中考圆有关的动点几何压轴题

1、北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：年级：初三辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期授课时段授课主题中考25题压轴题之涉及圆问题分析教学内容与圆有关的常见辅助线添加方法辅助线秘诀一已知直径或作直径，我们要想到两件事：1;直径上有一个隐藏的中点（圆心）2;利用圆周角定理构造直角三角形辅助线秘诀二作半径1;连半径，造等腰三角形2;作过切点的半径辅助线秘诀三涉及弦长，弦心距；可造垂径定理的模型，为勾股定理创造条件辅助线秘诀四切线的证明1；有交点：连半径，证垂直2;无交点：作垂直，证半径辅助线秘诀五已知数圆心角度数，要想到同弧所对圆周角度数，反之亦然。辅助线秘诀六出现等弧问题时，我们要想到1;在同圆或等圆

2、中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等。2;在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角，圆周角也相等。辅助线秘诀七已知三角比或求某个角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，没有作垂直注意；同角或等角的三角比相同辅助线秘诀八圆中出现内接正多边形时；作边心距，抓住一个直角三角形来解决辅助线秘诀九已知两圆相切，常用的辅助线是；1;作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系2;作连心线辅助线秘诀十已知两圆相交，常用的辅助线是；1;作两圆公切弦2;作连心线例题讲解定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，三角形面积比值1（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）1已知：如图，在RtABC中，2

3、C=900，BC=4,tan/CAB=，点O在边AC上，以点O为圆心的圆2过A、B两点，点P为AB上一动点.(1)求。O的半径；(2)联结AP并延长，交边CB延长线于点D,设AP=x,BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)联结BP,当点P是AB的中点时，求ABP的面积与ABD的面积比S!BP的值.S；ABD备用图定圆结合直角三角形，考察三角形相似，线段与三角形周长的函数关系2(2010上海)如图，在RRABC中，/ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点巳连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.(1)当/B=30°时，连接A巳若

4、4AEP与4BDP相似，求CE的长；(2)若CE=2,BD=BQ求/BPD的正切值；(3)若tan/BPD，设CE=kABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.3定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题3.如图，在半径为5的。中，点A、B在。上，/AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D,设AC=x,BD=y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如（3）是匕4（本题二在半径次果OOi与。相交十点A、C,且。O1与。的圆心距为2,当BDOB时，求。O1的半径；冈否存在点C,使得DCPDOC如果存在，请证明；如果不存在，请

5、简要说明理由.i予,定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）44的。中，点C是以AB为直径的半圆的中点，ODLAC,垂足为D,点E是射线AB上的任点，5中考(本题满分12分，每小题满分各为4分)在ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,。是边AC上的一个动点，以点。为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段OC于点E,彳EPLED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。(1)如图8,求证：AD&AEP;(2) 设OA=x,AP=v,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3) 当BF=1时，

6、求线段AP的长.动圆结合定圆，考察两线段函数关系，圆相切7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图1,已知eO的半径长为3,点A是eO上一定点，点P为eO上不同于点A的动点。1（1）当tanA=_时，求AP的长；2（2）如果eQ过点P、O,且点Q在直线AP上（如图2）,设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；4（3）在（2）的条件下，当tan人=_时（如图3）,存在eM与e。相内切，同时与eQ相外切，且OM_LOQ,3_试求eM的半径的长。（第25题图）动圆结合定圆，考察两线段函数关系，相似，勾股定理，圆相交和正多边形8.如图1,

7、已知。的半径长为1,PQ是。的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与OO交于A、B两点，连接PA并延长，交OM于另外一点C.(1)若AB恰好是。的直径，设OM=x,AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；(2)连接OA、MA、MC,若OALMA,且4OMA与4PMC相似，求OM的长度和OM的半径长；(3)是否存在OM,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边若存在，试求OM的长度和OM的半径长；若不存在，试说明理由.动圆结合三角形，考察相似，线段比，圆位置关系中考25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）

8、已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点。为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1）如图，如果AP=2PB,PB=BQ求证：CA8BCQ（2）如果AP=m（m是常数，且m>1）,BP=1,OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆。上运动时，求AC:BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。1解:（1）联结OB.在 RIA ABC 中，/C=90°, 1BC =4 , tanCAB =, 2AC=8.设 OB =x,则 OC =8-x .在 R匕 OBC 中，/C=90

9、°,-2x解得=（8 - x 2 + 42 x=5 ,即。O的半径为5.过点O作OH，AD于点H.OH过圆心，且 OHAD.11 . AH =，AP，x 在 R3 AOH 中，可得 OH =JAO2 AH即 OH = 25100 -x2（3）在 AOH和4 /C =/OHA,42ACD 中， /HAO =/CAD ,100-x2,OH AHCD AC得 y=8 100 *x定义域为0 <x <4V,5 .Ol1分）（1分）（1分） . AOHs ADC.2分）1分）（1分）1分）1分） P 是 AB 的中点，AP=BP. AO=BO, . PO垂直平分 AB.设 /CAB

10、 =0 ,可求得 ZABO =a , .AOP =90 , . ABD =90 - /ABD =/APB.AB2 ABD）.s .Abd ab 4BP=/D .由 AP=BP可得 /ABP =/PAB . PAB=/D .BD=AB=4JW,即 y=4而./COB=2ot,2OBC=900-2a.APB =2. APO =90 -* *分）分）（1分）,8 100 -x22由y =-4可得x= 50-105= 5010、5s .Abp _SabdABB）xAP ? 50 -105i =（1分）801分）2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。专题：几何综合题；

11、压轴题。分析：（1）当/B=30°时，ZA=60°,此时ADE是等边三角形，则/PEC玄AED=60°,由此可证得/P=ZB=30°若AEP与4BDP相似，那么/EAP=/EPA4B=ZP=30°,此时EP=EA=1,即可在鼻PEC中求得CE的长；(2)若BD=BQ可在RtABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF/DP交AB于F,易证得ADEAAFC,根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证BCDBPD,根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在RtCEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的

12、长即可得到/BPD的正切值；(3)过点D作DQLAC于Q,可用未知数表示出QE的长，根据/BPD(即/EDQ)的正切值即可求出DQ的长；在RtADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQDQ、AQ的长；易证得ADQsABC,根据得到的比例线段可求出BD>BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到V、x的函数关系式.解答：解：(1)B=30°,/ACB=90°,BAC=60°. AD=AE, ./AED=60°=/CER/EPC=30. .BDP为等腰三角形.AEP与4BDP相似,/EPA=ZDPB=30°,AE=EP=1

13、. 在RECP中，EC.EP=i;22(2)设BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：(x+1)2=x2+(2+1)2,解之得x=4,即BC=4.过点C作CF/DP. .ADE与4AFC相似，鹿二即AF=AC,即DF=EC=2ACAFBF=DF=2BC=CP=4.BFCABDP相似,.空BC21即BDBP42 -tan/BPDf44(3)过D点作DQLAC于点Q.则DQE与PCE相似，设AQ=a,则QE=1-a.二二U且EC CPtan/BPD ="I，DQ=3(1-a). 在RtADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+3(1a)2,解之得a=l(舍去),

14、a=.ADQ与ABC相似,4二L_.ABBCAC1+x5+5工一翅一，町一-. '-ABC的周长方/舟BC+吃二反”耳-1+置二3+3工，即：y=3+3x,其中x>0.3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。专题：代数几何综合题；分类讨论。分析：（1）过。的圆心作OE，AC,垂足为E.通过证明ODa4AOE求得卷号，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；（2）当BDOB时，根据（1）的函数关系式求得y上，x=6.分两种情况来解答OiA的值当点Oi在线段OE33上时，OiE=OE-OOi=2;当点Oi在线段EO的延长线上时，

15、OiE=OE+OO=6;|i1（3）当点C为AB的中点时，/BOC=ZAOC/AOB=45°,/OCA=ZOCB上_=$工5"，然后由三角形£2的内角和定理求得ZDCB=45°,由等量代换求得/DCB=ZBOC.根据相似三角形的判定定理AA证明DC'DOC.解答：解：（i）过。的圆心作OE,AC,垂足为E,AE总A1禀OE=2-AeJJ25-5？./DEO=/AOB=90°,.D=90°/EOD=ZAOE,ODKAOE，OE AEOD=y+5,.y关于x的函数解析式为:sJlOQ- x2 53y=定义域为：（i分）当BD.时,

16、，言也亨二x=6.AE=，OE=户亍/当点Oi在线段oe上时，OiE=o曰00i=2,0*=°E2+AE?土d2°+3*13,当点Oi在线段eo的延长线上时，0iE=0E+00=6,0&二J。E，+AE2n，62+.OOi的半径为或.(3)存在，当点C为的中点时，DCBDOC.证明如下：当点C为的中点时，/BOC=ZAOC/AOB=45°,2又oa=oc=ob，/oca=z0CB=±r_Zr_5中,DCB=i80°-/OCA-/OCB=45.，/DCB=/BOC.又/D=/D,DCNDOC.存在点 C,使得 DC酎 DOC.点评：本题主

17、要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理.此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE，AC,禾1J用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解.4.解：(i)联结OC,AC是。O的弦,ODLAC,.OD=AD.(i分).DFAE1(AO+OE)xx<CEi 4 4 7 i4 2 7. DF= (AB BE)=(8)二233-OC2=14x2-16=2Vx2-4(i分)22，y=工(4+2Jx24)=2+Vx2-4,定义域为x22.(i+i分)2ii(2)当点F在。上时，联结OGOF,EF=CE=OF=4,，OC=OB=AB=4.(分)22DF=2+<42-4

18、=2+2x'；3.(i分)(3)当。E与。O外切于点B时，BE=FE.:_2_22CE2-OE2=CO2,22224 47.xi=3.(2x)2-(x4)2=42,3x2-8x-32=0,i分）i分）4-4、7/普+、x2=(舍去).23Jj当。E与。内切于点B时，BE=FE.CE2OE2=CO2,22.22.(2x)2_(4x)2=42,3x28x_32=0,-4 4.7, , x1 , x2 -31_ _1- DF=_(AB - BE) (822-4-47(舍去).3-44-7、14-2.7一3一31分）1分）当。E与。内切于点A时，AE=FE.CE2OE2=CO2,一2222一(

19、2x)2(4x)2=42,3x2+8x32=0,-44.7x1=5x21321 2,7-2DF=-AE=-.2 3-4-4.7（舍去）.1分）1分）5.:(1)作DHLBC于H,如图1,.AD/BC,ABXBC,AB=4,AD=3,DH=4,BH=3,在RtDHC中，sin/DCH=,5DC=5, .CH=-产3，BC=BH+CH=6BP±CD,/BPC=90°,而/DCH=ZBCP, RtADCHRtABCP, =,即36PC弓(2)作PEIAB于E,如图2, PA=PBAE=BE=AB=2,2 PE/AD/BC, .PE为梯形ABCD的中位线， .PD=PCPE工(AD

20、+B。二(3+6)T2221 Rpc)bc=-,2 2EA+PC=PE以AB为直径的。O与。P外切；(3)如图1,作PHBC于F,则CF=QF设PC=x贝UDP=5-x,PF/DH,.CPDACDH,.,.=,即匕=,解得CF=5CQ=2CF=BQ=BC-CQ=6-,PQ=PG/PQC=ZPCQAD/BC,./ADP+/PCQ=180,而/PQC+ZPQB=180°,/ADP=ZPQB,当AD2BQP,整理得2x2-25x+50=0,解得xiJ>,x2=10（舍去），2经检验x=是原分式方程的解.2PCT;2当AD2PQB,整理得5x2-43x+90=0,解得x1=,x2=5（

21、舍去），经检验x=是原分式方程的解.PC=,如果ADP和4BQP相似，CP的长为至或.225.(1证明：连结ODQAP切半圆于D,.ODA=.PED=90又QOD=OE,ODE=/OED90.ODE=90.OED.EDA=.PEA,又Q.A=.AADE:.AEP11ODOACBAC4AD x5OD3_3OD=3=OD=3x=OE,同理可得:x55Q ADE : AEPAP _ AE _ yAE -AD 8、-/ 585x464216xyx=yx4y5255x5(x0)(3)由题意可知存在三种情况但当E在C点左侧时BF显然大于4所以不合舍去当xA5时APaAB(如图)4延长DO,BE交于H易证D

22、HE三DJE6.HD=x,QPBE=/PDH=905:PFB:PHD1pbPB=2=AP=6612xx55DC BC二点 P 在射线 DH 上，且 ZCDP-Z.tBC,二 DP BA或空=%DP EC j .2 分7.VI 3V2 77 44T3即加="T或而二*一*二%，g .5, F(L )或P(U 5)25、解：(1)作于:0H过圆心，AP是弦,，APFAH,-在 R1A_*OH 中 ,tanj OA=3 ； B OH=k AH=2k 7由小小二的：十加小得左二|在,AP=2AH=£5 廉结P0,联结OQ：QQ 过点尸、3 JPQ=OQj，/QPQ=/Q。巳 二日。

23、过点 R 乙二POAO#，/QPO=/A7 .:/QOP=NAj 又£P-/P.QP0sA0PAj -AF AOjc 397 = Tr > PP - = _ f J 1 = ， 0 < 工 W 68 QO3 y工G)作FF_U(7于F,联结0P,设的半径长为r = - > .,.ifiPF=4a> A?=3a> a>0, .,.OF=3-3a； 3在RtAOPF中，: 口产=产”产,即9 = (3>+16口、:*巴小X*竺255即工=-j . Q。= j = = = - j ,5x 18 25"同B寸与®O相内切J与0Q相

24、外切,M0=3-口 QM=- + r ,-2-：OM±_OQ，在 KtAOMQ 中，乩应一 =OA15 +。15 r7 5T即(； +y =0吁一(；)丁99-，即0皿的半径长为11112分1分2分-2分j1分2分8.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。专题：计算题；证明题。分析：(1)过点M作MNLAC,垂足为N,可得比时=聂再根据PMMB,又AB是圆。的直径，可得昨赤十方在RtA PNM中，再利用gs/匹后粤即可求得y关于x的函数解析式;(2)设圆M的半径为r,利用勾股定理求出OM,根据OMAsPMC,可彳#PMC是直角三角形.然后可得/CPM、

25、/PCM都不可能是直角.又利用/AOM=2/Pw/P,可得即若OMA与4PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.从而求得OM,然后即可求得。M的半径长.(3)假设存在。M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA、MA、MC、AQ,设公共弦AB与直线OM相交于点G,由正五边形求得/AMB和/BAC,再利用AB是公共弦，OM，AB,/AMO=36°,从而求得/AOM=/AMO,在求证MAQsMOA,利用相似三角形对应边成比例即可求得.解答：解：(1)过点M作MNLAC,垂足为N,由题意得：PMXAB,又AB是圆。的直径,OA=OP=1,/APO=45°,在 RtA PNM 中,PN bm/NPM 二rl又 PM=1+x, / NPM=45° ,COs4b _ 1+x - 2 y关于x的函数解析式为血（X> 1）,(2)设圆M的半径为r,.OAXMA,/ OAM=90 °, 0M=Vr2+l又.OMAAPMC, .PMC是直角三角形. OA=OP,MA=MC, /CPM、/PCM都不可能是