高三文科培优试卷(一)——立体几何

1、高三文科培优试卷（一）立体几何1.（2009广东卷）zyxE1G1如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.2.（2009年上海卷）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 2【解】如图，建立空间直角坐

2、标系则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2）， B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分设AC的中点为M，BMAC, BMCC1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分设平面的一个法向量是 =（x，y，z）， =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分 设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分3.（2009北京卷） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、

3、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

4、【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.4.(2009湖北卷) 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 4（）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，B

5、D是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）解法1：如图1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DEAE于F，连接CF，则CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 从而在中，. 由，得.由，解得，即为所求.（I） 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0

6、，0）， ， 即。（II） 解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. . 0<， . 由于，解得，即为所求。5.（2009宁夏海南卷）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解法一： （）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则

7、。又，所以, 连，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故6.（2009全国卷）如图，直三棱柱中，、分别为、

8、的中点，平面 （I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并

9、设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。7.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。解:（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 过点A作AF垂直于点,连

10、接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= = 4, , .即直线AD和平面所成角的正弦值为 .解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是 = . 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .8.（2009浙江卷）如图，平面平面，是以为

11、斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为 9.（2009重庆卷）如图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点

12、到平面的距离；（）二面角的大小 （19）（本小题12分）解法一：（）因为AD/BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而，由AD/BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中()如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF/BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中， 在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平

13、面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 设B(0,2, )，0，则2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取点G，设G（），使GECD . 由故 又点G在直线CD上，即，由=（），则有联立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 .10.（2009安徽卷）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面A

14、BCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方