于或终止于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实点左侧的实轴，称为半次穿越（有正负）轴，称为半次穿越（有正负）负负半次穿越：奈氏曲线沿逆时

33、针方向起始于或终止半次穿越：奈氏曲线沿逆时针方向起始于或终止于于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴，称为点左侧的实轴，称为负负半次穿越半次穿越 N N- -= =- -1/21/2正正半次穿越：奈氏曲线沿顺时针方向起始于或终止半次穿越：奈氏曲线沿顺时针方向起始于或终止于于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴，称为点左侧的实轴，称为正正半次穿越半次穿越 N N+ += =+ +1/21/2(-1,j0)ReIm(-1,j0)ReIm负负半次穿越半次穿越 正正半次穿越半次穿越 奈氏路径中小半圆的映射。奈氏路径中小半圆的映射。 为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的下列为了分析系统稳定性

34、，通常要确定奈氏曲线的下列特征特征： 的映射；的映射；0 的映射；的映射；奈氏曲线与实轴的交点；奈氏曲线与实轴的交点；根据这些映射点画出根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线，然后对应的奈氏曲线，然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性根据奈氏曲线关于实轴的对称性, ,画出画出 的的奈氏曲线奈氏曲线 0从0从小半圆上的点可以表示为小半圆上的点可以表示为: :jres 其中其中， 0r22jvvrreserKsHsGjr0limlim)()(0对于最小相位系统，有对于最小相位系统，有可见可见, ,奈氏路径中小半圆的映射的幅值为奈氏路径中小半圆的映射的幅值为 ，当，当 从从 变化到变化到 时，其相角相应地从时

35、，其相角相应地从 变化到变化到 。22v2v2一般说来，无论是最小相位系统，还是非最小相位系统，一般说来，无论是最小相位系统，还是非最小相位系统，当系统开环传递函数有当系统开环传递函数有v v个个s=0s=0的极点时，奈氏路径中小半的极点时，奈氏路径中小半圆的映射是半径为无穷大的圆弧圆的映射是半径为无穷大的圆弧, ,从从 的映射点开始，的映射点开始，顺时针转过顺时针转过 ，到，到 的映射点结束。的映射点结束。00180v00180对于非最小相位系统，则增加或者减少对于非最小相位系统，则增加或者减少 的整倍数的整倍数。1.1.开环中无开环中无s=0s=0极点极点( (即传递函数无积分环节即传递函

36、数无积分环节) ) 2.2.开环中含有积分环节（开环中含有积分环节（s=0s=0的极点）的极点）3.3.开环频率特性较复杂时开环频率特性较复杂时奈魁斯特稳定判据应用奈魁斯特稳定判据应用例1 设闭环系统的开环传递函数为：)()(jGjH开环频率特性轨迹如图所示。)()(sGsH在右半s平面内没有任何极点P=0，并且)()(jGjH的轨迹不包围(-1,j0)点，有N=0，所以对于任何值有Z=P+N=0，该系统闭环稳定。 (-1,j0)KReIm) 1)(1()()(21sTsTKsGsH2221)(1)(1)(wTwTKwAwarctgTwarctgTw21)() 1)(1)(1()()(321s

37、TsTsTKsGsH例2开环传递函数为 判断闭环系统的稳定性。 当w=0时，A(w)=k, 0)(w当w+时A(w)=0， 270)(w(-1,j0)ReImK1K2奈氏曲线KK1（K值较小）,N=0,P=0, Z=P+N=0, 闭环系统稳定。奈氏曲线为KK2 （K值较大）, N=1,P=0, Z=P+N=2, 闭环系统不稳定。 warctgTwarctgTwarctgTw321)(232221)(1)(1)(1)(wTwTwTKwA例例3 3设系统具有下列开环传递函数设系统具有下列开环传递函数：) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH试确定以下两种情况下，系统的稳定性：试确定以下两种情

38、况下，系统的稳定性：( (1)1)增益增益K K较小较小(2)(2)增益增益K K较大。较大。解：开环右极点解：开环右极点P=0P=0闭环右极点Z=P+N2221)(1)(1)(wTwTwKwAwarctgTwarctgTw2190)( 开环中含有积分环节（s=0的极点） 奈氏曲线与实轴的交点：奈氏曲线与实轴的交点：)()1() 1()()1 ()()()(221222122122212221221TTTTTTKjTTTTTTKjHjG0)()()(ImVjHjG令01212TT有奈氏曲线与实轴奈氏曲线与实轴交点坐标交点坐标: :2221)(1)(1)(wTwTwKwAwarctgTwarctgTw2190)(212121)1(TTTKTTTU(-1,j0)ReIm(-1,j0)ReIm小K值时有：大K值时有N=0Z=P+N=0故闭环系统稳定故闭环系统稳定故闭环系统不稳定故闭环系统不稳定N=1 Z=P+N=2系统中含有积分环节奈氏曲线的起始点不是坐标轴上的点，曲线不封闭，因此不能用包围的概念来判断。必须要加上小半圆的乃奎斯特路径例4单位反馈系统开环传递函数