高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答

1、高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形;2、利用三角形或梯形的中位线;3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面与这个相交,那么这条直线和交线平行。(线面平行的性质定理4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理6、平行于同一条直线的两个直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。二、线面平行的证明方法1、定义法:直线和平面没有公共点。2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行。(线面平行的判定定理3、

2、两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。4、反证法。三、面面平行的证明方法1、定义法:两个平面没有公共点。2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理3、平行于同一个平面的两个平面平行。4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。5、垂直于同一条直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法1、勾股定理;2、等腰三角形;3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角;5、点在线上的射影;6、如果一条直线和这个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。7、在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜

3、线的射影垂直。(三垂线定理8、在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,那么另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法:1、定义法:直线与平面内的任意直线都垂直;2、点在面内的射影;3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直。(线面垂直的判定定理4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理5、两条平行直线中的一条垂直于平面,那么另一条必垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线必垂直于另一个平

4、面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线必垂直于第三个平面。8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法:1、定义法:两个平面的二面角是直二面角;2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;(面面垂直的判定定理3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。4、 如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。a a高中立体几何经典考题及方法汇总1线面平行的判定1、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1/AC 平面BDE

5、。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 EO 为三角形1A AC 的中位线 1/EO AC又EO 在平面BDE 内,1AC 在平面BDE 外 1/AC 平面BDE 。2线面垂直的判定2、已知ABC 中90ACB =,SA 面ABC ,AD SC ,求证:AD 面SBC . 证明:90ACB =° BC AC 又SA 面ABC S A B C BC 面SAC BC AD 又,SC AD SC BC C =AD 面SBC3线面平行的判定(利用平行四边形,线面垂直的判定 3、已知正方体1111ABCD A BC D -,O 是底ABCD

6、对角线的交点. 求证:(1 C 1O 面11AB D ;(21AC 面11AB D . 证明:(1连结11AC ,设11111AC B D O =,连结1AOAED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CNM PC BA 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC 是平行四边形A 1C 1AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点,O 1C 1AO 且11OC AO = 11AOC O 是平行四边形111,C O AO AO 面11AB D ,1C O 面11ABD C 1O 面11AB D(21CC 面1111A B

7、C D 11!C C B D 又1111AC B D , 1111B D A C C 面 111A C B D 即同理可证11AC AD , 又1111D B AD D =1AC 面11AB D4线面垂直的判定4、正方体''''ABCD A B C D -中,求证:(1''AC B D DB 平面;(2''BD ACB 平面.5 线面平行的判定(利用平行四边形5、正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.(1求证:平面A 1BD 平面B 1D 1C ; (2若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1平面

8、FBD . 证明:(1由B 1B DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,B 1D 1BD , 又BD 平面B 1D 1C ,B 1D 1平面B 1D 1C , BD 平面B 1D 1C . 同理A 1D 平面B 1D 1C .而A 1D BD =D ,平面A 1BD 平面B 1CD .(2由BD B 1D 1,得BD 平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,AE B 1G .从而得B 1E AG ,同理GF AD .AG DF .B 1E DF .DF 平面EB 1D 1.平面EB 1D 1平面FBD .6三垂线定理6、如图P 是ABC 所在平面外一点,PA PB CB =平面PA

9、B ,M 是PC 的中点,N 是AB 上的点,3AN NB =(1求证:MN AB ;(2当90APB =,24AB BC =时,求MN 的长。 证明:(1取PA 的中点Q ,连结,MQ NQ ,M 是PB 的中点, /MQ BC , CB 平面PAB , MQ 平面PABQN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,PA PB =PD AB ,又3AN NB =,BN ND = /QN PD ,QN AB ,由三垂线定理得MN AB A 1(290APB =,PA PB =122PD AB =,1QN =,MQ 平面PAB .MQ NQ ,且112MQ BC =

10、 =,MN =7线面平行的判定(利用三角形中位线,面面垂直的判定 7、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点. (1求证:1/AC 平面BDE ; (2求证:平面1A AC 平面BDE . 证明:(1设AC BD O =,E 、O 分别是1AA 、AC 的中点,1AC EO又1AC 平面BDE ,EO 平面BDE ,1AC 平面BDE (21AA 平面ABCD ,BD 平面ABCD ,1AA BD 又BD AC ,1AC AA A =,BD 平面1A AC ,BD 平面BDE ,平面BDE 平面1A AC8线面垂直的判定,构造直角三角形8、已知ABCD 是矩形

11、,PA 平面ABCD ,2AB =,4PA AD =,E 为BC 的中点. (1求证:DE 平面PAE ;(2求直线DP 与平面PAE 所成的角.证明:在ADE 中,222AD AE DE =+,AE DE PA 平面ABCD ,DE 平面ABCD ,PA DE 又PA AE A =,DE 平面PAE (2DPE 为DP 与平面PAE 所成的角 在Rt PAD ,PD =Rt DCE 中,DE =在Rt DEP 中,2PD DE =,030DPE =9线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法9、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB =且

12、边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1若G 为AD 的中点,求证:BG 平面PAD ; (2求证:AD PB ;(3求二面角A BC P -的大小. 证明:(1ABD 为等边三角形且G 为AD 的中点,BG AD 又平面PAD 平面ABCD ,BG 平面PAD(2PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,AD PG 且AD BG ,PG BG G =,AD 平面PBG ,PB 平面PBG ,AD PB (3由AD PB ,AD BC ,BC PB 又BG AD ,AD BC ,BG BC PBG 为二面角A BC P -的平面角在Rt PBG 中

13、,PG BG =,045PBG = 10线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直10、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1AO 平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,DB 1A A ,DB AC ,1A A AC A =, DB 平面11A ACC ,而1AO 平面11A ACC DB 1AO . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2234MO a =. 在Rt 11AC M 中,22194A M a =.22211AO MO AM +=,1A O O M .OM DB =O , 1AO 平面MBD .11线面垂直的判定11、如图2,在三棱锥A -BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE CD ,E 为垂足,作AH BE 于H .求证:AH 平面BCD . 证明:取AB 的中点F ,连结CF ,DF . AC BC =,CF AB .AD BD =,DF AB .又CF DF F =,AB 平面CDF . CD