高层建筑结构与抗震辅导材料二

1、高层建筑结构与抗震辅导材料二荷载与作用（二）学习目标1. 掌握多自由度弹性体系地震反应分析方法；2. 掌握多自由度弹性体系的振型分解反应谱法；3. 掌握多质点地震作用近似计算法-底部剪力法；4. 了解竖向地震作用，自振周期实用方法。学习重点1. 多自由度弹性体系地震反应分析；2. 多自由度弹性体系的振型分解反应谱法；3. 底部剪力法；4. 自振周期实用计算方法。五、 多质点弹性体系的地震反应图2-4 (a) 多层房屋；(b) 多质点弹性体系对于图2-4a所示的多层框架结构，应按集中质量法将和之间的结构重力荷载、楼面和屋面可变荷载集中于楼面和屋面标高处。设它们的质量为(=1，2，3，)，并假设这

2、些质点由无重量的弹性直杆支承于地面上（图2-4b）。这样，就可以将多层框架结构简化成多质点弹性体系，一般来说，对于具有层的框架，可简化成个多质点弹性体系。1多质点弹性体系的自由振动为了掌握多质点弹性体系地震作用的计算，需要熟悉多质点弹性体系自由振动的一些基本内容。为了叙述方便起见，我们首先讨论两个质点弹性体系的自由振动，然后再推广到个质点的情形。（1） 两个质点体系的位移方程及其解答图2-5表示两个质点体系作自由振动，、分别为两个质点的集中质量。设在振动过程中某瞬时的位移分别为和，则作用在和上的惯性力分别为和。设不考虑阻尼的影响，根据叠加原理，可写出质点和的位移表达式： (2-29)图2-5

3、式中表示在点作用一个单位力而在点所引起的位移，它的大小反映结构的柔软程度，故称它为柔度系数。现将式(2-29)写成标准形式： (2-30)这就表示两个质点体系运动的微分方程组。它的每一项均表示位移，所以称它为自由振动位移方程。现求方程(2-30)的解。由于和是质点位置和时间t的函数，故可将它们表示为： (2-31)式中 、 -分别为与质点1和2位置有关的函数， -时间t的函数。对式（2-31）对时间求两次导，代人式（2-30）进一步进行化简可得： (2-32)这是关于两个未知数和的齐次代数方程组。显然，=0是一组解答，这一组零解表示体系处于静止状态，而不发生振动，这不是我们需要的解。现在要求的

4、应该是和不同时为零时方程(2-32)的可用解，也就是说，要使方程（232）成立其系数行列式应为零。将行列式展开，得： (2-33)在式(2-33)中，质量、和柔度系数、和均为常数，只有是未知数，故上式是一个关于的二次代数方程，它的解为： (2-34)由单质点无阻尼自由振动可知，方程的解分别为： (2-35a)和 (2-35b)将式(2-35a)代入式(2-31)，可得质点和对应于的振动方程的特解： (2-36)将式(2-35b)代入式(2-31)，可得质点和对应于的振动方程的特解： (2-37)由式(2-36)和(2-37)可知，质点和均作简谐运动，而为其振动频率。由上可知，两个质点的体系，共

5、有两个频率，其中较小者称为第一频率或基本频率，较大者称为第二频率。现分别讨论当固有频率和时，对应的特解的一些性质，最后引入主振型的概念。如前所述，对应于的特解为： (2-38)将代入式(2-32)，得： (2-39)当体系振动时，上式的系数行列式应等于零。根据齐次线性方程组性质可知，齐次方程组(2-39)中的两个方程并不是彼此独立的，其中一个方程可以从另一个方程用线性组合的方法得到。所以，两个方程实际上只起到一个方程的作用。即未知数的数目比方程的数目多一个。这时方程式只能有不定解，即只能假定其中的一个未知数等于某一定值时，才能从方程(2-39)中任一个方程求出另一个未知数。也就是说，只能从方程

6、(2-39)中求出和的比值来： (2-40)显然，这一比值与时间t无关。于是，由式(2-38)可见，体系在振动过程中的任何时刻各质点的位移的比值始终保持不变，且等于/。同样可以得到体系按振动过程中，任何瞬时各质点的位移比值也始终保持不变，且等于/。图2-6 综上所述，对应于频率和，微分方程组(2-37)的特解乃是对应于这样两种振动：前者各质点按/的比值作简谐振动，而后者各质点按/的比值作简谐振动。因此，它们在振动过程中，各自振动形式保持不变，而只改变其大小。我们将相应于的振动形式叫做第一主振型（简称第一振型或基本振型），将相应于的振动形式叫做第二主振型（简称第二振型）。在实际计算中，绘振型曲线

7、时，常令某一质点的位移等于1，另一质点的位移可根据相应的比值确定。图2-6(a)和图2-6(b)分别为两个质点体系的第一振型和第二振型的示意图。对于两个质点的振动体系而言，一般可求出两个互相独立的特解，故对应地就有两个主振型，它们也是体系所固有的一种特性。就每一个振型而言，只有在特定的初始条件下，振动才会呈现这种形式。当质点的初始位移或初始速度的比值与某一主振型的值相同时，体系才会按该主振型振动。在一般初始条件下，体系的振动曲线，将包含全部振型。由微分方程理论知道，通解等于各特解的线性组合，即： (2-41)由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动

8、。显然，如果初始条件接近某一振型时，则这个振型在组合中所占的分量就大。当初始条件完全符合某一振型时，则其他振型分量就不会产生。但是这是很难实现的。（2） 多质点弹性体系自由振动的位移方程及其解答与两个质点体系的情形类似，对于个质点的体系，线性微分方程组的通解可写成： (j=1,2,n) (2-42)由式(2-42)可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。需要指出的是，试验结果表明，振型愈高，阻尼作用所造成的衰减愈快，所以通常高振型只在振动初始才比较明显，以后逐渐衰减。因此，在建筑抗震设计中，仅考虑较低的几个振型的影响。（3） 主振型的正交性对于多质点弹

9、性体系，它的不同的两个主振型之间存在着一个重要特性，即主振型的正交性。在体系振动计算中经常要利用这个特性。为了便于证明主振型的正交性，而又不失一般性，仍采用两个质点体系来分析。由式(2-40)可得： (2-43a)类似地，可得： (2-43b)分别以和乘以式(2-43a)的第一和第二式，然后再相加；再分别以和乘以式(2-43b)的第一和第二式，然后再相加。显然，这样所得到的两个等式的右边完全相等。所以，等式左边也相等，即： (2-44) 因，故 (2-45)上式就是两个质点体系主振型的正交性，对于个质点的体系，主振型正交条件可写成： (kj) (2-46)式中 -质点的质量；、 -分别为第k振

10、型和第j振型i质点的相对位移（图图2-7 振型的正交性(a) 多质点体系；(b) 第k振型；(c) 第j振型图2-8 2-7b、c）。由式(2-46)可见，所谓主振型的正交性，是指这样一种性质：即两个不同的主振型的对应位置上的质点位移相乘，再乘以该质点的质量，然后将各质点所求出的上述乘积做代数和，其值等于零。2多质点弹性体系地震反应（1） 振动微分方程的建立由动力学原理，可以给出多质点弹性体系（图2-8）在地震作用下的运动微分方程组 (2-47)（2） 运动微分方程组的解为了便于解运动微分方程组，假定阻尼系数与质点质量和刚度系数，有下列关系 (2-48)其中、为两个比例常数，其值可由试验确定。

11、这时，作用在体系上的阻尼力可写成 (2-49)因而，运动微分方程组(2-47)变成 (2-50)将体系任一质点的位移按主振型展开 (2-51)其中称为广义坐标，它是时间t的函数；为第振型质点的相对位移。经整理得微分方程组： (2-52)或 (2-53)将上式等号两边各乘以第振型的位移，并对求和： (2-54)将上式和互换位置，并注意到振型的正交性，则有 (2-55)其中 (2-56)令 (2-57)将上式代入(2-55)，得： (2-58)这样，经过变换，便将原来的运动微分方程组(2-47)分解成个以广义坐标为变量的独立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程(2-7)基本相同，所

12、不同的只是方程(2-7)中的变成；变成；同时等号右边多了一个系数。所以，式(2-58)的解可按照式(2-7)积分求得： (2-59)或 (2-60)其中 (2-61)比较(2-61)和式(2-16)可见，相当于阻尼比、自振频率的单质点体系在地震作用下的位移（图2-9）。这个单质点体系成为与振型相应的振子。求得各振型的广义坐标后，就可按式(2-51)求出原体系的位移反应：图2-9 (2-62) 上式表明，多质点弹性体系质点的地震反应等于各振型参与系数与该振型相应振子的地震位移反应的乘积，再乘以质点的相对位移，然后再把它总和起来。这种振型分解法不仅对计算多质点弹性体系的地震位移反应十分简便，而且也

13、为反应谱理论计算多质点体系的地震作用提供了方便的条件。六、 多质点体系的水平地震作用多自由度弹性体系的水平地震作用及其地震内力可采用振型分解反应谱法求得，当结构高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构以及近似于单质点体系的结构，亦可采用比较简单的底部剪力法。现仅讲述将振型分解反应谱法。1振型分解反应谱法多质点弹性体系在地震作用下质点上的惯性力就是地震作用。故质点上的地震作用为 (2-63)由振型正交性可得：，所以可以写成 (2-64)又由式(2-62)得 (2-65)将式(2-64)及式(2-65)代入式(2-63)，得： (2-66)式中 为第振型相应“振子”（它

14、的自振频率为，阻尼比为）的绝对加速度。由式(2-72)可以看出，作用在第振型第质点上的地震作用最大绝对值为 (2-67)令 (2-68) (2-69)式(2-68)是第振型对应振子的最大绝对加速度与重力加速度之比，所以它是相应于第振型的地震影响系数，这时，自振周期为与第振型对应振子的周期，即为振型的自振周期。这样，多质点弹性体系第振型第质点的水平地震作用标准值，可写成 (2-70)式中 -第振型第质点的水平地震作用标准值； -相应于第振型自振周期的地震影响系数； -第振型参与系数，按式(2-56)计算； -第振型第质点的水平相对位移； -集中于质点的重力载荷代表值，应取结构和构配件自重标准值和

15、各可变载荷组合值之和。求出第振型第质点的水平地震作用后，就可按一般力学方法计算结构的地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）。我们知道，根据振型分解反应谱法确定的相应于各振型的地震作用均为最大值。所以，按所求得的地震作用效应也是最大值。但是，相应于各振型的最大地震效应不会同时发生，这样就出现了如何将进行组合，以确定合理的地震作用效应问题。抗震规范根据随机振动理论分析的结果，得出了结构地震作用效应“平方和开平方”的近似计算公式： (2-71)式中 -水平地震效应； -第振型水平地震作用产生的作用效应（包括内力及变形）。一般各个振型在地震总反应中的贡献随着频率的增加而迅速减少，故频率最低的几个振型

16、往往控制着最大反应。在实际计算中一般采用23个振型即可。考虑到周期较长的结构及其各个自振频率较接近，故抗震规范建议当基本周期大于1.5秒或房屋高宽比大于5时，可适当增加参与组合的振型数目。2底部剪力法底部剪力法是先计算出作用于结构的总水平地震作用，也就是作用于结构底部的剪力，然后将总水平地震作用按一定的规律分配给各质点。多质点体系第振型各质点水平地震作用的总和，即底部剪力由式(2-70)为 (2-72)根据平方和开平方的近似计算公式（271），结构总的水平地震作用标准值或底部总水平剪力应为： (2-73)式中 -相应于结构基本周期的水平地震影响系数值； -计算地震作用的恒载标准值和其他重力荷载

17、的组合值，。式(2-73)中称为等效质量系数。它对应于结构的基本周期，所以实际上反映了高振型对结构总水平地震作用的影响，根据对大量算例的统计，当结构自振周期小于0.75s时此系数可近似取为0.85，对单质点体系此值等于1。因为适用于底部剪力法计算地震作用的结构周期一般都小于0.75s，所以规范即取等效质量系数为定值0.85。等效质量系数与的乘积称为结构的等效总重力荷载，即 (2-74)故式(2-73)可写为 (2-75)在求得结构的总水平地震作用标准值后，须将此作用在各质点上进行分配以求得各质点上的地震作用。理论分析表明，质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不大并以剪切变形为主的建筑物，其地震反

18、应将以基本振型为主而其振型接近于倒三角形。在满足上述条件下，在计算各质点上的地震作用时，可仅考虑基本振型，而忽略高振型影响。这样，基本振型质点的相对水平位移将与质点的计算高度成正比，即，其中为比例常数（图-10b），于是，作用在第质点上的水平地震作用标准值可写成 (2-76)则结构总水平地震作用标准值，即结构底部剪力，可写成 (2-77)图2-10 底部剪力法示意图由此可得： (2-78)将上式代入式(2-76)并以表示，就得到作用在第质点的水平地震作用标准值（图2-10c）计算公式： (2-79)式中 -结构总水平地震作用标准值，按式(2-75)计算； -集中于质点的重力荷载代表值； -为质点的计算高度。对于自振周期比较长的多层钢筋混凝土房屋、多层内框架砖房，经计算发现，在房屋顶部的地震剪力按底部剪力法计算结果较精确法偏小，为了减小这一误差，抗震规范采取调整地震作用的办法，使顶层地震剪力有所增加。对于上述建筑，抗震规范规定，按下式计算质点的水平地震作用标准值： (2-80) (2-81)式中 -顶部附加地震作用系数，其值可按抗震规范采用； -顶部附加水平地震作用（图2-11）； -结构总水平地震作用标准值，按式 (2-75)计算。其余符号同前。震害表明，突出屋面的屋顶间（电梯机房、水箱房）、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由